平面向量的概念及其线性运算课件

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1、要点梳理要点梳理1.1.向量的有关概念向量的有关概念 (1)(1)向量：既有向量：既有 又有又有 的量叫做向量，向的量叫做向量，向 量的大小叫做向量的量的大小叫做向量的 （或模）（或模）.(2)(2)零向量：零向量：的向量叫做零向量，其方向是的向量叫做零向量，其方向是 的的.的向量的向量.第五编 平面向量5.1 5.1 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算大小大小1 1个单位个单位基础知识基础知识 自主学习自主学习(4)(4)平行向量：方向平行向量：方向 或或 的的 向量向量.平行向量平行向量又叫又叫 ，任一组平行向量都可以移到同一条直，任一组平行向量都可以移到同一条直线上线上

2、.规定：规定：0 0与任一向量与任一向量 .(5)(5)相等向量：长度相等向量：长度 且方向且方向 的向量的向量.(6)(6)相反向量：长度相反向量：长度 且方向且方向 的向量的向量.相同相同相反相反非零非零共线向量共线向量平行平行相等相等相同相同相等相等相同相同2.2.向量的加法和减法向量的加法和减法 （1 1）加法）加法 法则：服从三角形法则、平行四边形法则法则：服从三角形法则、平行四边形法则.运算性质：运算性质：a a+b b=(交换律）；交换律）；(a a+b b)+)+c c=（结合律）；（结合律）；a a+0 0=.(2)(2)减法减法 减法与加法互为逆运算；减法与加法互为逆运算；

3、法则：服从三角形法则法则：服从三角形法则.b b+a aa a+(b b+c c)0 0+a aa a3.3.实数与向量的积实数与向量的积 （1 1）长度与方向规定如下：）长度与方向规定如下：|a a|=|=;当当 时，时，a a与与a a的方向相同；当的方向相同；当 时，时，a a与与a a的方向相反；当的方向相反；当 =0=0时，时，a a=.(2)(2)运算律：设运算律：设 、R R，则：，则：(a a)=)=;(+(+)a a=;(a a+b b)=)=.|a a|0 0 0 00 0()a a a a+a a a a+b b4.4.两个向量共线定理两个向量共线定理 向量向量b b与与

4、a a(a a0 0)共线的充要条件是共线的充要条件是 .有且只有一个实数有且只有一个实数 ，使得使得b b=a a基础自测基础自测1.1.如图所示，在平行四边形如图所示，在平行四边形ABCDABCD中，下列结论中错中，下列结论中错误的是误的是（）A.A.B.B.C.C.D.=D.=0 0 解析解析 A A显然正确，由平行四边形法则知显然正确，由平行四边形法则知B B正确正确.，故，故C C错误错误.D.D中中 =0 0.CDCAB ACABADBDADABCBADDBADABDAADCBAD2.2.如图所示，如图所示，D D是是ABCABC的边的边ABAB上的中点，则向量上的中点，则向量 等

5、于等于（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 D D是是ABAB的中点，的中点，CDBABC21BABC21BABC21BABC21BABD21.21BABCBDCBCDA3.3.（20092009北京）北京）已知向量已知向量a a、b b不共线，不共线，c c=k ka a+b b(k kR R),),d d=a a-b b.如果如果c cd d，那么（，那么（）A.A.k k=1=1且且c c与与d d同向同向 B.B.k k=1=1且且c c与与d d反向反向 C.C.k k=-1=-1且且c c与与d d同向同向 D.D.k k=-1=-1且且c c与与d d反向反向 解析解析

6、c cd d,c c=d d,即即k ka a+b b=(a a-b b).).又又a a、b b不共不共线，线，k k=,=-1,=-1,1=-1=-,k k=-1.=-1.c c=-=-d d,c c与与d d反向反向.D4.4.下列各命题中，真命题的个数为下列各命题中，真命题的个数为（）若若|a a|=|=|b b|，则，则a a=b b或或a a=-=-b b；若若 ，则，则A A、B B、C C、D D是一个平行四边形的是一个平行四边形的四个顶点；四个顶点；若若a a=b b,b b=c c，则，则a a=c c;若若a ab b,b bc c,则则a ac c.A.4 A.4B.3

7、B.3C.2C.2D.1D.1DCAB 解析解析 由由|a a|=|=|b b|可知向量可知向量a a,b b模长相等但不能确定模长相等但不能确定向量的方向，如在正方形向量的方向，如在正方形ABCDABCD中，中，|=|=|，但，但 与与 既不相等也不互为相反向量，故此命题错误既不相等也不互为相反向量，故此命题错误.由由 可得可得|=|=|且且 ，由于由于 可能是可能是A A，B B，C C，D D在同一条直线上，在同一条直线上，故此命题不正确故此命题不正确.正确正确.不正确不正确.当当b b=0 0时，时，a ac c不一定成立不一定成立.答案答案 D DABADABADDCAB ABDCA

8、BDCABDC5.5.在四边形在四边形ABCDABCD中，中，=a a+2+2b b，=-4=-4a a-b b，=-5=-5a a-3 3b b，其中，其中a a，b b不共线，则四边形不共线，则四边形ABCDABCD为（为（）A.A.梯形梯形 B.B.平行四边形平行四边形 C.C.菱形菱形 D.D.矩形矩形 解析解析 由已知得由已知得 =-8=-8a a-2-2b b，故故 ，由共线向量知识知，由共线向量知识知ADADBCBC，且且|ADAD|=2|=2|BCBC|，故四边形，故四边形ABCDABCD为梯形，所以选为梯形，所以选A.A.AABBCCDCDBCABADBCAD2题型一题型一

9、平面向量的有关概念平面向量的有关概念【例例1 1】给出下列命题】给出下列命题 向量向量 的长度与向量的长度与向量 的长度相等；的长度相等；向量向量a a与向量与向量b b平行，则平行，则a a与与b b的方向相同或相反；的方向相同或相反；两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向量向量 与向量与向量 是共线向量，则点是共线向量，则点A A、B B、C C、D D必在同一条直线上；必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假

10、命题的个数为其中假命题的个数为（）ABBAABCD题型分类题型分类 深度剖析深度剖析A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5 熟练掌握向量的有关概念并进行判断熟练掌握向量的有关概念并进行判断.解析解析 中，中，向量向量 与与 互为相反向量，互为相反向量，它们的长度相等，它们的长度相等，此命题正确此命题正确.中若中若a a或或b b为零向量，则满足为零向量，则满足a a与与b b平行，但平行，但a a与与b b的方的方向不一定相同或相反，向不一定相同或相反，此命题错误此命题错误.由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定

11、相同，点相同，则其终点也必定相同，该命题正确该命题正确.由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，一定共线，该命题错误该命题错误.思维启迪思维启迪ABBA共线向量是方向相同或相反的向量，共线向量是方向相同或相反的向量，若若 与与 是共线向量，则是共线向量，则A A、B B、C C、D D四点不一定四点不一定在一条直线上，在一条直线上，该命题错误该命题错误.零向量不能看作是有向线段，零向量不能看作是有向线段，该命题错误该命题错误.答案答案 C C （1 1）本题涉及的主要内容有向量的概）本题涉及的主要内容有向量的概念、向量的表示、零向量、平

12、行向量、相等向量、共念、向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共线向量线向量.（2 2）搞清楚向量的含义）搞清楚向量的含义.向量不同于我们以前学习过向量不同于我们以前学习过的数量，学习时应结合物理中位移等向量进行观察、的数量，学习时应结合物理中位移等向量进行观察、抽象、分析、比较，逐步理解向量是既有大小又有方抽象、分析、比较，逐步理解向量是既有大小又有方向的量向的量.ABCD探究提高探究提高知能迁移知能迁移1 1 下列结论中，不正确的是下列结论中，不正确的是（）A.A.向量向量 ，共线与向量共线与向量 同义同义 B.B.若向量若向量 ，则向量，则向量 与与 共线共线 C.C.若向量若向量 =

13、，则向量，则向量 =D.D.只要向量只要向量a a，b b满足满足|a a|=|=|b b|，就有，就有a a=b b 解析解析 根据平行向量（或共线向量）定义知根据平行向量（或共线向量）定义知A A、B B均均正确；根据向量相等的概念知正确；根据向量相等的概念知C C正确；正确；D D不正确不正确.DABCDABCDABCDABDCABCDABDC题型二题型二 平面向量的线性运算平面向量的线性运算【例例2 2】在】在ABCABC中，中，D D、E E分别为分别为 BCBC、ACAC边上的中点，边上的中点，G G为为BEBE上上 一点，且一点，且GBGB=2=2GEGE，设，设 =a a，=b

14、 b，试用，试用a a、b b表示表示 ，.结合图形性质，准确灵活运用三角形法结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.解解ACABADAG思维启迪思维启迪;2121)(21ACABAD)(3132BCBAABBEABBGABAGa ab b （1 1）解题的关键在于搞清构成三角形）解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化化.（2 2）用几个基本向量表示某个向量

15、问题的基本技巧）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：是：观察各向量的位置；观察各向量的位置；寻找相应的三角形或寻找相应的三角形或多边形；多边形；运用法则找关系；运用法则找关系；化简结果化简结果.31313131ACAB)(3132ABACAB探究提高探究提高a ab b知能迁移知能迁移2 2 （20092009山东）山东）设设P P是是ABCABC所在平面内所在平面内 的一点，的一点，则，则 （）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 因为因为 ，所以点，所以点P P为线段为线段ACAC的的中点，即中点，即 ，如图，如图.BPBABC2 PBPAAPPCCPPBCPPBPABPBAB

16、C2APPCB0 00 00 00 00 0题型三题型三 共线向量问题共线向量问题【例例3 3】（1212分）设两个非零向量分）设两个非零向量a a与与b b不共线，不共线，(1)(1)若若 =a a+b b，=2=2a a+8+8b b，=3=3（a a-b b）.求证：求证：A A、B B、D D三点共线；（三点共线；（2 2）试确定实数）试确定实数k k，使，使k ka a+b b和和a a+k kb b共线共线.（1 1）由已知求）由已知求 判断判断 与与 的关系的关系判断判断A A、B B、D D的关系的关系.（2 2）应用共线向量的充要条件）应用共线向量的充要条件列方程组列方程组

17、解方程组得解方程组得k k值值.ABBCCD思维启迪思维启迪ABBDBD（1 1）证明证明 =a a+b b,=2,=2a a+8+8b b,=3 =3（a a-b b），），=2 =2a a+8+8b b+3+3（a a-b b）=2=2a a+8+8b b+3+3a a-3-3b b=5=5（a a+b b）=5 .4=5 .4分分 、共线，共线，又又它们有公共点它们有公共点B B，A A、B B、D D三点共线三点共线.6.6分分ABBCCDCDBCBDABABBD（2 2）解解 k ka a+b b与与a a+k kb b共线，共线，存在实数存在实数 ，使，使k ka a+b b=(a

18、 a+k kb b),),即即k ka a+b b=a a+k kb b.（k k-）a a=(=(k k-1)-1)b b.9.9分分a a、b b是不共线的两个非零向量，是不共线的两个非零向量，k k-=-=k k-1=0,-1=0,k k2 2-1=0.-1=0.k k=1.121.12分分 探究提高探究提高 （1 1）向量共线的充要条件中要注意当）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想想.（2 2）证明三点共线问题，可用

19、向量共线来解决，但）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线量共线且有公共点时，才能得出三点共线.知能迁移知能迁移3 3 设两个非零向量设两个非零向量e e1 1和和e e2 2不共线不共线.(1)(1)如果如果 =e e1 1-e e2 2,=3,=3e e1 1+2+2e e2 2,=-8,=-8e e1 1-2-2e e2 2,求证求证:A A、C C、D D三点共线；三点共线；（2 2）如果）如果 =e e1 1+e e2 2,=2,=2e e1 1-3-3e e

20、2 2,=2,=2e e1 1-k ke e2 2,且且A A、C C、D D三点共线，求三点共线，求k k的值的值.（1 1）证明证明 =e e1 1-e e2 2,=3,=3e e1 1+2+2e e2 2,=-8,=-8e e1 1-2-2e e2 2,=4 =4e e1 1+e e2 2=(-8=(-8e e1 1-2-2e e2 2)=,)=,与与 共线，又共线，又 与与 有公共点有公共点C C，A A、C C、D D三点共线三点共线.ABBCCDABBCABBCCDBCABAC21CDACCDCDACCD21（2 2）解解 =（e e1 1+e e2 2）+（2 2e e1 1-3

21、-3e e2 2）=3=3e e1 1-2-2e e2 2，A A、C C、D D三点共线，三点共线，与与 共线，共线，从而存在实数从而存在实数 使得使得 =，即即3 3e e1 1-2-2e e2 2=(2=(2e e1 1-k ke e2 2),),由平面向量的基本定理，由平面向量的基本定理，3=23=2 -2=-2=-k k,解之得解之得 =,=,k k=.=.BCABAC2334ACCD得得ACCD方法与技巧方法与技巧1.1.将向量用其他向量（特别是基向量）线性表示，是将向量用其他向量（特别是基向量）线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础十分重要的技能，也是向量坐标形式的基

22、础.2.2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点，首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点，最后的终点为终点的向量；若这两点重合，则和为最后的终点为终点的向量；若这两点重合，则和为零向量零向量.3.3.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线，但通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线，但要注意到向量的平行与直线的平行的区别要注意到向量的平行与直线的平行的区别.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范1.1.0 0与实数与实数0 0有区别，有区别，0 0的模为数的模为数0 0，它不是没有方向，它不是没有方向，而是方向不定而是方向不定.0 0可以看成与任意向量平行可以看

23、成与任意向量平行.2.2.由由a ab b,b bc c不能得到不能得到a ac c.取不共线的向量取不共线的向量a a与与c c，显然有显然有a a0 0,c c0 0.3.3.注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的根本区别与联系则的根本区别与联系.定时检测定时检测 一、选择题一、选择题1.1.（20092009湖南）湖南）对于非零向量对于非零向量a a、b b,“,“a a+b b=0 0”是是“a ab b”的的（）A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充分必要条件充分必要条件 D.D.既

24、不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 当当a a+b b=0 0时，时，a a=-=-b b,a ab b;当当a ab b时，不一定有时，不一定有a a=-=-b b.“a a+b b=0 0”是是“a ab b”的充分不必要条件的充分不必要条件.A2.2.已知已知O O为为ABCABC内一点，且内一点，且 =0 0，则，则AOCAOC与与ABCABC的面积之比是（的面积之比是（）A.12A.12B.13B.13C.23C.23D.11D.11 解析解析 设设ACAC的中点为的中点为D D，则，则 0 0，即点即点O O为为ACAC边上的中线边上的中线BDBD的中点，的中点，.A

25、OBOCOA2ODOCOA2OBODOBOCOA222,OBOD21ABCAOCSS3.3.(2008(2008全国全国)在在ABCABC中，中，=c c，=b b,若点若点D D满足满足 ，则，则 等于等于（）A.B.A.B.C.D.C.D.解析解析 如图所示如图所示,在在ABCABC中中,ABACDCBD2ADA.BDABAD.3132 3232,.32,2cbcbccb）（又BCABADABACBCBCBDDCBD3132323532313132b bc cb bc cb bc cb bc c4.4.（20082008广东）广东）在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,ACAC与与

26、BDBD交交 于点于点O O,E E是线段是线段ODOD的中点的中点,AEAE的延长线与的延长线与CDCD交于交于 点点F F.若若 =a a,=,=b b,则则 等于等于（）A.A.B.B.C.C.D.D.ACBDAFba3132ba2141ba4121ba3231解析解析 如图所示如图所示,E E是是ODOD的中点的中点,又又ABEABEFDEFDE,=3 ,=.=3 ,=.在在AOEAOE中中,=,=答案答案 B B.4141bBDOE.13DEBEEFAEAEEFAF43b.a4121OEAOAFb.a313243AEAEAE5.5.（20082008海南）海南）平面向量平面向量a a

27、,b b共线的充要条件是共线的充要条件是 （）A.A.a a,b b方向相同方向相同 B.B.a a,b b两向量中至少有一个为零向量两向量中至少有一个为零向量 C.C.R R,b b=a a D.D.存在不全为零的实数存在不全为零的实数 1 1,2 2,1 1a a+2 2b b=0=0 解析解析 A A中中,a a,b b同向则同向则a a,b b共线共线;但但a a,b b共线，共线，a a,b b不不一定同向一定同向,因此因此A A不是充要条件不是充要条件.若若a a,b b两向量中至少有一个为零向量两向量中至少有一个为零向量,则则a a,b b共线共线;但但a a,b b 共 线 时

28、共 线 时,a a,b b 不 一 定 是 零 向 量不 一 定 是 零 向 量,如如a a=(1,2),=(1,2),b b=(2,4),=(2,4),从而从而B B不是充要条件不是充要条件.当当b b=a a时时,a a,b b一定共线；一定共线；但但a a,b b共线时共线时,若若b b0 0,a a=0 0,则则b b=a a就不成立就不成立,从而从而C C也不是充要条件也不是充要条件.对于对于D,D,假设假设 1 10,0,则则a a=b b,因此因此a a,b b共线共线;反之反之,若若a a,b b共线共线,则则a a=b b,即即m ma a-n nb b=0 0.令令 1 1

29、=m m,2 2=-=-n n,则则 1 1a a+2 2b b=0 0.答案答案 D D12mn6.6.已知向量已知向量a a、b b、c c中任意两个都不共线，并且中任意两个都不共线，并且a a+b b与与 c c共线，共线，b b+c c与与a a共线，那么共线，那么a a+b b+c c等于（等于（）A.A.a a B.B.b b C.C.c c D.D.0 0 解析解析 a a+b b与与c c共线，共线，a a+b b=1 1c c 又又b b+c c与与a a共线，共线，b b+c c=2 2a a 由由得：得：b b=1 1c c-a a.b b+c c=1 1c c-a a+

30、c c=（1 1+1+1）c c-a a=2 2a a，1 1+1=0 +1=0 1 1=-1=-1 2 2=-1 =-1 2 2=-1=-1D，即，即,a a+b b+c c=-=-c c+c c=0 0.二、填空题二、填空题7.7.设设e e1 1、e e2 2是两个不共线的向量，已知是两个不共线的向量，已知 =2=2e e1 1+k ke e2 2，=e e1 1+3+3e e2 2，=2=2e e1 1-e e2 2，若，若A A、B B、D D三点共线，则三点共线，则实数实数k k的值为的值为 .解析解析 =2=2，-4 =-4 =k k.CB-8-8则则k k=-8.=-8.,22

31、1eekAB),4(2/.4)3()2(2121212121eeeeeeeeeek，知由BDABCBCDBDCDAB8.8.在在ABCABC中，中，=a a，=b b，MM是是CBCB的中点，的中点，N N是是ABAB的中点，且的中点，且CNCN、AMAM交于点交于点P P，则，则 可用可用a a、b b表示表示为为 .解析解析 如图所示，如图所示，CACBAPCPACAP.313231323131)(213232CBCACBCACACBCACACNCAba3132a ab b9.9.在在ABCABC中，已知中，已知D D是是ABAB边上一点，若式边上一点，若式 ,则则 =.解析解析 由图知由

32、图知 且且 =0 0.+2 2得得:3:3 ,2 DBAD CBCACD31BDCBCDADCACDBDAD2,2CBCACD.32,3231CBCACD32三、解答题三、解答题10.10.如图所示，在如图所示，在ABCABC中，中，D D、F F分别是分别是BCBC、ACAC的中点，的中点，a a，=b b.（1 1）用）用a a、b b表示向量表示向量 、；（2 2）求证：）求证：B B、E E、F F三点共线三点共线.（1 1）解解 延长延长ADAD到到G G，使，使 连接连接BGBG、CGCG，得到，得到ABGCABGC，所以所以 =a a+b b,AGABADAE,32ACADAE

33、AFBEBF,21AGAD).2(2121).2(31)(312121),(3132),(2121a-ba-bababab,babaABAFBFABAEBEACAFADAEAGAD(2)(2)证明证明 由由(1)(1)可知可知所以所以B B、E E、F F三点共线三点共线.,32BFBE 11.11.若若a a,b b是两个不共线的非零向量是两个不共线的非零向量,a a与与b b起点相同，起点相同，则当则当t t为何值时，为何值时，a a，t tb b，（a a+b b）三向量的终点在）三向量的终点在同一条直线上？同一条直线上？解解 设设 （a a+b b），），要使要使A A、B B、C C

34、三点共线，只需三点共线，只需 即即-a a+b b=t tb b-a a 当当t t=时时,三向量终点在同一直线上三向量终点在同一直线上.3131,OCtOBOAba,a.-bb,atOAOBABOAOCAC3132,ABAC3231解得解得21t31322132t12.12.已知：任意四边形已知：任意四边形ABCDABCD中，中，E E、F F分别是分别是ADAD、BCBC 的中点，求证：的中点，求证：证明证明 方法一方法一 如图所示，如图所示，E E、F F分别是分别是ADAD、BCBC的中点，的中点，同理同理 由由+得，得，).(21DCABEF,000EAFEBFABFCFBEDEA又EABFABEFCFDCEDEF).(21.)()(2DCABEFDCABCFBFEDEADCABEF方法二方法二 连结连结则则,ECEB).(21)(21)(21,DCABABEADCEDEBECEFABEAEB,DCEAEC