数学分析2期末考试题库

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1、数学分析2期末试题库数学分析II考试试题（1）一、叙述题：（每小题6分，共18分）1、 牛顿-莱不尼兹公式2、 收敛的cauchy收敛原理3、 全微分二、 计算题：（每小题8分，共32分）1、2、求由曲线和围成的图形的面积和该图形绕x轴旋转而成的几何体的体积。3、求的收敛半径和收敛域，并求和4、已知 ，求 三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数2、讨论反常积分的敛散性3、讨论函数列的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设，证明发散2、证明函数 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。，数学分析II考试题（2）一、 叙述题：(每小题5

2、分，共10分）1、 叙述反常积分为奇点收敛的cauchy收敛原理2、 二元函数在区域D上的一致连续二、 计算题：（每小题8分，共40分）1、2、求摆线与x轴围成的面积3、求4、求幂级数的收敛半径和收敛域5、， 求三、 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、，求；是否存在？为什么？2、讨论反常积分的敛散性。3、讨论的敛散性。四、 证明题：（每小题10分，共20分）1、 设f（x）在a,b连续，但不恒为0，证明2、 设函数u和v可微，证明grad(uv)=ugradv+vgradu数学分析II考试题（3）五、 叙述题：（每小题5分，共15分）1、定积分2、连通集3、函数项级数的一致连续性六、

3、 计算题：（每小题7分，共35分）1、2、求三叶玫瑰线围成的面积3、求的上下极限4、求幂级数的和5、为可微函数， 求在极坐标下的表达式七、 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、已知，求，问是否存在？为什么？2、讨论反常积分的敛散性。3、讨论的一致收敛性。八、 证明题：（每小题10分，共20分）1、 设f（x）在a,+）上单调增加的连续函数，记它的反函数f-1（y），证明2、 设正项级数收敛，证明级数也收敛数学分析（二）测试题（4） 一 判断题（正确的打“”，错误的打“”；每小题3分，共15分）：1闭区间的全体聚点的集合是本身。2函数 是 在区间内的原函数。3若在上有界，则在上必可积。4

4、若为连续的偶函数，则 亦为偶函数。5正项级数 是收敛的。二填空题（每小题3分，共15分）：1数列 的上极限为 ，下极限为 。2 。3 。4幂级数 的收敛半径 。5将函数 展开成傅里叶级数，则 ， ， 。三计算题（每小题7分，共28分）：1； 2； 3； 4四解答题（每小题10分，共30分）：1求由抛物线 与直线 所围图形的面积。2判断级数 是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？3确定幂级数 的收敛域，并求其和函数。五证明题（12分）：证明：函数 在上有连续的二阶导函数，并求。 数学分析（二）测试题（5） 二 判断题（正确的打“”，错误的打“”；每小题3分，共15分）：1设为点集的聚点，则。

5、2函数 是 在内的原函数。3有界是函数可积的必要条件。4若为连续的奇函数，则 亦为奇函数。5正项级数 是收敛的。二填空题（每小题3分，共15分）：1数列 的上极限为 ，下极限为 。2 。3 。4幂级数 的收敛半径 。5将函数 展开成傅里叶级数，则 ， ， 。三计算题（每小题7分，共28分）：1； 2； 3； 4四解答题（每小题10分，共30分）：1求由两抛物线 与 所围图形的面积。2判断级数 是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？3确定幂级数 的收敛域，并求其和函数。五证明题（12分）：证明：函数 在 上连续。数学分析（二）测试题（6）一判断（2*7=14分）（ ）1. 设上的极值点，则（

6、 ）2.若在内（ ）3.若（ ）4. 若（ ）5.若（ ）6.若（ ）7.若二填空（3*7=21分）1. 已知2 3.4 .求_5.求 6用定积分求7.幂级数的收敛半径R 三 . 计算 （4*7=28分）(要有必要的计算过程)1. 2. 3. 4求曲线 四判别级数的敛散性（2*9=18分）(要有必要的过程) 1 . 2 .判别在上是否一致收敛，为什么五证明：(9+10=19分)1设级数与都收敛，证明：绝对收敛2设上二阶可导，证明：存在 一点，使得 数学分析（二）测试题（7） 一判断（2*7=14分）（ ）1. 设，则的极值点 （ ）2.若在内（ ）3.若（ ）4. 若（ ）5.若（ ）6.若（

7、 ）7.二填空（3*7=21分）1. 已知2 3.4 .求_5.求 6用定积分求7.幂级数的收敛半径R 三 . 计算 （4*7=28分）(要有必要的计算过程)1. 2. 3. 4求曲线 四判别级数的敛散性（2*9=18分）(要有必要的过程) 1 . 2 .判别在上是否一致收敛，为什么五证明：(9+10=19分)1设级数与都收敛，证明：收敛2数学分析（二）测试题（8） 三 判断题（正确的打“”，错误的打“”；每小题3分，共15分）：1开区间的全体聚点的集合是本身。2函数 是 在区间内的原函数。3若在上有界，则在上必可积。4若为上的连续函数，则在上可导。5正项级数 是收敛的。二填空题（每小题4分，

8、共16分）：1 。2 。3幂级数 的收敛半径 。4将函数 展开成傅里叶级数，则 ， ， 。三计算题（每小题10分，共30分）：1； 2； 3； 四解答题（每小题10分，共30分）：1求由抛物线 与直线 所围图形的面积。2判断级数 是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？3确定幂级数 的收敛域，并求其和函数。五证明题（9分）：证明：函数 在 上连续。参考答案（1）一、1、设在连续，是在上的一个原函数，则成立2、使得，成立3、设为开集，是定义在上的二元函数，为中的一定点，若存在只与点有关而与无关的常数A和B，使得则称函数f在点处是可微的，并称为在点处的全微分二、1、分子和分母同时求导（8分）2、

9、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的面积为：（3分）所求的体积为：（3分）3、 解：设，收敛半径为1，收敛域-1，1（2分）(3分）x=0级数为0，x=1，级数为1，x=-1，级数为1-2ln2（3分）4、解： =（3分）(5分）三、1、解、有比较判别法，Cauchy,DAlembert,Raabe判别法等（应写出具体的内容4分）（4分）由DAlembert判别法知级数收敛（1分）2、解：（2分），对，由于故p0时收敛（4分）；，由于（4分）故对一切的p收敛，综上所述p0，积分收敛3、解：收敛于（4分）所以函数列一致收敛性（6分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：

10、（6分）发散，由比较判别法知级数发散（4分）2、证明：（4分）=0所以函数在（0，0）点连续，（3分）又，存在切等于0，（4分）但不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）参考答案（2）1、使得，成立2、设为点集，为映射，使得，成立 二、1、由于在0，1可积，由定积分的定义知（2分）=（6分）4、 、所求的面积为：（8分）5、 解： (3分）4、解：，r=1（4分）由于x=0，x=2时，级数均收敛，所以收敛域为0，2（4分）5、解： =（3分）（5分）三、1、解、（5分）由于沿趋于（0，0）极限为所以重极限不存在（5分）2、解：（2分），对，由于故p1收敛，综上所述1p2，积分收敛3、解：所以

11、级数收敛（10分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：由但不恒为0，至少有一点 f（x）在a,b连续（2分），存在包含x0的区间，有（4分），（4分）2、证明：以二元函数为例（10分）参考答案（3）一、1、设有定数I，使得对任意的分法和任意的点，只要，成立2、 S的任意两点x，y之间，都存在S中的一条道路r，则称S为连通集3、使得，成立二、1、（5分）（2分）6、 由对称性知，所求的面积为：（7分）7、 解：上极限为0.5，下极限为 (7分）4、解：，r=2（3分）收敛域为（-3，1），级数的和为（4分），5、解： 设极坐标方程为=（5分）=（2分）三、1、解、由于有界，为无穷小，0

12、 （5分），而极限不存在，极限存在，故整体极限不存在，同理不存在（5分）2、解：（2分），对，由于故时收敛（4分）；，由于（4分）故收敛，综上所述，时，积分收敛（2分）3、解：（3分），所以函数列一致收敛（7分）四、证明题（每小题10分，共20分）1 证明：当时，（4分）当时，（3分）当时，（3分）2、证明：由于收敛，故（2分），于是，总存在使得时，有，从而，当时，有（5分），由于级数收敛，当然收敛，故级数收敛，从而也收敛（3分）标 准 答 案 （4）四 判断题（正确的打“”，错误的打“”；每小题3分，共15分）：1 2 3 4 5二填空题（每小题3分，共15分）：1， ； 2； 3； 4 3

13、 ；5 0 ， 0 ，三计算题（每小题7分，共28分）：1； （4分） （3分）2； （4分） （3分）3； （2分） （2分） （2分） （1分） 4。 （2分） （3分） （2分）四解答题（每小题10分，共30分）：1求由抛物线 与直线 所围图形的面积。 解：两交点为，则 （3分）18 （3分） （3分） （1分）2判断级数 是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：设 ， 则 ， （3分） 由Leibniz判别法知，级数 收敛。 （3分） 而由 知，级数 发散，故原级数条件收敛。 （4分）3确定幂级数 的收敛域，并求其和函数。 解： 因为 ， 所以 （2分）当时幂级数绝对收敛，当幂

14、级数发散，故收敛半径。 （2分） 又当时幂级数发散，故收敛域为。 （2分） 设 ，则，从而 （2分）， 。 （2分）五证明题（12分）：证明：函数 在上有连续的二阶导函数，并求。证明：因为 ，有 ， （3分）而级数都收敛，故级数，都在上一致收敛。 （3分）又级数的每一项都是连续的，故由函数项级数的连续性和可微性知， 都在上连续，且 （3分）， ， 。 （2分）标 准 答 案 （5）五 判断题（正确的打“”，错误的打“”；每小题3分，共15分）：1 2 3 4 5二填空题（每小题3分，共15分）：1 3 ， 1 ； 2； 3； 4；5， ， 0 三计算题（每小题7分，共28分）：1； （2分）

15、（3分） （2分）22 ； （）（3分） （3分） （1分）3； （2分） （3分） （2分） 41 。 （2分） （3分） （1分）四解答题（每小题10分，共30分）：1求由两抛物线 与 所围图形的面积。 解：两交点为，则 （3分） （3分） （3分） （1分）2判断级数 是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解：设 ， 则 ， （3分） 由Leibniz判别法知，级数 收敛。 （3分） 而由 知，级数 发散，故原级数条件收敛。 （4分）3确定幂级数 的收敛域，并求其和函数。 解： 因为 ， 所以收敛半径。 （3分） 又当时幂级数发散，故收敛域为。 （3分） 设 ，则， （2分）从而 ，

16、 。 （2分）五证明题（12分）：证明：函数 在 上连续。证明：因为 ，有 ， （4分）而级数收敛，故级数在上一致收敛。 （4分）又级数的每一项都是连续的，故由函数项级数的连续性知，在上连续 。 （4分）答案（6）1234567一二02三 . 计算 (要有必要的计算过程)1. = 2. （令） 3. 4求曲线 解：四判别级数的敛散性 1 . 解：2 .判别在上是否一致收敛，为什么解：，且在上一致收敛五证明：1设级数与都收敛，证明：绝对收敛证明：2设上二阶可导，证明：存在 一点，使得 （提示：用泰勒公式）证明：由泰勒公式知 及 分别令 （1） （2）（其中） ， （2）（1）得；( 其中 )答案

17、及评分标准（7）1234567一二001三 . 计算 1. 2. （令） 3. 4求曲线 解：四判别级数的敛散性（2*9=18分）(要有必要的过程) 1 . 解：2 .判别在上是否一致收敛，为什么解：，且在上一致收敛五证明：(9+10=19分)1设级数与都收敛，证明：收敛解：2证明：（反证）若 ,则与矛盾标 准 答 案 及 评 分 标 准（8）六 判断题（正确的打“”，错误的打“”；每小题3分，共15分）：1 2 3 4 5 二填空题（每小题4分，共16分）：1； 2； 3 3 ；4 0 ， 0 ，三计算题（每小题10分，共30分）：1； （5分） （5分）2； (5分) （4分） （1分）3

18、； （3分） （3分） （3分） （1分）四解答题（每小题10分，共30分）：1求由抛物线 与直线 所围图形的面积。 解：两交点为，则 （3分）18 （3分） （3分） （1分）2判断级数 是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：设 ， 则 ， （3分） 由Leibniz判别法知，级数 收敛。 （3分） 而级数 收敛，故原级数绝对收敛。 （4分）3确定幂级数 的收敛域，并求其和函数。 解： 因为 ， 所以收敛半径。 （3分） 又当时幂级数发散，故收敛域为。 （3分） 设 ，则， （2分）从而 ， 。 （2分）五证明题（9分）：证明：函数 在 上连续。证明：因为 ，有 ， （3分）而级数收敛，故级数在上一致收敛。 （3分）又级数的每一项都是连续的，故由函数项级数的连续性知，在上连续 。 （3分）