线性代数居余马第2章矩阵.ppt

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1、第2章矩 阵,2.1 高斯消元法,求解n 个未知元m个方程的线性方程组 (mn） 一般用代入消元法或加减消元法，化为容易求解的同解方程组。,+ （消去x2）得 x3=2 ,例1 用加减消元法解三元一次方程组,x12x25x32 2x13x24x311 4x17x217x37 ,解 (2) +; 4 + （消去x1）得 7x214x37 x23x31 ,将 x3= 2代入得 x2= 5, 将它们代入 得x1=2。 所以原方程组的解为x1 = 2，x2 = 5，x3 = 2。,(阶梯形）方程组， ,与原方程组是 同解方程组,x12x25x32 ,7x214x37 ,x3=2 ,方程组的系数排成的数

2、表,定义,数域F中的mn个数aij(i=1,m; j=1,n）排成 m行n列的数表，称为数域F上的一个mn 矩阵。,简记为(aij)mn，其中aij叫做矩阵第i行，第 j列的元素。aij都是零的矩阵称为零矩阵。记作0。当m=n时，称为方阵（或n 阶矩阵）。a11,a22,ann叫做方阵的主对角元。,n 个未知元m个方程的 线性方程组,(A, b)=,A称为方程组的系数矩阵，（A, b）称为增广矩阵。,例2 求解线性方程组, c :第行乘常数c + k第行乘k加到第行 第行与第行对换,对增广矩阵（A, b）作：,(A, b)=, (1/3),+,-,+(2),-,代入（*）可解出全部解： x1=

3、1+k17k2 x2=k1 x3=24k2 x4=1+3k2 x5=k2 (k1,k2为任意常数),(行简化阶梯形矩阵) 对应的同解方程组（*）,3个方程，5个未知数， 任取 x2 = k1, x5 = k2,x =(x1, x2, x3, x4, x5 )T =(1+k17k2, k1, 24k2 , 1+3k2, k2 )T,当方程组中常数项b1=b2=bm=0 时，称为齐次线性方程组，否则叫做非齐次线性方程组。,=(k1 7 k2, k1, 4 k2, 3 k2, k2)（k1, k2 为任意常数）,把例2的右边改为零得到的齐次线性方程组的行简化阶梯 形矩阵和同解方程组为,x=(x1,

4、x2, x3, x4, x5 )T,其中(k1,k2为任意常数)。,和,其全部解为,方程组的解也可以写成向量形式(称为解向量),组无解(称为不相容方程组)；有解的方程组称为相容方程组。,x1 x2 x3 1 x12x25x32 2x13x24x35,例3 判断下列线性方程组是否有解。,解,+ (1),+(1),+ (2),+ (1),最后一行表示的方程是0 x1 0 x2 +0 x3 2，显然无解，故原方程,高斯消元法在消元过程中，会揭示出多余方程和矛盾方程。,一般线性方程组的增广矩阵经消元变换可化为行简化 阶梯形矩阵。为便于讨论，不妨设化为如下的形式：,其中cii =1 (i=1,r ),在

5、有解的情况下： (1) 当r=n时，有唯一解： x1=d1, x2 =d2 , xn =dn ; (2) 当r n时，有无穷多个解。,方程组(*)有解的 充要条件是dr+1=0,xr+2,xn 取作自由未知量。, ,xr ,所对应的方程组即可求得全部解 x= (x1, x2, ,xn.),齐次线性方程组总是有解的。,r=n时，只有零解，即 x1=xn=0;,当r n时，有无穷多解。,求解的方法同上。,行简化阶梯形矩阵中每行第一个非零元 cii ( i = 1, r ),所在列对应的未知量 x1, x2, ,xr 为基本未知量;其余的 xr+1,令 xr+1=k1, xr+2=k2, xn=kn

6、-r 为任意常数，代入(*)式,线性方程组的解的基本问题是：有解的条件（对于齐次方程组则是有非零解的条件）以及解的结构。,如果齐次线性方程组中mn (即方程个数小于未知量个数) ， 则必有无穷多个非零解。,解的表达式不是唯一的，但无穷多个解的集合是相同。,用不同的消元步骤将增广矩阵化为阶梯形矩阵时，其形式不是唯一的，但行简化阶梯形矩阵非零行的行数是唯一的。,若方程组有解，解中任意常数的个数是相同的；,这些结论要用到矩阵的秩和向量组的线性相关性的理论。,2.2 矩阵的加法 数量乘法 乘法,(2) 设F,与A 的数量乘积为：A=(aij) mn， B =(bij) mn.， AB=A+(B),2.

7、2.1矩阵的加法与数量乘法的定义,定义 (1) 设A=(aij)mn , B=(bij)mn , 则A与B之和为A+B=(aij+bij) mn。,A, B必须同型， 都是m行，n列,加法满足：A+B= B+A (交换律) (A+B)+C=A+(B+C) (结合律) A+0= A (0为零矩阵);A+(A)=0,数乘满足: 1A=A;(A)=( )A (+)A=A+A (A+B)=A+B（,为数）,2.2.2 矩阵的加法与数乘满足的运算规则,定义 设A=(aij)pm , B=(bij)mn ,乘积A B =C=(cij)是一个 pn矩阵，它的第i 行，第j列元素为,当且仅当A 的列数等于B

8、的行数时，乘积A B 才有意义， 否则A不能左乘B 。,例1,2.2.3 矩阵的乘法,这是A的第 i 行和B 的第 j 列中对应的m个元素的乘积之和。,例3,例2,A0， B 0, AB= 0,ABBA,注意：矩阵的乘法不满足交换律，一般ABBA。,乘法满足以下运算律：,(1) (AB)=(A)B=A(B) (是数量);,(3) A(B+C)=AB+AC (左分配律) ;,(4) (B+C)P=BP+CP (右分配律) ;,(2) (AB)C=A(BC) (结合律);,(5) 若A，B均为n阶方阵, 则 AB= AB （证明见后面的定理2.1）,由AB=0，不能推出A=0或B=0。,由AB=A

9、C 和A0，不能推出B=C。,乘法不满足消去律，,因为AB=AC ABAC=0,分配律 =,A(BC)=0,由此，不能由A0，推出(BC)=0，即B=C。,证明 (2) (AB)C=A(BC),设A=(aij)mn，B=(bij)np，C=(cij)pr，则(AB)C与A(BC)都是mr矩阵。,所以 (AB)C=A(BC) 。,交换和号顺序,只需证明： i=1,m, j=1, r , 有,n阶单位阵 I(或E),数量阵I(是数量),n阶单位阵I 及数量矩阵 I与任意n阶矩阵A相乘 可交换，即(E) A = A( E)= A。,1=diag(a1, a2, an), 2 =diag(b1, b2

10、,bn) 1 2= 2 1 = diag(a1b1, a2b2 , anbn),常见的特殊矩阵（方阵）：,对角阵,diag(a1, a2, ,an),两个对角阵1, 2乘积仍为对角阵，即,上(下)三角矩阵A（B）的定义:在主对角线之下,(上) 的所有元素都是零，即当ij 时, aij=0 (ij时, aij=0)的矩阵,称为上(下)三角矩阵。,简记为,例4 两个上(下)三角阵A与B的乘积AB仍是上(下) 三角阵，且其主对角元(AB)ii=aiibii 。,C=AB=(cij) nn,C为上三角阵,=0+ aiibii=aiibii,线性方程组,用矩阵等式表示为：,其第i个方程：,线性方程组可以

11、,Ax=b,定理2.1 设A=(aij)nn , B=(bij)nn 都是n阶矩阵,则,|AB|=|A| |B|。,|A| |B|=,证,a11,a12,a1n,j=1,2,n,照此，将A的各行都化为0。,例5,解,由于|AT|=|A| ，得,| A |2=| A | | A T|=| A A T |。,| A |中,a4的系数（主对角元）符号为+。,所以,取+,例6,其中Aij 是|A|中 aij的代数余子式,证明： |A|0 时 , | A *|= | A |n-1。,证,设A A *=C=(cij),其中,|A| | A *|= | A A *|= | A |n,由 | A |0，得 |

12、 A *|= | A |n-1,方阵的幂和方阵的多项式,Ak=AAA,k个,p(A)=amAm+ am1Am1+ a1A + a0E 称为矩阵A的多项式，其中：akR(实数集) (k=0,1,2,m), A0 = E。,当 k, m, n为正整数时 AkAm=Ak+m (Ak )m=Akm,若p(x)是x的m次多项式: p(x)= amxm+ am1xm1+ a1x + a0,R时，有二项式定理,当A, B为同阶方阵时，若AB BA, 则,若AB BA,则(AB)k AkBk;,若AB =BA,则(AB)k = AkBk；,若f(x),g(x)都是多项式，则,f(A)g(A)=g(A)f(A)

13、。,为组合数。,(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2,(A+B)(AB)=A2AB+BAB2,A2+2AB +B2,A2B2,但其逆不真。,但也有可能(AB)k = AkBk。,定义2.11 把矩阵A=(aij)mn的行列依次互换得到nm 矩阵, 称为A的转置矩阵, 记作AT=(aTji)nm , 其中 aTji = aij (i=1,2,m; j=1,2,n) 即,2矩阵的转置运算满足以下运算律:,(1) (A T)T = A;,(2) (A +B)T = A T+ B T ;,(3) (k A)T = k A T (k是数量) ;,(4) (A B)T = B T A

14、 T ;,(5) A T= A ,(A1 A2 An)T = AnT A2T A1T,2.3 矩阵的转置,证明 (4) (AB)T = BTAT。,j=1, s ; i=1, m,设 A=(aij)mn , A T=(aTji)nm , B =(bij)ns , B T=(bTji)sn，,则 (A B)T与B T A T都是sm矩阵，且,故 (A B)T = B T A T。,A为对称矩阵的充要条件是 AT= A ;,定义2.12 设A =(aij)nn , 如果 i, j=1, n,aji = aij , 则A称为反对称矩阵。,aji = aij , 则A称为对称矩阵;,n阶反对称矩阵A的

15、主对角元都为零，因为由aii = aii 即得 aii = 0 (i =1,2,n)。,A为反对称矩阵的充要条件是 AT= A。,必须注意，两个对称矩阵A和B的乘积不一定是对称矩阵。因为，(A B)T = BT A T = B A而B A不一定等于AB 。,例1 设A是mn矩阵，则AT A和A AT都是对称矩阵。,因为AT A是n阶矩阵,且(AT A)T= AT(AT)T = AT A ;,同理A A T是m阶对称矩阵。,例2 设A, B分别是n阶对称和反对称矩阵，则AB+BA 是反对称矩阵。,因为(A B+B A)T = BT AT+ ATBT,= (B)A+A(B)= (AB+BA)。,定

16、义2.13 设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B使得 BA=AB=I,则称矩阵A是可逆的，称B 为A的逆矩阵，记作B =A1（或B是可逆的且A= B1）。,如单位矩阵I是可逆的，且I 1= I, 因为 I I = I 。,2.4 可逆矩阵,定理2.2 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。,证,即 BA=AB=CA=AC=I，则,B=BI=B(AC),设B, C都是A的逆矩阵，,=(BA)C=IC=C,定义2.14 设 A=(aij)nn , A ij是det A 中 aij 的代数余子式, 称 cof A =(A ij) nn 为A的代数余子式矩阵，其转置矩阵,A *=(cof A)T=,A *

17、称为A的伴随矩阵，即,AA*=A*A=|A|I,注意：,充分性: 用构造性证法。若A0, 由,定理2.3 矩阵A可逆的充要条件是 A 0 。,证 必要性：,若A可逆，则存在B使得AB=I,于是， AB=AB=I=1,故A0。,AA*=A*A=|A|I，,所以，,推论1,设A，B都是n阶矩阵,且AB=I, 则BA=I,即,A，B 都可逆，并互为逆矩阵。,证,由AB=I,得AB=AB=I=1,即A，B 都可逆。,AB=IA1(AB)A= A1 IA=I,即 BA=I,故A0，B0,上（下）三角阵可逆的充要条件是主对角元全部不为零。,推论2,得,注意: A, B都可逆，而A+B不一定可逆，即使 A+

18、B可逆, 也有(A+B) 1 A1 + B1。,例1,是否可逆？ 若可逆, 求其逆矩阵。,解,A11=3, A12=4, A13=5, A21=3, A22=0, A23=1, A31=1, A32=4, A33=3,A=40, A可逆(非奇异)。,B= ad-bc, 当ad-bc 0 时, B可逆, 其逆矩阵为,C=0, 故C不可逆。,可逆矩阵的运算性质（A, B 为n阶可逆矩阵，数k0), A*= An-1, (A1) 1= A, (k A) 1= k1 A 1, (A B) 1=B1 A 1, (AT) 1=(A1)T, A1= A1,(A1A2Ak) 1= Ak1 A21 A11,(A

19、k) 1=(A1)k A k,(A1,A2 , Ak均可逆);,证 (kA)( k1A1)=(kk1)(AA1)=1I=I。, (AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AIA1=AA1=I。, 因为AA*= AI,A A*=A n, A*=An-1 。, 由 AA1=I,得(AA1)T=(A1)T AT=I；(AT) 1=(A1)T。, 由 AA1=I,得| A |A1 | =1, |A |0, A1=A 1。,证：由 B=AI , B2=(A I)2= A 2 2 A +I 及 B2= B = A I 得 A2 2A+I= AI A2 3A=A(A 3I)= 2I , 即 A(3I A)/2

20、=I 据定理2.3推论： A可逆，且A1=(3I A)/2。,例3. 设方阵B为幂等矩阵(即B2=B), A=I+B, 证明 A是可逆阵，且A1=(3I A)/2。,例4,主对角元都是非零数的对角阵是可逆的，且,注意：,证 设AT =A，则 (A) 1) T,同理可证明反对称阵的情况。,因为 AT= A, 所以 A= AT =A,例5 设A为n阶可逆对称(反对称)矩阵，R(0), 则(A)1也是对称(反对称)的。,=(A T) 1=(A ) 1,=(A) T ) 1,即(A) 1也是对称矩阵。,注意：若A是n阶反对称矩阵, n为奇数, 则A不可逆。,=(1)nA=A,当n为奇数时, 有A=0

21、，A不可逆。,证 要证A可逆，即证 A 0。当A *= A T时，由 AT A = A* A =A I，知,例6 已知A为非零n阶实矩阵，当A*= AT时，证明: A为可逆矩阵。, A 0 AT A 0,例7,若A,B,C,D均为n阶矩阵,且ABCD=I(n阶单位阵)， 以下哪个成立？,解,ABCD=I,根据矩阵乘法 满足结合律和定理2.3的推论，由于,A(BCD)=I,(BCD) A =I,(A)成立。,(AB)(CD)=I,(CD) (AB) =I,CDAB=I,(F)成立。,= 4(I+A) 1 = 4 diag(2, 1, 2) 1,例8,已知A=diag(1, 2, 1), 且A*B

22、A=2BA 8I,求B。,解 先化简，由A*BA 2BA= 8I, 得,(A* 2I)BA= 8I,B= 8(A* 2I) 1A 1,= 8(A (A* 2I) 1,= 8(A A* 2A) 1,= 8( 2I 2A) 1 (A= 2),=4diag(2 1 , 1, 2 1 )，,所以，B=diag(2, 4, 2)。,BCDA=I；(B) CABD=I；(C) BACD=I； (D) CBAD=I； (E) BCAD=I； (F) CDAB=I。,例9 设A可逆，且A*B=A1+B，证明B可逆，当,时，求B。,解 由A*B=A1+B= A1+I B 得,(A*I)B=A1，,因为| A*I

23、 | B |=| A1 |0，,所以，| B |0，B可逆。,B= (A*I) 1 A1,=(A (A*I) )1,=( | A | I A) 1,例9,(2) (A 1)* = A 1 (A 1) 1,已知：n阶矩阵A，B均可逆，证明：,(1) (AB) * =B * A *;,(2) (A-1) * =(A *)-1;,(3) (AT) * =(A*)T。,证 由,当成公式,(1) (AB)* = AB (AB)1,= B B 1 A A 1,=(A A 1) 1,(3) (AT)*= AT (AT) 1,= (A A 1)T,= AB B 1 A 1,= A 1 A,=A (A 1)T,

24、=(A*) 1,= B*A*,=(A*)T,倍乘行(列)变换: 以非零常数c乘矩阵的某一行（列）；,(2)倍加行(列)变换: 将矩阵的某一行(列)乘以非零常数 k 加到另一行（列）；,(3）对换行(列)变换: 将矩阵的某两行(列)位置对换。,统称为矩阵的初等变换。,(3)初等对换矩阵Eij：将单位矩阵的第i, j行(或列)对换;,将单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵， 三类初等矩阵为:,(1)初等倍乘矩阵Ei(c)；将单位矩阵第i行(或列)乘c ; Ei(c)=diag(1,1,c,1,1),(2)初等倍加矩阵Eij(k)：将单位矩阵第i行乘k加到第j行， 或将第j列乘k加 i 列

25、 ;,2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵,三种初等矩阵左乘矩阵A是对A作相应的初等行变换, 三种初等矩阵右乘矩阵B是对B作相应的初等列变换。,例1, Ei1(c)= Ei(1/c), Eij1(k)=Eij(k), Eij 1=Eij,初等矩阵都是可逆矩阵,且逆矩阵都是同类初等矩阵,因为对初等矩阵再做一次同类型的初等变换都可化为单位矩阵。,Ei(1/c) Ei(c)=E, Eij(k) Eij(k)=E , EijEij=E,例2 设4阶初等矩阵P1=E13, P2=E14(c), P3=E2 (k), 求P1P2P3 和(P1P2P3)1,解 P1PP3= E13E14(c) E2 (k),E

26、14(c) E2 (k)是 E2 (k)的第1行乘c加到第4行。,(P1P2P3)1= P31 P21 P11= E2 (k 1) E14(c) E13,P2P3=E14(c) E2 (k)=,P1P2P3= E13P2P3,是 P2 P3的第1行与第3行对换，所以,E14(c) E13是 E13的第1行乘 c加到第4行,例3 将三对角矩阵,分解成为主对角元为1的下三角矩阵L和上三角矩阵 U的乘积，即A=LU（称为矩阵的LU分解）。,解 利用倍加初等变换把A变为上三角矩阵:,其中,定理2.4 可逆矩阵可以经过若干次初等变换化为单位矩阵。,证明 由上例可知利用初等变换可以把A化为上三角矩阵；当A

27、可逆时，继续做初等变换，可以把A化为单位矩阵I， 即 PsP2 P1 A=I。,由PsP2 P1 A=I 得,A1=PsP2 P1 = PsP2 P1 I,和,初等阵的逆矩阵 仍然是初等阵,结论：,(1) 可逆矩阵可以表示为若干初等矩阵的乘积； (2) 对A做若干初等变换，将A化为单位矩阵I时， 同样的这些初等变换将单位矩阵I化为A1。,也可用初等列变换求A的逆矩阵,用初等行变换求A的逆矩阵,例4用初等行变换求矩阵A的逆矩阵。,解,解 因为BX2X=BX2IX=AT, 即(B2I)X=AT,例1 一个5阶矩阵可用纵横垂直的两条线将其分成4块，构成一个分块矩阵, 即,其中: E3为3阶单位矩阵，

28、0为23零矩阵。,一般地，对于mn矩阵A, 如果在行的方向分成s块，在列的方向分成t块，就得到A的一个st分块矩阵，记作 A=(Akl)st ,其中Akl (k=1,s; l =1,t)称为A的子块。,将A=(aij)mn按行分块 或按列分块为,2.6 分块矩阵,对角块矩阵（又称准对角矩阵 ),其中Aii(i=1,2, m)是ri阶方阵; Aij=0 (ij)。,下面讨论 分块矩阵的运算。,分块矩阵的加法 设分块矩阵A=(Akl)st，,. 分块矩阵的数量乘法 设分块矩阵A =(Akl)st , ，是一个数，则 A =( A kl)st,如果A与B的对应子块Akl和Bkl,(Bkl)st ,都

29、是同型矩阵，则 A +B=(Akl+Bkl) st,3. 分块矩阵的乘法,设A=(aij)mn，B=(bij)np，如果把A, B分别分块为rs 和 st 分块矩阵，且A的列的分块法与B的行的分块法相同，则,其中 Ckl =Ak1B1l + Ak2B2l + AksBsl (k =1, 2, r ; l =1, t)。,例 对例1所给的矩阵A，用分块乘法求A2。,解,计算,代入得A2,例2 设A是mn矩阵，B是ns矩阵。将B按列分块为1s分块 矩阵，将A视为11分块矩阵，则,例3 若n阶矩阵C和D分块成同型对角块矩阵，即 C=diag(C1, C2 ,Cs),D= diag(D1, D2 ,D

30、s) 其中 Ci 和 Di 是同阶方阵 (i =1, 2, s)。则 CD = diag(C1D1, C2D2 , CsDs),例4 证明：n阶可逆上三角矩阵A的逆矩阵也是上三角矩阵。 证 对n作数学归纳法： n =1时，(a)1=1/a, 结论成立。假设命题对n 1阶可逆的上三角矩阵成立。对n阶矩阵A,设B为A的逆矩阵, 并把A, B分块为同样的22分块矩阵, 即,AB=A(B1, B2, ,Bs)=( AB1, AB2,ABs),其中A1是n1阶可逆的上三角矩阵， B1是n 1阶矩阵。,由 A1=0 得 =A110=0，由 A1B1=In1 , 得 B1=A11。,A1=B是上三角矩阵。,

31、根据归纳假设，B1是上三角矩阵，所以,所以，,分块矩阵A=(Akl)st的转置AT为t s 分块矩阵， 记 AT=(Bl k)ts，则Bl k=AklT，,可逆分块矩阵的逆矩阵 对角块矩阵(准对角矩阵),可逆的充要条件是 每一子块Ai 都可逆(i=1,2, m), 且,A1也是对角块矩阵。,4. 分块矩阵的转置,l =1, 2, t ; k=1, 2, s。,其中B, D分别为k阶和m阶可逆矩阵。证明: A可逆,并求A1。,解,其中 X, T 分别为 k 阶和 m 阶矩阵。于是由,CY+DT=Im,故 DT= Im , T=D1；,得 BX=Ik, 故 X=B1;,BY=0, 故 Y= B10

32、=0；,所以，,CX+DZ=0,故 Z=D1CB1。,例6 对上面的A,*6. 分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵(以22分块阵为例),(1) 分块倍乘矩阵,(3)分块对换矩阵,(2)分块倍加矩阵,分块初等矩阵左乘（或右乘）分块矩阵,其中 Ik 表示 k 阶单位矩阵，C1, C2 是可逆矩阵。,是对A做块初等行（列）变换。,证：如果 A 和 A11 可逆，则 A22 A 21 A111 A12 可逆, 并求A1。,(A11, A 22为方阵),解 对A做倍加变换把A化为上三角块矩阵B, 即,I1, I2分别是与 A11, A22同阶的 单位阵。,| A22A21A111A12 |0，即矩阵 Q=

33、 A22A21A111A12 也可逆。,两边求逆：A1(P2 P1)1 = C1, 故 A1= C1 P2 P1 ，,对B=P1A做行变换将其化为对角块矩阵C，,其中D11= A111+ A11 1 A12(A22 A21 A11 1 A12 ) 1 A21 A11 1 D12= A11 1 A12 (A22A21 A11 1 A12 ) 1 D21= (A22 A21 A11 1 A12 ) 1A21A11 1 D22= (A22A21 A11 1 A12 ) 1,由于可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵，所以 P1A 可逆，| P1A |0。,| P1A |=| A11 | | A22A21A111A12 |0，又 | A11 | 0，所以，,例7 设A ,B, C, D 都是 n 阶矩阵，,证明:,证 做初等行变换化矩阵为上三角分块阵，,两边再取行列式,这里用到了,证 利用左乘和右乘块初等矩阵构造出A+B, AB 和上三角 块阵。如第1行加到第2行；再第2列乘(1)加到第1列。,例8,已知 A, B 为 n 阶矩阵。 证明,上式两边取行列式,