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1、第六节直接证明与间接证明时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数用反证法证明时，下列假设正确的是()A假设a，b，c都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个偶数D假设a，b，c至多有两个偶数解析“至少有一个”的否定为“都不是”故选B.答案B2要证a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20 Ba2b210C.1a2b20 D(a21)(b21)0解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.答案D3(2014临沂模拟)若P，Q
2、(a0)，则P，Q的大小关系()APQ BPQCPQ D由a取值决定解析假设PQ，要证PQ，只要证P2Q2，只要证：2a722a72，只要证：a27aa27a12，只要证：012，012成立，P0，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值 D无法确定正负解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)0，则三个数，()A都大于2 B至少有一个大于2C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2解析假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又22
3、26，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.另取xyz1，可排除A、B.答案C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7已知三个不等式ab0；bcad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成_个正确命题解析，；.答案38在等比数列an和等差数列bn中，a1b10，a3b30，a1a3，则a5和b5的大小关系为_解析方法1：设公比为q，公差为d，则a3a1q2，b3b12da12d，故由a3b3，得2da1(q21)又a1a3，q21.a5b5a1q4(a14d)a1q4a12a1(q21)a1(q21)20.a5b5.方法2：在等比数列an中，a1a3，公比不为1.a1a5.
4、又a1b1，a3b3，a5a3q20(q为公比)，b3a3.a5b5.答案a5b59已知点An(n，an)为函数y的图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_解析an，bnn.方法1：cnn随n的增大而减小，为减函数，cn1cn.方法2：cn1(n1)，cnn，cn1.答案cncn1三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10已知a0，求证：a2.证明要证a2.只要证2a.a0，故只要证22，即a244a2222，从而只要证2，只要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立11已知二次函数f(x)ax2bx
5、c(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0x0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明c.证明(1)f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2.f(c)0，x1c是f(x)0的根，又x1x2，x2(c)，是f(x)0的一个根，即是函数f(x)的一个零点(2)假设0，由0x0，知f0与f0矛盾，c，又c，c.12(1)求证：当a1时，不等式a3a2成立；(2)要使上述不等式成立，能否将条件“a1”适当放宽？若能，请放宽条件，并简述理由；若不能，请说明理由；(3)请你根据(1)(2)的结果，写出一个更为一般的结论，且予以证明解(1)证明：a3a2(a1)(a51)，a1，(a1)(a51)0，故原不等式成立(2)能将条件“a1”适当放宽理由如下：当a1时，(a1)与(a51)同符号，所以(a1)(a51)0，只需a0且a1就能使(a1)(a51)0，故条件可以放宽为a0且a1.(3)根据(1)(2)的结果，可推知：若a0且a1，mn0，则有aman.证明如下：amanan(amn1)(amn1)(amn1)(amn1)，若a1，则由mn0得amn10，amn10，知不等式成立，若0an0得amn10，amn10知不等式成立
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