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1、Gyxo 1LQdyPdx则则称称曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关,一、曲线积分与路径无关的定义一、曲线积分与路径无关的定义 2LQdyPdx1L2LBA如果在区域如果在区域G内有内有 否否则则与与路路径径有有关关.二、曲线积分与路径无关的条件二、曲线积分与路径无关的条件 设开区域设开区域G是一个单连通域是一个单连通域,函数函数),(),(yxQyxP在在G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则曲线积分则曲线积分 LQdyPdx在在G内与路径无关内与路径无关（或沿（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是要条件是xQyP
2、 在在G内恒成立内恒成立.定理定理2 2(1)开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域.(2)函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数.两条件缺一不可两条件缺一不可有关定理的说明：有关定理的说明：三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积 设设开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域,函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数,则则dyyxQdxyxP),(),(在在G内内为为某某一一函函数数),(yxu的的全全微微分分的的充充要要条条件件是是等等式式xQyP 在在G内内恒恒成成立立.定理定理3 3xQyP 若
3、若 ),(),(1100yxByxAQdyPdx则则dyyxQdxyxPyyxx),(),(101010 ),(01yxC),(11yxB xyo),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(101010 或或例例 1 1 计计算算 Ldyyxdxxyx)()2(422.其其中中L为为由由点点)0,0(O到到点点)1,1(B的的曲曲线线弧弧2sinxy .xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 xQyP ，原原积积分分与与路路径径无无关关 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 例例 2 2 设设曲曲线线积积分分 Ldyxydxxy)(2与与路路径径
4、无无关关,其其中中 具具有有连连续续的的导导数数,且且0)0(,计计算算 )1,1()0,0(2)(dyxydxxy.积分与路径无关积分与路径无关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP),(),(xyyxQ 由由0)0(，知知0 c 2)(xx .故故 )1,1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)(cxx 2)(10100ydydx.21 四、小结四、小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数,则则以以下下四四个个命
5、命题题成成立立.LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1(CDCQdyPdx闭闭曲曲线线,0)2(QdyPdxduyxUD 使使内内存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题一一、填填空空题题:1 1、设设闭闭区区域域D由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线L围围成成,函函数数),(,),(yxQyxP及及在在D上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数,则则有有 DdxdyyPxQ)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、设设D为为 平平 面面 上上 的的 一一 个个 单单 连连 通通 域域,函函 数数),(,),(yxQyxP
6、在在D内内有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数,则则 LQdyPdx在在D内内与与路路径径无无关关的的充充要要条条件件是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _在在D内内处处处处成成立立；3 3、设设D为为由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线L所所围围成成的的闭闭区区域域,其其面面积积为为 5 5,又又),(yxP及及),(yxQ在在D上上有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数,且且1 xQ,1 yP,则则 LQdyPdx_ _ _ _.练练 习习 题题二、二、计算计算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由抛物线是由抛物线2xy 和和xy 2所围成的区域的正向边界曲线所围
7、成的区域的正向边界曲线,并并验证格林公式的正确性验证格林公式的正确性.三、三、利用曲线积分利用曲线积分,求星形线求星形线taytax33sin,cos 所所围成的图形的面积围成的图形的面积.四、证明曲线积分四、证明曲线积分 )4,3()2,1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy在整个在整个xoy面面内与路径无关内与路径无关,并计算积分值并计算积分值.五、利用格林公式五、利用格林公式,计算下列曲线积分计算下列曲线积分:1 1、Ldyyxdxyx)sin()(22其中其中L是在圆周是在圆周 22xxy 上由点上由点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)的一段弧；的一段弧；2 2
8、、求曲线积分、求曲线积分 AMBdyyxdxyxI221)()(和和 ANBdyyxdxyxI222)()(的差的差.其中其中AMB是过原点和是过原点和)1,1(A,)6,2(B且其对称轴垂直于且其对称轴垂直于x轴的抛物线上的弧段轴的抛物线上的弧段,AMB是连接是连接BA,的线段的线段.六、计算六、计算 Lyxydxxdy22,其中其中L为不经过原点的光滑闭曲为不经过原点的光滑闭曲 线线.(.(取逆时针方向取逆时针方向)七、验证七、验证yxxdxxyyx23228()83(dyyey)12 在整在整个个xoy平面内是某一函数平面内是某一函数),(yxu的全微分的全微分,并求这并求这样一个样一个
9、),(yxu.八八、试试确确定定,使使得得dyryxdxryx 22 是是某某个个函函数数),(yxu的的全全微微分分,其其中中22yxr ,并并求求),(yxu.九九、设设在在半半平平面面0 x内内有有力力)(3jyixrkF 构构成成力力场场,其其中中k为为常常数数,22yxr .证证明明在在此此力力场场中中场场力力所所作作的的功功与与所所取取的的路路径径无无关关 .练习题答案练习题答案一、一、1 1、LdyQPdx；2 2、xQyp ；3 3、10.10.三、三、301.四、四、283a.五、五、236.236.六、六、1 1、2sin4167 ；2 2、-2-2.七、七、1 1、当、当所所包包围围L的的D区区域域不包含原点时不包含原点时,0,0；2 2、当、当所所包包围围L的的D区区域域包含原点包含原点,仅仅绕绕且且L原点原点 一圈时一圈时,2；3 3、当、当所所包包围围L的的D区区域域包含原点包含原点,绕绕且且Ln原原点点 圈时圈时,n2.七、七、)(124),(223yyeyeyxyxyxu .八、八、yryxu ),(,1.
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