鲈鱼体重与胸围的关系

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1、鱼的质量估计摘要一、问题重述垂钓的乐趣在于休心，放生的乐趣在于养性。一垂钓俱乐部为鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的质量给予奖励。由于俱乐部只准备了一把用于测量鱼的身长和胸围（鱼身的最大周长）的软尺，于是众垂钓者开始考虑根据测量的长度估计鱼的质量的方法，希求体味到垂钓更大的乐趣。因此，利用应用软件找到所测长度与鱼的质量的变化规律，显得尤为重要。二、问题分析想要找到按照测量的长度估计鱼的质量的方法，我们可以先运用机理分析的方法定性分析这三者之间的关系。根据常识，在正常情况下，鱼的质量与其身长成正比，与其胸围也成正比，题中所给数据也可证明这一点。由此，我们有三种设想：鱼的质量只与身长有关

2、；鱼的质量只与胸围有关；鱼的质量是与身长和胸围同时相关的二元函数。对以上三种设想分别建立模型，说明其是否合理。然后根据题中数据，画出散点图，并通过拟合，确定相应参数。最后，用几组数据进行检验，判断所得结果是否合理。三、模型假设1.假设鱼池中只有某一类的健康鲈鱼。2.假设鱼池中鲈鱼的数量足够多，以便多测数据，确保结果的真实性。3.假设所有鲈鱼的密度均相同。4.假设鲈鱼的体型较规则。四、符号说明L：鲈鱼的身长 W：鲈鱼的质量C：鲈鱼的胸围五、模型的建立与求解1.模型1（1）问题分析1)针对设想，为了找到鱼的质量与身长的关系，可以建立弹性梁模型，再利用类比的方法，得之。2)弹性力学中研究的弹性梁模型

3、如下：图1将鱼假想成有四肢的动物，以便更好地利用弹性梁模型研究。把鱼的躯干看作圆柱体，长度 l、直径 d、断面面积s，如图1所示。将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。鱼在自身体重 f 作用下躯干的最大下垂度 b，即梁的最大弯曲，根据对弹性梁的研究(1)因为，所以(2)b / l 是鱼躯干的相对下垂度。b / l 太大 , 四肢将无法支撑；b / l 太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费。因此从生物学的角度可以假定，经过长期进化, 对于每一种动物而言 b / l 已经达到其最合适的数值，换句话说， b / l应视为与这种动物的尺

4、寸无关的常数， 于是由(2)式得到 (3) 再从，以 (3) 式代入可得即体重与躯干长度的 4 次方成正比。这样，在根据统计数据确定出上述比例系数以后，就能从躯干长度估计出的体重了。3)由于鱼本身并没有四肢，必须去掉前面假设的四肢，这样会导致其质量的减少。但是，因为减少的质量相对于躯干是平均分配的，所以对我们得到的模型并无影响。（2）模型的建立与求解利用Matlab作出身长与体重的散点图如下：对所得散点图用四次多项式进行拟合得到函数表达式为：利用所得函数计算估测鲈鱼的体重与实际值比较得到如下表：表一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表重量（g)7654821162737482138965245

5、4估算值（g）728.4477.41122.6728.4452.21343.5640.4452.2相对误差（%）4.780.953.391.176.183.281.780.40平均相对误差：2.74125%从拟合图中可以看出，质量与身长只是在小范围内成正比，并非适用于所有情况，所以该模型不是特别合理。2.模型2（1）问题分析针对设想，为了找到鱼的质量与胸围的关系，我们可以根据题中所给数据，用Matlab软件作出散点图，通过拟合，得到两者的关系。（2）模型的建立与求解利用Matlab作出胸围与体重的散点图如下：对所得散点图进行拟合得到函数表达式为： 表二、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表胸围（

6、cm）21.321.621.622.924.824.827.931.8重量（g)48248245465273776511621389拟合值（cm）462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相对误差（%）4.131.607.866.556.392.507.982.81平均相对误差：4.9775%由于误差接近5%，可能导致估计结果不能准确反映实际情况。3.模型3（1）问题分析实际情况下，鲈鱼的体重不可能只由身长、胸围单独影响，因此考虑建立身长、胸围共同作用体重的模型。（2）模型的建立与求解此模型的建立是基于假设鲈鱼的体态用与胸围等周长的两段圆锥形来近似，两

7、队圆锥体的高之和等于鲈鱼的身长。依据鲈鱼的身体结构，我们假设两段圆锥体的高度比为2:5，即L+L=L。因为圆锥体的体积等于底面积乘高再乘以，底面积可以用周长表示：.因此可以分析得出.又物体质量等于密度与体积的乘积，因此只需根据数据求出密度即可。于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：，问题转化为对系数的求解。根据已知数据，利用MATLAB软件求解，得到：0.0327因此， 利用得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表：表三、重量估计值及相对误差重量（g)76548211627374821389652454估算值（g）74047211157404901491616490相对误差（%）3.252.12

8、4.050.421.607.375.587.87平均相对误差：4、0325%根据表三的数据，可以知道模型3的拟合程度较好，相对于模型1、2，此模型充分考虑到了身长、胸围对体重的影响，且比模型2误差小，所以用此模型估计鲈鱼的体重会更符合实际。六、模型评价优点：1. 为了寻找鲈鱼身长与质量的关系，将鲈鱼躯干类比为弹性梁，转化为已经有确切研究成果的弹性梁问题，使得问题迎刃而解。2.根据鲈鱼的身体形态，在模型3中简化为两个圆锥形，与其身体结构最接近。 缺点：题中所给数据组数较少，偶然性大，不具代表性，所以据此得到的模型不够准确。附录附录1：程序1身长与体重散点图x=36.8 31.8 43.8 36.

9、8 32.1 45.1 35.9 32.1;z=765 482 1162 737 482 1389 652 454;plot(x,z,*)xlabel(身长);ylabel(体重);title(身长与体重散点图);程序2身长与体重拟合图x=36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1;z=765 482 1162 737 482 1389 652 454;x1=30:0.1:50;z1=0.2604.*x1.4-40.022.*x13+2296.3.*x12-58225*x1+550640;plot(x,z,*,x1,z1)xlabel(身长);ylabel(

10、体重);title(身长与体重拟合图);程序3胸围与体重散点图y=24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6;z=765 482 1162 737 482 1389 652 454;plot(y,z,*)xlabel(胸围);ylabel(体重);title(胸围与体重散点图);程序4胸围与体重拟合图y=24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6;z=765 482 1162 737 482 1389 652 454;y1=20:0.1:40;z1=92.*y1-1497.5;plot(y,z,*,y1,z1)xlabel(胸围);ylabel(体重);title(胸围与体重拟合图);程序5模型3程序y=24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6;c=y.2;x=36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1;z=c.*x;w=765 482 1162 7374821389 652 454;a=w./z;sum(a)/8附录2：鲈鱼身体结构