极值点偏移---拐点偏移

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1、极值点偏移 - 拐点偏移极值点偏移问题专题拐点偏移例 1 已知函数 f x2ln xx2x ，若正实数x1 ， x2 满足fx1 +fx2 =4 ，求证 : x1x22 。证明：注意到 f1 =2 ， f x1 +f x2 =2f 1f x1 +fx2=2f1f x = 2+2x 10xf x =22 ， f 1=0 ，则（ 1,2 ）是 f x 图像的拐点，x2若拐点（ 1,2 ）也是 f x 的对称中心，则有 x1 x2 =2 ，证明 x1 x2 2则说明拐点发生了偏移，作图如下想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理2

2、不妨设 0x11x2 ，要证x1 x22x22x11fx2f2 x14fx1f 2x14fx1f 2x1Fxf xf 2x， x0,1 ，则Fxfxf2x22x122 2 x1x2x4 1x110 ，x 2x得 F x在 0,1上单增，有 F xF1 2 1 4，得证。2 、极值点偏移 PK 拐点偏移常规套路1 、 极值点偏移（ f x00 ）二次函数 f x1 f x2x1 x2 2x0f x1f x2x2 2x0 x1x1x2 2x02 、拐点偏移fx003f x1f x2 2 f x0x2 2x0 x1f x1 f x2 2 f x0x1 x2 2x0x1x2 2x0极值点偏移问题专题（

3、1 ） 对称化构造（常规套路）例 1 （2010 天津）已知函数 f xxe x （ 1）求函数 f x 的单调区间和极值；（ 2）已知函数 g x 的图像与 f x 的图像关于直线x1 对称，证明：当x1 时， fxg x ；（3）如果 x1 x2 ，且 f x1fx2，证明：x1x224点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法对称化构造的全过程，直观展示如下：例 1 是这样一个极值点偏移问题：对于函数fxxe x ，已知 fx1fx2， x1 x2 ，证明 x1 x2 2 再次审视解题过程，发现以下三个关键点：（1） x1 ， x2 的范围 0 x1 1

4、x2 ；5（2）不等式 f xf2xx1 ；（ 3）将 x2 代入（ 2 ）中不等式，结合 f x 的单调性获证结论把握以上三个关键点， 就可轻松解决一些极值点偏移问题例 2 （2016 新课标卷）已知函数fxx2 exa x1 2 有两个零点（ 1）求 a 的取值范围；（ 2）设 x1 ， x2 是 f x 的两个零点，证明： x1 x2 2 解：（1） 0, ，过程略；（2）由（ 1 ）知 f x 在,1 上，在 1,上，由fx1fx20 ，可设 x1 1 x2 构造辅助函数 F xf x f 2 xF xf xf 2xx 1ex2a1xe2 x2ax 1exe2x6当 x1时， x10

5、，exe2 x0 ，则 Fx0 ，得 F x 在,1上，又 F 10 ，故 Fx0 x1 ，即 fxf2xx1 将 x1 代入上述不等式中得fx1fx2f2x1 ，又 x2 1 ，2x11， fx 在 1,上，故 x1 2 x1 ， x1 x2 2 通过以上两例， 相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解但极值点偏移问题的结论不一定总是x1x22x0 ，也可以是 x1x2x02 ，借鉴前面的解题经验，我们就可给出类似的过程例 3已知函数 f xxln x 的图像与直线ym交于不同的两点 Ax1 , y1， Bx2 , y2 ，求证： x1x212 e证明：（ i）f xln x

6、 1，得f x在0,1上，在1,上ee；当 0 x1时， f x0 ； f 10；当 x1 时， fx 0 ；当 x0 时， fx0 （洛必达法则）；当 x时，f x，于是 f x 的图像如下，得 0 x11x2 1e7小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：step1 ：求导，获得 f x 的单调性，极值情况，作出 fx 的图像，由 fx1fx2 得 x1 ，x2 的取值范围（数形结合）；step2 ：构造辅助函数（对结论x1x22x0 ，构造F xfxf2x0x ；对结论 x1x2x02 ，构造8F x f x fx02），求导，限定范围（ x1 或 x2 的范围），x判定符号，获得不等式；step3 ：代入 x1 （或 x2 ），利用 f x1fx2 及 f x 的单调性证明最终结论9