空间直线及其方程28课件

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1、湖北经济学院数学教研室2005.5第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 五、杂例五、杂例湖北经济学院数学教研室2005.5一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程 空间直线空间直线L可以看作是两个平面可以看作是两个平面II1和和II2的交线的交线(图图755).如果两个相交的平面如果两个相交的平面II1 和和II2 的方程分别为的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和和A2x+B2y+C2z

2、+D2=0，那么直线，那么直线L上的任一点的坐标应同时上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程，即应满足方程组满足这两个平面的方程，即应满足方程组 0,DzCyBxA0,DzCBxA22221111y(1)反过来，如果点反过来，如果点M不在直线不在直线L上，那么它上，那么它不可能同时在平面不可能同时在平面II1和和II2上，所以它的坐上，所以它的坐标不满足方程组标不满足方程组(1).因此，直线因此，直线L可以用可以用方程组方程组(1)来表示来表示.方程组方程组(1)叫做空间直线叫做空间直线的一般方程的一般方程.通过空间一直线通过空间一直线L的平面有无限多个，只要在这无限多个平面的平面有无限多

3、个，只要在这无限多个平面中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线示空间直线L.xyzo1 2 L湖北经济学院数学教研室2005.5二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的直线的方向向量方向向量.任意知道，直线上任一向量都平行于该直线任意知道，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量的方向向量.由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，由于过空间一点可作而且只能作一条直

4、线平行于一已知直线，所以当直线所以当直线L上一点上一点M0(x0,y0,z0)和它的一方向向量和它的一方向向量s=(m,n,p)为为已知时，直线已知时，直线L的位置就完全确定了，下面我们来建立这直线的位置就完全确定了，下面我们来建立这直线的方程的方程.设点设点M(x,y,z)时直线时直线L上的任一点，那么向量上的任一点，那么向量 MM0与与L的方向向量的方向向量s平行平行(7-56).所以两向量的对应坐标成比例，由于所以两向量的对应坐标成比例，由于 MM0=(x-x0,y-y0,z-z0),s=(m,n,p)，从而有从而有.000pzznyymxx (2)xyzosL0M M 湖北经济学院数学

5、教研室2005.5的方程，叫做直线的的方程，叫做直线的对称式方程对称式方程或或点向式方程点向式方程.反过来，如果点反过来，如果点M不在直线不在直线L上，那么由于上，那么由于 MM0这两向量的对应坐标就不成比例这两向量的对应坐标就不成比例.因此方程组因此方程组(2)就时直线就时直线L与与s不平行，不平行，直线的任一方向向量直线的任一方向向量s的坐标的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向叫做这直线的一组方向数，二向量数，二向量s的方向余弦叫做该直线的的方向余弦叫做该直线的方向余弦方向余弦.由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程.如设如设tpzznyymxx

6、000那么那么 ,000ptzzntyymtxx(3)方程组方程组(3)就是直线的参数方程就是直线的参数方程.湖北经济学院数学教研室2005.5例例 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线 ,0432,01zyxzyx解解 先找出这直线上的一点先找出这直线上的一点(x0,y0,z0).例如，可以取例如，可以取x0=1，代入方程组代入方程组(4)，得，得 .63,2zyzy解这个二元一次方程组，得解这个二元一次方程组，得y0=0,z0=-2.即即(1,0,-2)是这直线上的一点是这直线上的一点.下面再找出这直线的方向向量下面再找出这直线的方向向量s.由于两平面的交线与这

7、两平面的法线向量由于两平面的交线与这两平面的法线向量n1=(1,1,1)，n2(2,-1,3)都垂直，所以可取都垂直，所以可取湖北经济学院数学教研室2005.5.3431211121kjikjinns 因此，所给直线的对称式方程为因此，所给直线的对称式方程为 32141 zyx令令 tzyx 32141得所给直线的参数方程为得所给直线的参数方程为 ,32,41tztytx湖北经济学院数学教研室2005.5三、两直线的夹角三、两直线的夹角两条直线的方向向量的夹角两条直线的方向向量的夹角(通常指锐角通常指锐角)叫做两直线的叫做两直线的夹角夹角.设直线设直线L1和和L2的方向向量依次为的方向向量依次

8、为s1=(m1,n1,p1)和和s2(m2,n2,p2)，那么那么L1和和L2的夹角的夹角 应是应是(s1,s2)和和(-s1,s2)=-(s1,s2)两者中的两者中的锐角，因此锐角，因此cos =|cos(s1,s2)|.按两向量的夹角的余弦公式，按两向量的夹角的余弦公式，直线直线L1和直线和直线L2的夹角的夹角 可由可由cos =222222212121212121pnmpnmppnnmm (5)来确定来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：两直线两直线L1、L2互相垂直相当与互相垂直相当与m1m2+n1n2+p1p2=0

9、；两直线两直线L1、L2互相平行或重合相当于互相平行或重合相当于 212121ppnnmm 湖北经济学院数学教研室2005.5例例 2 求直线求直线L1：13411 zyx和和L2：1222 zyx的夹角的夹角.解解 直线直线L1的方向向量为的方向向量为s1(1,-4,1)；直线；直线L2的方向向量为的方向向量为s2=(2,-2,-1).设直线设直线L1和和L2的夹角为的夹角为，那么由公式那么由公式(5)有有 cos =22222)1()2(21)4(1)1(1)2()4(212 =,21所以所以.4 湖北经济学院数学教研室2005.5四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂

10、直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角)20(垂直时，规定直线与平面的夹角为垂直时，规定直线与平面的夹角为 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角(图图757)，当直线与平面，当直线与平面2 设直线的方向向量为设直线的方向向量为s=(m,n,p)，平面的法，平面的法线向量为线向量为n=(A,B,C)，直线与平面的夹角为，直线与平面的夹角为 ，那么，那么|2-(s,n)|，因此，因此sin|cos(s,n)|.因此因此sin=|cos(s,n)|，按两向量按两向量 夹角余弦的坐标表示式，有夹角余弦的坐标表示式，有 sin 222222pnm

11、CBACpBnAm (6)湖北经济学院数学教研室2005.5因此直线与平面垂直相当与直线的方向向量与平面的法线因此直线与平面垂直相当与直线的方向向量与平面的法线向量平行，所以，直线与平面垂直相当与向量平行，所以，直线与平面垂直相当与pCnBmA (7)因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直，所以，直线与平面平行或直线在平与平面的法线向量垂直，所以，直线与平面平行或直线在平面上相当与面上相当与 Am+Bn+Cp=0.(8)例例 3 求过点求过点(1,-2,4)且与平面且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方

12、程垂直的直线的方程.解解 因为所求直线垂直于已知平面，所以可以取已知平面的因为所求直线垂直于已知平面，所以可以取已知平面的法线向量法线向量(2,-3,1)作为所求直线的方向向量作为所求直线的方向向量.由此可得所求直由此可得所求直线的方程为线的方程为143221 zyx湖北经济学院数学教研室2005.5五、杂例五、杂例例例 4 求与两平面求与两平面x-4y=3和和2x-y-5z=1的交线平行且过点的交线平行且过点(-3,2,5)的直线的方程的直线的方程.解解 因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量向量s一定同时与两平面的法线向量一

13、定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以取垂直，所以可以取 )34(51240121kjikjinns 因此所求直线的方程为因此所求直线的方程为 153243 zyx湖北经济学院数学教研室2005.5例例 5 求直线求直线 241312 zyx与平面与平面2x+y+z-6=0的交点的交点.解解 所给直线的参数方程为所给直线的参数方程为x=2t,y=3t,z=4+2t,代入平面方程中，得代入平面方程中，得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.解上列方程，得解上列方程，得t=-1.把求得的把求得的t值代入直线的参数方程中，值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为即得所求交点

14、的坐标为 x=1,y=2,z=2.湖北经济学院数学教研室2005.5例例 6 求过点求过点(2,1,3)且与直线且与直线 12131 zyx的方程的方程.垂直相交的直线垂直相交的直线解解 先作一平面过点先作一平面过点(2,1,3)且垂直与已知直线，那么这平面的且垂直与已知直线，那么这平面的方程应为方程应为 3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0.(9)再求已知直线与这平面的交点再求已知直线与这平面的交点.已知直线的参数方程为已知直线的参数方程为 x=-1+3t,y=1+2t,z=-t.(10)把把(10)代入代入(9)中，求得中，求得t=73，从而求得交点为，从而求得交点为 73,713,

15、72以点以点(2,1,3)为起点，点为起点，点 73,713,72为终点的向量为终点的向量 4,1,276373,1713,272 是所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为是所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为431122 zyx湖北经济学院数学教研室2005.5有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程.设直线设直线L由方程组由方程组 0,DzCyBxA0,DzCBxA22221111y所确定，其中系数所确定，其中系数A1、B1、C1与与A2、B2、C2不成比例不成比例.我们建立三元一次方程：我们建立三元一次方程：0

16、)DzCyBxA(DzCBxA22221111 y (13)其中其中 为任意常数为任意常数.因为因为A1、B1、C1与与A2、B2、C2不成不成 比例，所以对于任何一个比例，所以对于任何一个 值，方程值，方程(13)的系数：的系数：212121CCBBAA 、不全为零，从而方程不全为零，从而方程(13)表示表示 一个平面，若一点在直线一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程上，则点的坐标必同时满足方程(11)和和(12)，因而也满足方程，因而也满足方程(13)，故方程，故方程(13)表示通过直线表示通过直线L的平面，且对于于不同的的平面，且对于于不同的 同的平面同的平面.值，方程值

17、，方程(13)表示通过直线表示通过直线L的不的不湖北经济学院数学教研室2005.5反之，通过直线反之，通过直线L的任何平面的任何平面(除平面除平面(12)外外)都包含在方程都包含在方程(13)所表示的一族平面内所表示的一族平面内.通过定直线的所有平面的全体通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程称为平面束，而方程(13)就作为通过直线就作为通过直线L的平面束的方程的平面束的方程(事实上，方程事实上，方程(13)表示缺少平面表示缺少平面(12)的平面束的平面束).湖北经济学院数学教研室2005.5例例 7 求直线求直线 01,01zyxzyx在平面在平面x+y+z=0上的投影直线的上的投影直线的 方程方程.解解 过直线过直线 01,01zyxzyx的平面束的方程为的平面束的方程为(x+y-z-1)+(x-y+z+1)=0,(1+)x+(1-)y+(-1+)z+(-1+)=0,即即 (14)其中其中 为待定常数为待定常数.这平面与平面这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是垂直的条件是 01)(-11)-(11)(1 即即 01 由此得由此得 =-1 代入代入(14)式，得投影平面的方程为式，得投影平面的方程为 2y-2z-2=0 即即 y-z-1=0所以投影直线的方程为所以投影直线的方程为 .0,01zyxzy