证明数列收敛
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1、本文讨论了一类递推数列的单调性与收敛性问题,同时也推广与包含了近期一些文献中的结果.运用单调有界性来证明收敛,而能用单调有界定理证明收敛的有四种情况: 易知单调递增或递减,需证有上界或下界。 易知有上界或下界,需证单调递增或递减。 易知既有上界又有下界,需证单调。 易知单调,需证既有上界又有下界。用导数来求证单调有界性如果,即函数单调递增时,数列具有单调性是可以肯定的,而研究递增递减那要看跟的比较了(如果的话,那么)具体的说若时,由,那么可以判定为减数列。若时,由,那么可以判定为增数列。例题1.证:记,则因为,则,由于所以,即那么具有单调有界性,上界为3然后对数列两边取极限,记极限为A则.设函
2、数,其中A为方程的根,由于在上连续,在内可导,则所以函数递增,又由于所以的根在内。如果,即函数单调递减时,数列肯定不具有单调性的但是,它的奇数项子数列和偶数项子数列都可以看作是通过单调增加函数g(x).其中所以肯定具有单调性,而且其增减性恰好相反例题1.当时,证明数列收敛,并求其极限值。证:设函数,则函数在上连续,在内可导,易知。所以在上递减。由于,可知,又在上递减。所以有,即,所以可推得由此可知奇数项子数列单调递减有下界,偶数项子数列单调递增有上界,则两子数列都收敛。设奇数项子数列收敛于P,偶数项子数列收敛于Q。对两边去极限得:解方程得那么数列收敛于。利用不动点与导数的结合来证单调有界性。定
3、义:对于函数,若存在实数C,使得,则称C为的不动点。命题1.设函数在上连续,在内可导,且,.设,则递推数列收敛。命题2.设函数在上连续,在内可导,且,.设,则递推数列收敛。命题3.如果函数在有唯一的不动点,那么数列必收敛于该不动点。推论:对于递推数列, 如果,那么数列收敛,且收敛于L,其中。例题1.设, (),求证:数列收敛,并求其极限。解:数列的迭代方程,。又,即。故数列在区间上满足命题1的条件,于是数列收敛。又在上有唯一的不动点,于是。例题2. 已知函数,且存在,使.设, ,,,其中,证明:。证:由数列的迭代函数得,从而在区间上,由命题1的结论得,在区间上,由命题2的结论得,于是有证毕利用单调性的定义或数学归纳法。例题1. 设, ,证明数列极限存在。思路:先试求的极限,对两边取极限,解得,猜想它是数列的一个上界,那么问题就转换为证明这个猜想。证:易从看出数列递增。接下来用数学归纳法求证有上界。显然,假设,便有了。则为单调递增有上界的数列,故数列收敛。例题3. 证:利用数学归纳法对n进行归纳证明,当时已知成立。假设,由重要不等式得:,因此有下界0,且当时,,故单调递减,即收敛。此外由单调递减,,即有上界,并且当时,,故单调递增,即收敛。
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