函数极限和导数-高中数学基础知识和典型例题

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1、数学基础知识与典型例题(函数极限与导数)知识网数学归纳法、数列的极限与运算1数学归纳法：(1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法.归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法.完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论.(2)数学归纳法步骤:验证当取第一个时结论成立;由假设当（）时,结论成立，证明当时,结论成立;根据对一切自然数时，都成立. 2.数列的极限(1)数列的极限定义:如果当项数无限增大时,无穷数列的项无

2、限地趋近于某个常数(即无限地接近于),那么就说数列以为极限,或者说是数列的极限.记为或当时，.(2)数列极限的运算法则: 如果、的极限存在，且，那么； 特别地，如果C是常数，那么.几个常用极限: （为常数）（均为常数且）首项为，公比为（）的无穷等比数列的各项和为.注：并不是每一个无穷数列都有极限. 四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.数学归纳法、数列的极限与运算例1. 某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得 （ ）(A)当时，该命题不成立 (B)当时，该命题成立(C)当时，该命题成立 (D)当时，该命

3、题不成立例2. 用数学归纳法证明:“”在验证时，左端计算所得的项为 ( ) (A)1 (B) (C) (D)例3. 等于( ) (A)2 (B)2 (C) (D) 例4. 等差数列中，若存在，则这样的数列( )(A)有且仅有一个 (B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个 (D)不存在例5. 等于( ) (A) (B)0 (C) (D)不存在例6. 若，则( ) (A) (B) (C) (D) 例7. 在二项式和的展开式中，各项系数之和记为是正整数，则= .例8. 已知无穷等比数列的首项，公比为，且，且，则 _ .例9. 已知数列前n项和, 其中b是与n无关的常数，且0b1，若存在，则_例10.

4、 若数列的通项，设数列的通项，又记是数列的前n项的积（）求，的值；（）试比较与的大小，并证明你的结论例1.D 2.C 例3.A 例4.A例5. C 将分子局部有理化，原式=例6.A例7. 例8. 例9.1 例10(见后面)函数的极限及函数的连续性1.函数的极限(1) 函数的六种极限定义:的意义是当自变量取正值并且无限增大时,无限趋进于一个常数;的意义是当自变量取负值并且绝对值无限增大时,无限趋进于一个常数;都存在,且等于;的意义是当自变量从右侧(即)无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数;的意义是当自变量从右侧(即)无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数;的

5、意义是当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数; 注: ,都存在,且等于;(2)函数极限的运算法则: 如果,存在,且,那么,.这些法则对于其他情况仍然成立.几个常用极限：；（01）;（1）2.函数的连续性: (1)定义:如果函数在点处及其附近有定义,而且,就说函数在点处连续.(2)函数在点处连续的充要条件是.注:等式的含义有三点:在点处及其附近有定义; 存在; 在点处的极限值等于这一点的函数值.(3) “ 函数在点处不连续”就说的图象在点处间断.(4) 函数在区间上连续: 若函数在开区间内每一点处连续,就说函数在开区间内连续; 若函数在开区间内每一点处连续,并且,就说函

6、数在闭区间上连续.(5)初等函数在其定义域内每一点处都连续.(6) 连续函数的性质:闭区间上的连续函数的图象是坐标平面上的一条有始点和终点的连续曲线.它有如下性质: (最大值和最小值定理)若是闭区间上的连续函数,则在闭区间上有最大、最小值.零点定理：若是闭区间上的连续函数,且,则方程在区间上至少有一个实数解. 介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（）.函数的极限及函数的连续性例11. 例12. ( ) (A) (B)1 (C)2 (D)0例13. 已知，则b的值为 ( ) (A)4 (B)5 (C)4 (D)5例14

7、. 极限存在是函数在点处连续的（ ）(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件例15. 如果是连续函数，则等于（ ）(A)1(B)0(C)1(D)2例16. 设函数在处连续，且，则等于（ ） (A) (B) (C) (D)例17.函数在x=1处不连续是因为( )(A)f(x)在x=1处无定义 (B)f(x)不存在(C)f(x)f(1)(D)f(x)f(x)例18. 为使函数在处连续，则定义_.例19. 设若函数,则的定义域为 .例20. 已知，当a，b取值何值时，存在，其值为多少.例11. 例12.A 例13.B 例14B.例15.C 例1

8、6.B 例17.C例18. 例19. (例20(见后面)导数1.曲线的切线和切线的斜率: 曲线在点处的切线,是指曲线上点的邻近点沿曲线逐渐向点接近时,割线的极限位置所在的直线.根据切线的定义,切线的斜率应通过极限过程求得,即.2.瞬时速度: 非匀速直线运动物体在时刻的临近时间间隔内的平均速度(=),当时, 的极限值叫做物体在时刻的速度,也叫瞬时速度.即3.导数的定义: 设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.由定义可知函数在点处的导数的几何意义是曲线在点

9、处的切线的斜率. 也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为注：是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.函数在点处连续与点处可导的关系：函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.事实上，令，则相当于.于是.如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当0时，；当0时，故不存在. 4.导函数: 函数在开区间内每一点处的导数都存在,就说在内可导,其导数也是内的函数,这一新函数叫做在开区间内的导函数,记作或(需指明自变量时记作) 函数的导函数在时的函数值就是在点处的导数.注：可导的奇函数,其导函数为偶

10、函数. 可导的偶函数,其导函数为奇函数.导数5.几种常见函数的导数: ; ; ; .6.可导法则: 推广:; ;(为常数);复合函数求导注： 必须是可导函数. 若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设，则在处均不可导，但它们和在处均可导.7.导数的运用:判断函数在某个区间内的单调性的方法:一般地,设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数; 如果则为减函数;如果,则为常数函数.注： 是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时，同样也是f（x）递减的充分非必要条件.一般地，如果在某区间内有限

11、个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.函数的极值: 一般地,设函数在点附近有定义,如果对附近的所有的点,都有,则是的一个极大值;如果对附近的所有的点,都有,则是的一个极小值.注:求可导函数的极值点可用导数来找,极值点一定是导数为0的点. 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数，使=0，但不是极值点.又例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点. 当函数在点处连续时，()如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极大值；()如果在附近的左侧0，右

12、侧0，那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（因为函数在某一点附近的点不同）.0不能得到当x=x0时，函数有极值判断极值，还需结合函数的单调性说明;但是，当x=x0时，函数有极值 0函数的最值: 函数在区间上如果存在,若使得对区间内任意都有,则叫最小值; 若使得对区间内任意都有,则叫最大值;注: 一般地, 闭区间上的连续函数在上必有最大值与最小值.极值与最值不是同一个概念. 极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

13、开区间内的最值点一定是极值点,反过来不成立.函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个;最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。导数例21. f(x)=ax3+3x2+2,若,则a的值等于( )(A) (B) (C) (D)例22. f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f (x)g(x)，则 ( )(A)f(x)=g(x) (B)f(x)g(x)为常数函数 (C)f(x)=g(x)=0 (D)f(x)+g(x)为常数函数例23. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f (x)的图象

14、可能为()例24. 已知曲线S:y=3xx3及点,则过点P可向S引切线的条数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3例25. 函数在下面哪个区间内是增函数（ ） 例26. y=2x33x2+a的极大值为6，那么a等于( )(A)6 (B)0 (C)5(D)1例27. 函数f(x)x33x+1在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是( )(A)1，1 (B)3，-17(C)1，17 (D)9，19例28.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(,0)处的切线，则l1与l2的夹角为_.例29. 设函数f (x)=x3+ax2+bx1，若当x=1时，有极

15、值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为 .例30. 已知函数（）若函数图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：；（）若，函数图像上任意一点处的切线的斜率为，试讨论的充要条件。数学基础知识与典型例题(第十一章函数极限与导数)答案例10. 解（1）,（2）由（1）中可猜想得Tn； 只须证明对于成立设n=1时，左=1+1=2，右=，2，故原不等式成立； 假设n=k（k1）时，原不等式成立，即， 当n=k+1时，不等式左边为,不等式的右边为， 只须得出，事实上=0，故成立，从而。即n=k+1时不等式也成立,对于nN,则有成立.例20. 解：x0是此分段函数的分界点，而存在的充要条

16、件是与都存在且相等。2，当b2，a取任意实数时，存在，其值为2.例21.D 例22.B 例23.D例24. C设S上的切点求导数得斜率，过点P可求得:.例25.B 例26.A例27.B 例28. 90例29. 1，(写开区间也可以)例30. 本题考查（1）导数的几何意义（2）恒成立问题中参数取值范围的求法.（3）分析问题解决问题的能力.需要学生熟练掌握求最值的方法.解：（1）依题意，由，则. 又函数图像上任意一点切线的斜率小于1，即亦即对任意的恒成立. 故，即 （2）由题可知，原问题等价于对恒成立. 当时，显然有，故当时 ,从而（）对恒成立. 令.则可知在上递增，故，当且仅当，故.要使（）恒成立只须，即为在的充要条件.