群的定义(离散数学).ppt

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1、6.2 群的定义,6.2.1 半群 6.2.2 群 6.2.3 群的性质,6.2.1 半群-半群的定义,设G是一个非空集合，若 为G上的 二元代数运算，且满足结合律，则 称该代数系统（G， ）为半群。,6.2.1 半群 - 半群的例,例. 设S是一个非空集合，（S）是S的幂集，和是（S）上的交运算和并运算，则（S），），（S），）都为半群。 例. 设Z为整数集，+、-、 是数的加法、减法和乘法，则（Z， +）、（Z， ）都是半群；（Z， -）不是半群。,半群的例,例. 设N为自然数集，规定N 上的运算“”如下：a b = a + b + ab， 显然，为N上的二元代数运算。对N中任意三个元素a

2、，b，c，有： （ab）c = （ a + b + ab） c = （a + b + ab）+c+（a + b + ab）c =a + b + c + ab + bc + ac + abc， a（bc）= a（b + c + bc） =a+（b+c+ bc）+a（b+c+ bc） = a + b + c + ab + bc + ac + abc， 故，（ab）c = a（bc）. 因此，（N， ）为半群。,设（G， ）为半群，如果满足下面条件： (1) 有壹（单位元）：G中有一个元素1，适合对于G中任意元素a，都有1a = a1 = a; (2) 有逆：对于G中任意a，都可找到G中一个元素a-

3、1，满足aa-1 = a-1a = 1， 则称（G， ）为群。 如果群G包含的元素个数有限，则称G为有限群，否则称G为无限群。,6.2.2 群 - 群的定义,6.2.2 群 - 群的例,设Z为整数集，+、是数的加法和乘法，则 半群（Z， +）是群，称为整数加法群。因为存在元素0，适合对于Z中任意元素a，都有0 + a = a + 0= a；且对于Z中任意a，都可找到Z中一个元素-a，满足a + （-a）=（-a）+ a = 0。 半群（Z， ）不是群。因为虽然存在单位元素1，适合对于Z中任意元素a，都有1a = a1 = a，但除了1和-1外，其它元素均无逆元素。,设Q为所有有理数组成的集合，

4、R为所有实数组成的集合，C为所有复数组成的集合，Q*为所有非零有理数组成的集合，R*为所有非零实数组成的集合，C*为所有非零复数组成的集合，+、是数的加法和乘法，则 （Q，+）、（R，+）、（C，+）都是群； （Q， ）、（R， ）、（C，）都不是群； （Q*， ）、（R*， ）、（C*，）都是群。,6.2.2 群 - 群的例,设S是一个非空集合，（S） 是S的幂集，和是（S）上的交运算和并运算，则 半群（S），）不是群，单位元素:S，但除了S，其它元素都不存在逆元素； 半群（S），）也不是群，单位元素： ，但除了 ，其它元素都不存在逆元素。,6.2.2 群 - 群的例,设N为自然数集，规定N

5、 上的运算“”如下：a b = a + b + ab。 已证：（N， ）为半群。 但（N， ）不是群。 反证：若不然， （N， ）是群，则一定有 单位元素，设为e，则对N中任意元素a，都有 e a = a，即e + a + ea = a， 因此，e=0，但0N，矛盾。因此，（N， ） 无单位元素，故不是群。,6.2.2 群 - 群的例,例. 设A是实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合，*为矩阵的乘法，则（A，*） 是群。 例.设S=0，1，2，m-1，规定S上的运算如下： a b= 其中a，b是S中任意元素，+、-为数的加与减。 则（S，）是群，称为模m的整数加法群。,6.2.2 群 - 群的例,

6、设S=a,b，使用乘法表定义S上的运算 如下： a b a a b b b a 问（S, ）是否为群。,6.2.2 群 - 群的例,G=1,-1关于普通乘法运算是否构成一个群？ G=1, -1, i, -i关于普通乘法运算是否构成一个群？其中 i=(-1)1/2.,理解群的定义例. 单位元是群中唯一的等幂元。,证明：设(G, *)是群，其单位元是1，显然， 1是等幂元。设x是G中的等幂元，即x*x= x， 则：x=1*x =（x-1*x）*x = x-1*（x*x） x-1*x=1 （ 或由x*x= x，得 x-1* x*x= x-1* x ，即x=1）,理解群的定义例. 群中不可能有零元。,

7、证明：设(G, *)是群，其单位元是1， 当G=1，它的唯一元素视为单位元。 当G1，用反证法。假设（G，*）有零元，则对xG，都有x*=*x= 1，即 不存在xG，使得x*=*x=1， 亦即，无逆元，这与G是群矛盾。,理解群的定义例.群中消去律一定成立。,证明：设(G, *)是群，其单位元是1， 对于G中任意三个元素a，b，c， （1）若 a * b = a * c，则 a-1 * (a * b) = a-1 *( a * c)，即 (a-1 * a) * b =(a-1 * a) * c，亦即 1 * b =1 * c， 故b = c。 （2）同理可证：若 b * a = c * a，则b

8、 = c,理解群的定义,例. 元数为1的群仅有1个 元数为2的群仅有1个,定理6.2.1 群的单位元素是唯一的,任意元 素的逆也是唯一的。即,设（G， ）是一个群， 则G中恰有一个元素1适合1a = a1 = a,而且对 于任意a恰有一个元素 a-1适合 aa-1 =a-1a=1。,6.2.3 群的性质-（1）,证明：若1和1都是单位元素，则1=11=1， 故1=1。 若b和c都有a-1的性质，则 b=b1=b(ac)=(ba)c=1c =c，故b=c。,结论,（a-1）-1=a 因为 a a-1 = a-1 a=1 (a b) -1= b-1 a-1 因为a b b-1 a-1 =1 b-1

9、 a-1 a b =1 1-1= 1 因为1 1=1,定理6.2.2 群定义中的条件（1）和（2）可 以减弱如下： (1) 有左壹： G中有一个元素1，适合 对于G中任意元素a，都有 1a=a; (2) 有左逆：对于G中任意a，都可找到G中一 个元素a-1，满足 a-1a = 1。,6.2.3 群的性质-（2）,证明：只需证明a1 = a和aa-1 = 1。,证法一 先证aa-1 = 1。因为（a-1a）a-1=1a-1= a-1，故 （a-1a）a-1= a-1。 由(2)， a-1也应该有一个左逆适合ba-1=1。 于是，一方面有： b（a-1a）a-1）) = ba-1 = l， 另一方

10、面有： b（a-1a）a-1）= （ba-1）（aa-1） = 1（aa-1）= aa-1， 因此，aa-1=1。,再证a1=a。 a1 = a（a-1a）= （aa-1）a = 1a = a。 证毕。 把（1），（2） 中对于左边的要求一律改成对于右边的要求也是一样。 但是只满足左壹、右逆未必成群，只满足右壹、左逆也未必成群。,证法二 往证a 1=a. 由（1） 知有 1 1=1， 由（2） 知 a-1a=1， 用其部分代替上式中的1，得到 （a-1a） 1= a-1a， 由（2） 知a-1有左逆,令其为b，并用b 左乘上式 两端得到 b （a-1a） 1= b (a-1a), 即 （b a

11、-1 ） （a 1）=（ b a-1 ）a，亦即 1 （a 1）=1 a 由（1） a 1=a。 往证a a -1=1. 同证法一。,证法三 往证a 1=a. 同证法二。 往证a a -1=1. 由（2） 知a-1有左逆，令其为b，于是 b a-1=1， 用a右乘等式两端得到 (b a-1 ） a =1 a， 即 b （a-1 a） =1 a，亦即 b=a， 故a a -1=1。 证毕,定理6.2.3 群定义中的条件（1）和（2）等于下列可除条件：对于任意a，b，有使 a=b，又有y 使ay=b。,6.2.3 群的性质-（3）,证明：首先证明在任一群中可除条件成立。 因为，取=ba-1，y=a

12、-1b，即得a=b， ay=b，故，由（1）和（2）可以推出可除条 件成立。,证明,再证明由可除条件也可以推(1),(2)， 因而可以推出（1），（2）。 取任意cG，命1为适合c=c的， 则1c=c。今对于任意a，有y使cy=a，故 1a=1（cy）=（1c）y=cy=a， 即(1)成立。 令a-1为适合a=1的，则a-1a=1， 故 (2) 成立。,定理6.2.4 设G是一个群，在一个乘积a1an中可以任意加括号而求其值。,6.2.3 群的性质-（4）,证明： 要证定理，只要证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右加括号所得的积 （a1a2）a3）an-1）an （1） 用数学归纳法证明。

13、n=1，2，3，命题显然。假定对少于n个因子的乘积（1）式成立，以下证对n个因子的乘积（1）式也成立。,设A为由a1an任意加括号而得到的乘积，往证A等于（1）式。 设在A中最后一次计算是前后两部分B与C相乘： A = （B）（C） 由归纳假设，C等于按次序自左而右加括号所得的乘积（D）an。由结合律， A=(B)(C)=(B)(D)an) = (B)(D)an。,证明,（B）（D）的因子个数小于n，再由归纳假设，(B)(D)等于按次序由左而右加括号所得的乘积： (B)(D)=(a1a2)a3)an-2)an-1 因而 A =(B)(D)an=(a1a2 ) a3)an-2 ) an-1 )

14、an 即A等于（1）式。,证明,6.2.3 群的性质-（5）,n个a连乘所得的积称为a的n次方，记为an。 规定: a0=1， a-n=（an）-1。 对于任意整数m，n，下面定律成立 第一指数律：aman=am+n， 第二指数律：（am）n=amn 但一般群中第三指数律 (ab)n=an bn不成立。,Abel群 若群（G，）的运算 适合交换律，则称（G，）为Abel群或交换群。 例. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+)都是无限Abel群。 例. (Q*， ),(R*， ),(C*，)都是无限Abel群。 例. 实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合在矩 阵的乘法下不是Abel群

15、。 例. 元数为1、元数为2的群都是有限Abel群。,Abel群,天才的挪威数学家 Abel,例. 设(G, )是一个群，则(G, )是Abel群的充要 条件是对a,bG,有(a b)2=a2 b2 证明：必要性。若(G，)是Abel群，即对 a，bG， b=b a。故， (ab)2=(ab)(ab) =a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)=a2b2 充分性。对a,bG,由 (a b)2=a2 b2 ，得 a-1 (ab)(ab) b-1=a-1 (a a) (b b) b-1 故，ba=ab，因此，(G，)是Abel群。,定理6.2.5 在一个Abel群（G，）中，一个乘积可以任意颠

16、倒因子的次序而求其值。 证明：考虑一个乘积a1an。设是1，n上的一个一对一变换，欲证 a（1） a（n）=a1an 对n用数学归纳法，n=1时定理显然成立。假定 n-1时定理已真，证明n时定理亦真。,6.2.3 群的性质（6: Abel群中的性质）,设将a1an中各因子任意颠倒次序而得一式 P = a（1）a（n） 因子an必在P中某处出现，因而P可以写成 P =（P）an（P） P或P中可能没有元素，但照样适用以下 的论证，由交换律， P = P（anP）= P（Pan） =（PP）an，,现在PP中只有n-1个元素a1， an-1，只不过次序有颠倒，故由归纳法假 定， PP= a1an-1。 因此，P =（PP）an = a1an-1an， 从而归纳法完成，定理得证。,在Abel群中，第三指数律成立： (ab)m = ambm，m为任意整数。,6.2.3 群的性质（6: Abel群中的性质）,加法群: (G,+) 永远假定加法群是一个Abel群 乘法群 加法群 1 0：a+0=a a-1 -a：a+（-a）= 0 an na 加法群中三个指数定律： (m+n)a=ma+na, m(na)=(mn)a, m(a+b)=ma+mb 思考：乘法群中ab-1在Abel群中写作？,6.2.3 群的性质（6: Abel群中的性质）,