第7讲直线与圆

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1、第7讲直线与圆本讲分三小节，分别为直线与圆的基本量与方程、位置关系、线性规划，建议用时3课时.直线的基本量有倾斜角、斜率与截距，直线方程重点掌握点斜式方程、斜截式方程与一般式方程，注意这 三种直线方程分别在什么形式下使用，以及设立方程时要讨论斜率不存在的直线.直线与圆的位置关 系中，注重对圆的几何性质的应用.直线系问题是选讲考点.第一小节为直线与圆的基本量与方程，共3道例题.其中例1主要讲直线的基本量；例2主要讲解直线方程；例3主要讲解圆的基本量与方程；第二小节为位置关系，共 4道例题.其中例4主要讲解直线与直线的位置关系；例5主要讲解对称问题；（之后有直线系的选讲知识点与例题，学生版不出现）

2、例6主要讲直线与圆的相离与相切问题；例7主要讲解直线与圆相交与弦长问题；第三小节为线性规划，共1道例题.例8主要讲解线性规划的一些问题.注：本讲铺垫学生版出现，可以作为知识点与基本方法的复习；拓1到拓5学生版不出现，可以作为一些程度非常好的班级的拓展思考.厂知识结构图订裁真题再现(2008北京理 7)过直线y匸咲上的一点作圆 I 1 , I2关于y-x对称时，它们之间的夹角为(A. 30B. 45C . 60【解析】C:x 5卜减y 1=2的两条切线I1 ,)12，当直线D. 90(2010北京理7)设不等式组象上存在区域A. 1 , 3 I【解析】AD上的点，则B. 2 ,3x y r 11

3、 03x = y 寿3 0 5x 3 y 9 w 的取值范围是(C (1 ,表示的平面区域为 D，若指数函数)2iy = ax的图a小题热身1、k下面命题中正确的是(A .经过定点Po (xo , yo )的直线都可以用方程B .经过任意两个不同的点P (x 1 y 1 ) ? P2(x2 (y y1 )( X2X1 ) -(x X1 )( y2 y1 )表示y _ yo r k( x _ xo )表示y2 )的直线都可以用方程2、3、4、5、6、7、9、C .不经过原点的直线都可以用方程表示a bD .经过点A(0 , b)的直线都可以用方程y - kx b表示合点(4 , a)到直线4 x

4、 -3y -1的距离不大于3，则实数a的取值范围是(2 , 12B. 1 , 12C. 0 , 10D. 1 , 9已知过点 A(乙 m)和B(m , 4)的直线与直线2 x y 一 1 一 0平行，则m的值为(B.8C. 2D. 100且B -0是方程 Ax2 Bxy Cy 2 Dx Ey F - 0表示圆的(A .充分非必要条件 C.充要条件 * a 二baB .必要非充分条件D.既非充分也非必要条件2 2 y 二 x -2+是“直线与圆(x a )( y b)A .充分不必要条件C.充分必要条件圆x2y2 -2x 6 y 9 一 0关于直线x2( y 2)2 二 1I(y 6)2 -1I

5、y2 2x 4 y30上到直线x2相切”的()B .必要不充分条件D.既不充分又不必要条件)(x 6)(x 2) 2 圆x21点 A(1 ,y 5 一 0对称的圆的方程是(x 6) 2 ( y 2) 2 二 12( y 6)2B. 2C.3) , B(5 ,，点P在x轴上使-12的点共有()个APDBP最大，的坐标为(4, 0)_4-直线y一x m与圆B. (13 , 0)x22C. (5 , 0)y2 一1在第一象限内有两个不同交点，D. (1 , 0)m的取值范围是(1 w m2 ABC 中，2I1则下列两条直线l1 : sin A xD .a , b, c是内角 A , B , C的对边

6、，且Igsin A、+ 、_ = 2 、 sin A y a 0 与 I 2 : sin B xIgs in Bsin Cw 2、Igsin C成等差数列，y c 0的位置关系是()A .重合B .相交(不垂直)C .垂直D .平行12345678910BCBBACCBBAQs知识梳理1.直线直线I的倾斜角 一：X轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角._y1直线I的斜率k :k 二ta na :k三比八xi韭X2 );倾斜角为 90的直线斜率不存在.X2 一 X1直线方程 点斜式y yo-k x xo , P xo , yo为直线上任一点，

7、k为直线的斜率. 斜截式y ukx b . 截距式x即，=1仙#0 )a b 一般式Ax By C -0 A2B2 0 .0可以写成:AiCBt-；A2B2 C2AT-Br庐 Ci ;A2B2C2两条直线的位置关系：li: AixBi y-Ci-0 , I2 : A2 xB2y C2-0 .li与I 2重合:：:AiB2 -Bi A2-0且BiC2-CiB2 - 0 ; 若 l2的系数均不为li / I 2 AiB2 - BiA2手0且B1C2 -CiB2 -0 ;若I 2的系数均不为 0可以写成: li 与 I 2 相交=A1B2-Bi A 0 ;距离公式：点到直线距离公式：点平行线间距离公

8、式： li I2 二at A2B1B20 .7缶舟匕AX0 +By。* CA X0 , y0到直线I : Ax By C 0的距离dA2B2;BI 一 Ili : Ax +By +Ci =0 , I 2 : AxIPBy 厝 C2= 0 的距离 d1 CC& .0所表示的平面区域是直线Ax y C 0二的上半部分；Ax By C : 0所表示的平面区域是其下半部分；-0的下半部分;反之，当B 0时，贝U Ax By C 0表示的平面区域是直线Ax By CAx By C 0所表示的平面区域是其上半部分.也可根据 A的正负，确定不等式对应的是直线的左半部分还是右半部分.7.1直线与圆的基本量与方

9、程考点：直线的基本量 直线的倾斜角、斜率、截距、直线上的点等等都属于直线的基本量的范畴.一般来说，知道直线的两个基本量就可以确定一条直线.注意倾斜角变化时，斜率的变化规律；当倾斜 角0 , 90 )时，斜率k都随的增加而增加，从0增加到禎玉；当倾斜角 -(90 , 180 )时，斜率k都随二的增加而增加，从增加到0 .倾斜角为 90时，斜率不存在.直线的截距要注意的是可正可负，与距离无关，是与坐标轴交点对应的坐标值.【例1 七直线xcos20 爵y sin 20 3 -0的倾斜角是()D.110AB相交，则直线I斜率的取值)A . 20B. 160C. 70*已知A( 2,4) , B(3 ,

10、 0)，直线I过原点0(0 , 0)且与线段范围是.如果直线 Ax By C =0经过第一、二、四象限，贝U(0 , BC 齊00, BC 0A. AC0, BC : 0B. ACC. AC 0, BC 0D. AC【解析D ;存，-2 0，总);(3) C【拓1 直线x -y sin建一1 =0的倾斜角的范围是 n 3 n 【解析卜，3；L44 J考点：直线方程 直线的五种形式里面，常用的形式是斜截式、点斜式与一般式.已知直线上一点，用点斜式方程；已知直线的斜率用斜截式方程.注意这两种形式都不能表示斜率不存在的直线.有时已知直线的横截距我们会将直线设为倒斜横截式，即my二x .b的形式，这种

11、形式不能表示斜率为零的直线，斜率为1 .一般式方程在求点到m直线的距离公式时用到，它可以表示所有的直线.直线的截距式使用较少，一般在比较明显涉及到横纵截距或其关系时使用，要注意单独讨论截距为零的情况；直线的两点式很少使用，给出两点求直线方程通常也会先求斜率，再用点斜式写出.【例2直线I过点M 2 , 1且分别交x、y轴于A、B点，O为坐标原点，若直线的横截距与纵截距相等，则符合条件的直线I有条.若直线的横截距与纵截距之和为_3，则符合条件的直线I有条.*低若M为AB中点，贝V直线I的方程为 ；卄若MA ：| MB 1： 2 ，则直线I的方程为 .斋A , B在x、y轴正半轴时， AOB的面积的

12、最小值为 .【解析】 2 ；(2)2 ；(3) x 2y _4 _0 ; x y _3 ;(5)4 ;考点：圆的基本量与方程教师备案 求圆的方程可以先通过几何关系求圆心坐标与半径，再写出圆的标准方程；也可以直接设圆的一般方程，通过条件得到参数的方程，求得结果，后者的计算量更大.例3求圆的方程的题有些如果通过几何关系求圆心，需要用到线段的中垂线的求法.注意圆的一般方程x 2 y 2 一 Dx Ey圆的标准方程得到此不等式.例：方程取值范围是 .解:一 F -” 0表示圆需要2 2JL .4*x y ax22 ay aa4D 2 E 2- 4F 0 ,可以通过配方成22ay 2a a 1- 0表示

13、圆，则 a的2 2 22a a T命0，解得-2 a ：咅3【铺垫】写出满足下列各条件的圆的方程：以A( 3 ,卩，B(5 , 5)为直径的圆； 圆心为(1 , 2)且与直线 5 x12 y 7二0相切的圆的方程. 【解析】 (x 1)2 ( y 2)2口25 ；2 2(x 1)( y 2)4 .【例3】写出满足下列各条件的圆的方程：*与x , y轴均相切且过点(1 , 8)的圆；圆心在直线4x +y =0上，且与直线I : x +y -护0切于点P(3 , 一2)的圆的方程; 过点A(1 , 1) , B( 3 , 5)，且圆心在直线2 x咿y+2 P上的圆的方程.【解析】(1)( x-5)

14、 2 ( y -5) 2 _25 或(x13)2 ( y 13) 2169;(x 0 2( y 4) 2 =8 ；(x 2) 2( y 2) 21Q .弋悭7.2位置关系考点：直线与直线的位置关系教师备案 铺垫复习两直线平行、垂直的条件，以及平行线间的距离公式.【铺垫】 “两直线的斜率相等”是“两直线平行 ”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件已知直线1 : x 2 y _ 2 -0 ,与直线1平行且距离等于-5的直线方程为【解析】A;5A; x 2 y 0 .或 x

15、2 y - 4 0 .-“直线(m2) x 3my 1 0与直线(m2) x(2) y 3 丫相互垂直”的(【例4】鲁*直线2x y -1-0绕(1 , 1)逆时针旋转 90，再向上平移A . x 2 y 10B. x 2- y 5 -0 C. x 2y 10 =1个单位，所得到的直线为D . x -2 y 5- 0 =悴 已知正方形的中心为直线2 Xy -2 = 0和x4ry+1=0的交点，正方形一边所在直线的方程为x 3 y 5- 0，其它三边所在的直线方程分别为若直线m被两平行线h： xy 1 0与I 2 : x-y 30所截得的线段的长为 2 2，则m的倾斜角是 1530456075其

16、中正确答案的序号是 .(写出所有正确答案的序号)【解析】 D x 3 y 7 -0 , 3 x-y，9-0 , 3 x-y 3 -0 ;(3)【拓2】已知两点A(1 , 6.3)、B(0 , 5- 3)到直线I的距离等于a，且这样的直线I可作4条，贝卩a的取值范围为()KC. 0 它 w 1D . 0 a 21A . a1 【解析】B ;考点：对称问题教师备案1 .点关于直线的对称点：点P( x 0 , yo )关于直线A( y 一yo ) 一B( x xo )亠 4亠亠A * B y C0的对称点Q( x , y)可以通过解方程组 _来求出，第一个方程代表PQ与对称轴垂直，第二个方程A( x

17、 x 0 ) B( y y 0 ) 2C 0 -代表PQ的中点在对称轴上.对于几个特殊情形可以单独总结：P(x0,y0)关于x轴的对称点是Q( x 0 , y0 )，关于y轴的对称点是 Q(x,y )，关于原点O的对称点是 Q( X0 , y0 );P(xo , yo )关于直线y 一 x的对称点是Q( yo , x ),关于丁-*的对称点是Q( -yo , xo ). P(xo , yo )关于直线y 一 x m的对称点是 Q( y 0 m, xo m)，关于y 一 一 x m的对称 点是 Q( y 0 m, xom).2 .直线I关于点P对称直线I ; I /I ，且I上的点关于 P的对称

18、点在I 上.女口：直线x y 1 0关于点(1 , 2)的对称直线方程可设为x y m 一 0，又-(1 , 0)在直线x -yj-0上，(1 , 0)关于(1 , 2)的对称点为(3 , 4)，故m 一 - 7，即所求直线为x y 一7 一0 .I3 .直线Io关于直线I的对称直线I o :菱K若Io / I，则Io / Io，且Io与I之间的距离等于Io与I之间的距离；$ r若I 0与I相交，则交点在Io上，且Io上任一点关于直线I的对称点也在Io 上.【例5】 已知 A( J , 2) , B(4 , 3)，在 x轴上有一点+ P，使PA PB最小，则P点的坐标为音_*直线1 : x+

19、2 y 10关于点(1 , 1)的对称直线方程为_. ABC中，点A的坐标为(2 , 2)，点B的坐标为(4 ,2) , A的角平分线恰好经过原点，则边 AC所在的方程为二f =【解析】(1 , 0) ;(2) x 2 y 50 ;(3) x 2 y 60 ；*直线系选讲(学生版不出现)圆系与曲线系问题教师备案 直线系问题是选讲考点，不作常规要求，可以根据学生情况选择讲解. 因为使用较少，不再介绍.知识点:过定点和直线和直线和直线【例题】【解析】7(C C )；(xo , yo )的直线系方程Ax _ By Cy kx b平行的直线系方程yAx By C 0垂直的直线系方程经过两相交什直线A1

20、 x B1 y Cj0和A2 x B2 y C20的交点的直线系方程A1 x B1 yC1( A2xB2 y-C2 )0 -(不包括直线A2x B2 yC20 ).直线I经过直线3x 2y 6 0和2 x 5 y 70的交点， 且在两坐标轴上的截距相等，线I 的方程；亠 _* 亠“ 鼻 一求经过直线3x 2 y 10和x 3y 4 0的交点，垂直于直线x 3 y 4 0的直线I的方求经过两直线 2 x 3 y 1 , 3x 2 y 2的交点，且平行于直线y 3x 一 0的直线方程；已知过点P 31的直线I被两平行直线I 1 : x 2 y 10与I 2 : x 2y 3 0所截的线段中62 x

21、 5 y 7y yo k(x xo );总匸0平行的直线系方程Ax By :_C 0kx b , b - b ;_Bx Ay C 韻0 ;二 0 和 A2 x B2 y C2求直 程;点在直线12 :册y=1=0上，求直线I的方程. 显然直线2x根据截距相等列方程，解得+5 y 7 0不满足要求，二设直线1_的方程为3x_ 2 yI的方程为3x 4 y 0或x y 10 .3x y+3x设点250 ;13P 3 , 1的直线I被两平行直线li :电2 y 10与I 2 : x 2 y 3 0所截的线段中点为则容易知道点M ,求解：设直线I的方程是M在直线x 2 y 20上，于是可以利用过两直线

22、交点的直线系方程x 2 y 2_ x y 10，则由于该直线过点P 3,1 ,解得于是直线I的方程是2 x 5 y 10 .*考点：直线与圆的位置关系教师备案 圆的位置关系问题我们主要讨论直线与圆的位置关系，有相离、相交与相切三类，因为圆有很好的几何性质，所以直线与圆的位置关系问题常常是通过圆的几何性质求解的，很少联立方程求解. 这是直线与圆的位置关系与直线与圆锥曲线的位置关系问题明显不同的地方.圆与圆的位置关系问题涉及较少，我们不专门提及，在例题中有所涉及.在直线与圆的位置关系里面有几类问题是比较有代表性的：过切点的切线方程与切点弦方程：若直线与圆X2 屮2相切于点(xo，yo)，则切线方程

23、可以写成：xo xyoy - r 2 ；更一般地，与圆(x a) 2 ( y b)2 mr 2相切于点(xo，yo )的切线方程为：0o2 .(x a)( x a)( y 一 b)( y 一b) 一 r如果点(xo , yo )在圆外，则与切线方程同样形式的方程表示过该点所作的圆的两条切线对应的切点连线的方程，即切点弦方程.定圆外一动点引圆的切线问题:设圆的圆心为 O，半径为r，过圆外一点P引圆的切线PA、PB , PO - d ,d越短切线长那么 POA 和 POB是关于PO对称的直角三角形，PAi pB =Jd2-r2 ；以下几个条件完全等价：PA越昭圆心角 AoB越小之弧长 AB和弦长

24、AB越短一四边形 PAOB面积越B小. 定圆上到定直线距离为定值的点的个数问题：设圆的圆心为O，半径为r，圆心O到定直线I的距离为d .求圆上到直线I距离为m的点的 个数.至U直线I距离为m的点的轨迹是两条与I平行，距离为m的直线； 和圆心在I同侧的那条记为Ii，另外一条记为I 2 .贝U O到Ii的距离为d - m , O到I 2的距离为d m，圆与Ii和 I 2的交点就是圆上到I距离为m的点.分别判断d i m和d *m与r的大小， 可知圆与Ii和I 2的交点个数.2 2【铺垫】(1)已知圆O : x y 一 5和点A(1 , 2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形 的面积等

25、于过圆O : x 2 +y2=2外一点P(4 , 2)向圆引切线，切点为Pi , P2，则切线方程为 直线PiP2的方程为 .25【解析】4 x y 2 o 与 x 7 y io o ; 2x y i o ;【例6】圆X2 * y22 x2 y*i=o上的动点Q到直线3 x*4 y*8 T 距离的最小值为 .(2)与直线x y _2 o相切且与曲线x2 y2i2x i2 y 54 - o相外切的半径最小的圆的标准方程是 .)【解析】 2 ；2) ( x - 2)2 ( y - 2) 2- 2【拓3】已知点P( x , y)是直线kx y4= o (k圆C : x2 L y2 2 y 一o的两条

26、切线，A, 的最小面积是2，则k的值为(A. 3【解析】D2!B.C.2 2 D . 2 2【例7】匕若P2 , 1为圆A . x y 30 2x 1y25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）B. 2 x 4 3- 0 =C. x p 1-0=D.2 x -y 5- 0 戸八（2011上学期东城期末统考文4）直线I过点（4 , 0）且与圆（x 1）A，B两点，如果:AB : 8，那么直线I的方程为（）2 2+ ( y 一 2)- 25 交于【解析】【拓4】A . 5x 12 y 20 0 一C. 5x 12y 20 0 (A.B. 5 x -12 y 20 0-或 x 4 0 -2010江西

27、理8）直线y二kx才3与圆（1 3）2 +（ y吃）2 = 4相交于M,N两点，若 2 3；则k的取值范围是（）-,3 ,丨 計一rB 0，+或C .心，曰D. L.2，1p TVJI11L 414 JL 33J5D . 5 x -12 y 20 0 -或 x 4 托二MN（2010江苏9）在平面直角坐标系12 x 5 y c 0-的距离为1，则实数xOy中，已知圆 c的取值范围是2 2* y- 4上有且只有四个点到直线【解析】(*3 , 13).27.3线性规划考点：线性规划【铺垫】 原点和点（1 , 1）在直线x t 旷 =0的两侧，贝y a的取值范围是if曙口 x y 0（2）（ 201

28、2朝阳高三期末11 ）在平面直角坐标系中，不等式组x 辛- y力0所表示的平面区域x 0y 0【解析】02 ;1 ；3） 11 .【例8 已知点P x , y的坐标满足条件,那么x2y2的取值范围是【解析【拓5 【解析Qpy 1的取值范围是x 1（2012昌平二模13）若变量x , y满足约束条件x w 0y0 表示的平面区域为y x w 4二若不等式组2时，动直线x y*所经过的平面区域x - y 迦2xy w 2表示的平面区域是一个三角形，则 0亞y w aM的面积为a的取值范围是（3:1，2:7 ；3) D;190-jfc-x 2 yx y 8 0所表示的平面区域为2x 穴 y T4 w

29、 0图象过区域 M的a的取值范围是（设二元一次不等式组A . 1 , 310使函数C. 2 , 9课后习题、选择题* *设A , B为x轴上两点，点P1、的横坐标为2，且 PA PB,若直线【解析则直线PB的方程为（A .D2 x y 丁 0_)B. 2 x y 1_ 0 2、【解析ab - 42x ”是“直线A .充分必要条件C .必要而不充分条件C+ ay 1 0 与直线B .充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件bx 2 y _ 2- 0 平行”的(*= 舟。一若过点A（4 , 0）的直线l与曲线（x 2） 2 y2 一 1有公共点，则直线（ ）y a x (a 0 ,才 1)的10

30、, 9PA的方程为x y 1 - 0 ,D . x y 5 0I的斜率的取值范围为A .丁3B . (_33|一 十口 C.3d . i y 3 “ 3J331 1L1(33J flk *【解析】C4、 （ 2011东城高三期末理6）直线ax by 十喷a b 0与圆宀 $ = 2的位置关系为（）A 相交B .相切【解析】D2 2C .相离D.相交或相切* * 5、直线y 一才3与圆x y 2x二15相交于P , Q两点，点 M是圆上一点，且 MPQ的面积等于8，这样的点 M有且仅有（）A. 1个B . 2个C. 3个D. 4个【解析】D二、填空题6、（2012朝阳高三期末12 ）设直线x F

31、y12 20与圆x 1一 y -24相交于A,B两点，【解析】且弦AB的长为23，则实数.33m的值是7、如果直线（m 2） x2(m3m 2） y 一 m 2与y轴平行，则m【解析】【解析】* （ 2012海淀高三期末已知圆 弧长之比为1: 3的两段圆弧，则直线x . 3y 1 0 一；13)C : （x 的方程为2 21) y_ 2 ,过点A1 , 0)的直线I将圆C分成9、*贏已知点P , y 的坐标满足条件x 2y x，点O为坐标原点， 那么| PO |的最大值等于x y 8【解析】210 .10、:-jx 02 y的最小值是;在平面直角坐标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是【解析

32、】n0; 2. -三、解答题11、几 求由三条直线x，2 y 2-0 , 2x y 6 0 , x 2 y 6 0所构成的三角形的外接圆方程.2 2【解析】x y 2x 7 y 18 - 0 .12、為已知圆: x +y =1，圆C / x+( y4)2=1，由两圆外一点 PB，切点分别为 A、B ,如右图，满足 PA =| PB .P（a ， b）引两圆切线PA、求实数a、b间满足的等量关系； 求切线长PA的最小值.是否存在以 P为圆心的圆，使它与圆 方程；若不存在，说明理由.【解析】a 2 b 一5 = 0 . | PA |min 二 2 .相内切，并且与圆C相外切？若存在，求出圆 不存在符合题设条件的圆P.