《小波分析报告》word版

《《小波分析报告》word版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《小波分析报告》word版（15页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、小波方法年级：研一专业：高压姓名：吕树明学号：0920300072第1章 绪论小波分析(Wavelet Analysis)即小波变换是80年代中期发展起来的一门新兴的数学理论和方法，它被认为是傅立叶分析方法的突破性进展，它具有许多优良的特性。小波变换的基本思想类似于Fourier变换，就是用信号在一族基函数张成的空间上的投影表征该信号。经典的Fourier变换把信号按三角正、余弦基展开，将任意函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性迭加，能较好地刻划信号的频率特性，但它在时空域上无任何分辨，不能作局部分析，这在理论和应用上都带来了许多不便。小波分析优于傅立叶之处在于，小波分析在时域和频域同时具有

2、良好的局部化性质，因为小波函数是紧支集，而三角正、余弦的区间是无穷区间，所以小波变换可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。因此，小波变换被誉为分析信号的显微镜，傅立叶分析发展史上的一个新的里程碑。小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、傅立叶分析、数值分析的最完美结晶;在应用领域，特别是在信号处理、图象处理、语音分析、模式识别、量子物理、生物医学工程、计算机视觉、故障诊断及众多非线性科学领域都有广泛的应用。AbstractWavelet Analysis (order Wavelet), Wavelet transform is mid 80s de

3、veloped a new mathematical theory and method, it is believed to be the Fourier Analysis method, it is the breakthrough of many excellent properties. The basic thought of wavelet transform is similar with Fourier signal in gens function of space projection lodged open like the signal representation.

4、The Fourier transform of the classical signal by triangle is, the yankees will be arbitrarily, cosines with different frequency function for the linear superposition of harmonic function, can characterize the signal frequency characteristics, but when it without any resolution airspace, cannot make

5、local analysis, it in theory and application are brought much inconvenience. Wavelet analysis is superior to Fourier, wavelet analysis in time domain and frequency domain, also have good properties, because the localization of wavelet function is tight, and triangle is a collection of interval is in

6、finite, cosine interval, so the wavelet transformation of high frequency components can be refined by gradually replacing time or space domain, which can step length on any object to details. Therefore, the wavelet transform is regarded as the microscope, the analysis of signal in the history of the

7、 Fourier analysis, a new milestone. Wavelet analysis is a new branch of mathematics, it is the functional analysis, Fourier analysis, numerical analysis of the most perfect, In the fields of application, especially in the image processing and signal processing, analysis and pattern recognition, quan

8、tum physics, biomedical engineering, computer vision, fault diagnosis and nonlinear science is widely used in the field.Key words: wavelet Analysis, harmonic function, diagnosis第2章 傅立叶变换2.1周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号（为其周期）可展开为傅里叶级数。(1)三角函数形式的傅里叶级数7式中，为正整数。直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为或以上几种表示形式

9、中各个量之间的关系为为的偶函数，为的奇函数9。（2）指数形式的傅里叶级数式中，为从到的整数。复数频谱与其他系数之间的关系为是的偶函数。(3)函数的时域对称性与傅里叶系数的关系16实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项，只可能包含正弦项。实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和几次谐波的正弦、余弦项，而不包含偶次谐波项。2.2.傅里叶变换傅里叶变换定义为正变换逆变换频谱密度函数一般是复函数，可以写作其中是的模，它代表信号中个频谱分量的相对大小，是的偶函数。是的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系，是的奇函数。2.3.傅里叶

10、变换的基本性质(1)对称性若，则(2)线性性若，则(3)奇偶虚实性若，则是实偶函数，即实偶函数。是实奇函数，即为的的虚奇函数。(4)尺度变换特性若，则式中为非零实常数。(5)时移特性若，则(6)频移特性若，则(7)时域微分特性若，则(8)频域微分特性若，则(9)时域积分特性若，则(10)时域卷积定理若，则(11)频域卷积定理若，则2.4周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频处，每个冲激的强度等于的傅里叶级数的相应系数的倍。即其中还可用下式获得：上式说明：周期脉冲序列的傅里叶级数的系数单脉冲的傅里叶变换在频率点的值乘以。利用单脉冲的傅里叶变换式可以

11、很方便地求出周期性脉冲序列的傅里叶系数。2.5冲激抽样信号的频谱 冲激抽样信号的频谱为其中为抽样周期，为被抽样信号的频谱。上式表明，信号在时域被冲激序列抽样后，它的频谱是连续信号频谱一抽样频谱为周期等幅地重复。2.6抽样定理(1)时域抽样定理一个频谱受限的信号，如果频谱只占据的范围，则信号可以用等间隔抽样值唯一地表示。而抽样间隔必须不大于（其中），或者说，最低抽样频率为，(2)频域抽样定理若信号是时间受限信号，它集中在的时间范围内，若在频域中以不大于的频率间隔对的频谱进行抽样，则抽样后的频谱可以唯一地表示原信号10。第3章 小波方法3.1连续小波变换的定义设函数只的傅里叶变换，若满足容许性条件

12、：则称为母小波(或基本小波)。函数对于母小波的连续小波变换(CWT)定义为 （3-1）式中，为伸缩参数，为平移参数， （3-2）是母小波经平移和伸缩得到的，称为小波函数3。关于连续小波变换的定义式(3一1)，几点补充说明如下:（l) 从母小波的定义可以看出，由于矩形包络的信号不满足容许条件，不能将其作为母小波。但是矩形包络的信号在实际中应用较多，在某些场合下，可以近似使用。（2) 式(3一2)频域的等效定义为， （3-3）从频域上讲，母小波通常是带通函数，不同尺度的连续小波变换相当于用一组滤波器对信号进行处理。（3) 一些学者(例如Mallat)是直接用卷积而不是内积来定义小波变换的， （3-

13、4）为了区别，将按此定义的小波变换称为卷积小波变换。两个定义有密切的联系，如果将小波函数首尾对调，则有 (3-5)（4） 特别的比较式(3一1)与(3一3)，可以看出，如果将s换为，那么宽带相关处理器的输出就是以发射信号为母小波的接收信号的连续小波变换，即宽带相关处理与连续小波变换具有一致性。这一点是相当重要的，一方面给出了连续小波变换确切的物理意义，另一方面，说明了连续小波变换是宽带相关处理的数学表达。两者的一致性使得两者可以相互补充和加强，促进宽带信号处理的发展5。3.2离散小波变换在实际运用时，需将连续小波变换离散化处理。一是信号(时间序列)本身是离散情况，如f(kt)(k=1，2，N:

14、t为取样时间间隔)，则离散形式为: 另一种情况是将尺度参数a和平移参数b离散化，即取则信号f(t)的离散小波变换为:当=2，=1时，上式变为二进小波变换:3.3常用小波函数既包含了的信息，又包含了的信息。因此，小波函数的选择十分重要。小波函数除满足容许条件外，还必须满足正则性条件(Regularitycondition)，以便在频域上表现出较好的局域性能。这就要求的前n阶原点矩等于零，且n值愈高愈好，即:目前广泛使用的有Haar小波、墨西哥帽(Marr)小波、Morlet小波、样条小波、Daubeehies小波等。3.3.1 Haar小波Haar函数是一组互相正交归一的函数集。Haar小波是由

15、它衍生而得是具有紧支撑的正交小波函数，其定义如下:Haar小波是一个最简单的时域不连续的二进小波函数，如图1所示。 图1墨西哥帽小波MexicanHat小波又称Marr小波。它是高斯函数的二阶导数(加负号)。其形式为:波形见图2 图2Marr小波的傅立叶变换为: 可知在w=0处有二阶零点，所以满足容许条件，而且其小波系数随w衰减得较快。Marr小波的时、频域都有很好的局部性，但不具有正交性，且尺度函数不存在。Morlet小波是高斯包络下的单频率复正弦函数:式中，w0为常数;i表示虚数。波形见图3。Morlet小波的傅立叶变换为。因为，因此Morlet小波不满足相容条件，但只要，便可以近似满足条

16、件。由于在w=0处的斜率很小，所以其一、二阶导数也近似为零。Morlet小波的时、频域局部性都比较好。Morlet小波伸缩尺a，周期T如下关系：3.4多分辨分析Meyer于1986年创造性地构造了具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成 (R)的规范正交基，才使小波得到真正的发展。1988年Mallat在构造正交小波基时提出了多分辨率(Multi一Resolution加alysis)的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，将之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变换的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中地位相当于快

17、速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位。关于多分辨分析，以三层分解为例进行说明，见图3 图33.5连续小波变换的性质和相关概念考虑到连续小波变换是线性变换，线性叠加性和平移伸缩共变性是其基本性质，l) 线性叠加性若则 (3-6)2) 平移伸缩共变性若则 (3-7) (3-8) (3-9)另外，还有一些重要概念及其性质如下，3) 交互小波变换, 满足容许条件。对的小波变换可表示为: (3-10)4) 再生核与再生核方程连续小波变换的再生核方程为 (3-11)此式说明连续小波变换的冗余性，即在二维平面上各点的连续小波变换的值是相关的6，处的连续小波变换的值可以表示成其他各点连续小波变换的值的总贡

18、献。再生核，定义如下: (3-12)度量了小波函数关联的程度，实际上就是小波本身的小波变换。3.6 连续小波变换的快速算法应用各计算单元时，每次只能计算出尺度一平移平面上某一点处的连续小波变换。为了计算尺度一平移平面上特定区域上的连续小波变换，需要逐点计算，这样就使得运算量变大，以致于不利于工程实际中的应用。为了加快连续小波变换的计算速度，必须改进这种逐点计算的方式。对于连续小波变换的快速计算，已有快速算法的要求较高，不能给出任意尺度平移下的连续小波变换，不适于对于我们关心的宽带相关处理进行快速计算。考虑到连续小波变换与卷积小波变换具有内在联系，而线性卷积可由FFT快速实现，因此，可以利用FF

19、T实现连续小波变换的快速计算，每次可得到某一固定尺度上的不同平移处的连续小波变换值12。设是基本小波函数，对信号x(t)L2(R),其连续小波变换WTX (,)定义为：WTX (,)= (3-13)式中，是尺度参数是位移参数，上标代表取共轭。上式的频域表示式为：WTX (,)= (3-14)设于是、可写成和。它们的Mellin变换、，有下面关系式：= = ，; (3-15)利用上述关系可得： (3-16)将上式代入（3-14）式，即可求得.3.7小波分析的特点(1)灵活性 由于小波基函数不是唯一的，只要满足允许小波的条件即可，因而就有很多构造小波的方法。例如Harr小波，样条小波等等。不同小波

20、具有不同的特性，可分别用来逼近不同特性的信号，以便得到最佳结果。而傅立叶变换只用正弦函数去逼近各种信号，没有选择的余地，因而逼近的效果就不可能完全理想。(2)快速性 由于游了多分辨分析这一工具大大提高了小波分析的效率，人们易于从尺度函数和两尺度关系推到处小波系数，甚至不需要知道小波函数的解析表达式也可得到分析的结果。3.8傅立叶变换和小波变换的区别小波分析是Fourier分析思想上的发展和延拓。二者是相辅相成的，但有以下不同:(l)傅立叶变换的实质是把能量有限信号分解到以为正交基的空间上;小波变换的实质是把能量有限信号分解到以和所构成的空间上。(2)Fourier变换的基函数为三角函数，具有唯

21、一性;Waveet变换的小波函数具有多样性。(3)在频率分析中，Fourier变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分较简单的确定信号，Fourier变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加;但在时域中，它没有局部化能力(4)在小波分析中，尺度a的值越大相对于傅立叶变换中越小。第四章 小波变换在故障诊断方面的应用小波变换能够通过多尺度分析提取信号的奇异点。基本原理是当信号在奇异点附近的LIPschitz指数时，其小波变换的模极大值随尺度的增大而增大;当a0时，则随尺度的增大而减小。噪声对应的Lipschitz指数远小于0。，而信号边沿对应的Lipschitz指数大于或等于0因此，利用小波

22、变换可以区分噪声和信号边沿，有效地检测出强噪声背景下的信号边沿(缓变或突变)。离散正交小波变换和连续正交小波变换的时频特性相似，二者都能够描述信号的频谱随时间变化情况或信号在某时刻附近的频率分布。且离散正交小波变换可以采Mal1et算法，数据量较小，计算速度快。目前利用小波变换进行故障诊断的方法有三种4，5:（l)利用观测信号的奇异性进行故障诊断动态系统的故障通常会导致系统的观测信号发生变化，若能采取一定的措施消除系统状态变化以外的因素的影响，直接利用连续小波变换检测观测信号的奇异点就可以检测出系统故障。（2)利用观测信号频率结构的变化进行故障诊断振动系统的故障通常会导致系统观测信号的频率发生

23、变化。若能采用一定的措施消除系统状态变化以外的因素对观测信号的影响，则利用离散正交小波变换分析观测信号的频率结构随时间的变化情况，就可以检测系统的故障。（3)利用脉冲响应函数的小波变换进行故障诊断Eykhoff的连续系统脉冲响应辨识方法的基本思想是将系统脉冲响应函数的辨识转化为脉冲响应函数在一组正交函数基上的投影系数的辨识。若Eykhoff方法中的正交函数基取为离散正交小波基，所得到的脉冲响应辨识方法除了保持原方法的有效性外，而且较基于传统正交函数基的Eykhoff方法，具有更强的跟踪参数变化的能力，辨识结果具有明确的频域物理意义。系统脉冲响应函数在最大尺度下的12小波变换系数描述了它在大尺度

24、下的概貌情况，完全可以代表其整体特性。而且通常这些小波变换系数中只有2一3个元素具有较大的模，其余元素的模都非常小。系统故障导致的系统脉冲响应函数的变化也必然反映在这少数几个小波变换系数的变化中。以系统的状态为参照，根据系统待检状态下辨识得到的这几个元素或其平均值随时间的变化情况就可以判断有无故障。由于这些元素或其平均值和系统的状态相对应，还可以利用它们在突变后的取值并结合系统的先验知识进行故障分离。基于小波变换的故障诊断方法无需对象的数学模型，且对于输入信号的要求较低，计算量不大，灵敏度高，克服噪声能力强，是一种很有前途的故障诊断方法.故障诊断系统的基本结构如图4所示图4故障诊断系统和基本结

25、构图故障诊断系统在功能上应包括故障信号检测、故障识别、故障评估等环节。故障信号检测环节根据动态系统的输出信号对系统运行状态是否正常进行检测，当发现系统运行出现故障时，故障识别环节对故障的类别、位置和程度进行诊断，故障评估环节对故障的发展趋势、故障的危害进行预测，从而为对故障进一步处理提供依据。故障信号检测环节对动态系统的信号采集有二种情况:一种是检测环节只对系统输出信号进行实时采集，并利用相应技术手段对动态系统的输出信号进行处理，从中提取系统发生异常的特征，如输出信号发生突变，噪声异常增多等。将此特征传递给故障识别环节进行故障识别。另一种可将系统的输入和输出同时作为信号检测环节的输入，如图4所

26、示，生成用于故障检测的残差，并利用残差进行决策函数的计算，为进一步诊断提供信息。残差是对动态系统的输入和输出信号进行处理后得到的可以显现故障影响的信号。在最简单的情况下，残差是动态系统的输出信号同其正常状态下的期望值之差。故障识别环节利用检测环节提供的实时信息和各种先验知识，对故障的种类、位置和程度进行识别和推理分析，模式识别技术、人工神经网络技术及状态估计技术都是故障识别的有用工具。在故障的种类、位置和程度等信息的基础上，故障评估系统根据这些信息，利用各种经验知识对故障的发展趋势进行评价，并对可能的后果和危害作出预测。动态系统的故障诊断，主要集中在故障的检测与识别方法的研究上，因为故障的评估

27、往往和特定系统的各种专门经验与知识联系在一起，很难作为动态系统故障诊断的一般方法进行研究。另外，对于动态系统的故障诊断，在大多数情况下很把故障信号检测与故障识别环节分开来，往往是将故障信号检测与识别结合在一起进行的。因此，在具体讨论动态系统的故障诊断问题时，不对故障信号检测与识别问题进行区分。故障诊断系统自身的可靠性是十分重要的。计算机往往是故障诊断系统的重要组成部分，包括计算机硬件和软件，计算机硬件本身应满足一定的可靠性要求。对运学院硕全学夕老丈势澄分厉岔碑护胎沙断功夕夕应留于特殊的应用场合，对计算机的可靠性具有特别要求，也可以采用双机及多机冗余备份，当然这会使故障诊断系统的成本及软件和硬件

28、的复杂性增加【l，2】。参考文献1 秦前济，杨宗凯.实用小波分析.西安：西安电子科技大学出版杜，1994.2 衡 丹小波分析及其应用研究四川大学博士论文，20033.203 李世雄小波变换及其应用北京：高等教育出版社，19974 杨福生小波变换的工程分析与应用北京：科学出版社，20005 刘贵忠等小波分析及父应用.西安：西文电了科技大学出版杜，19926 程正兴小波分析算法与应用两安：西安交通大学出版杜，19987 李弼程，罗建书小被分析及其应用北京：电子工业出版社，20038 周小勇. 小波分析在故障中的应用. 上海海运学院硕士论文，2001：47689 吴耀军，史习智，陈进. 小波变换时频

29、特性的信号识别. 上海交通大学学报， 1999，33(8)：1055105810 L. Satish, Walter S. Zaengl. Artificial neural networks for recognition of 3-d11 partial discharge patterns. IEEE Transactions on Dielectrics and ElectricalInsulation,1994, 1(2): 26527512 S. Whitehead. Dielectric Breakdown of Solids. Clarendon Press, 1953:253

30、513 F. H. Kreuger. Discharge Detection in High Voltage Equipment. Temple Press,1989:91214 Edward Gulski. Digital Analysis of Partial Discharges. IEEE Transaction onDielectrics and Electrical Insulation, 1995, 2(5):82283715 T. Tanaka, T. Okamoto. A minicomputer-based partial discharge measurementsyst

31、em. IEEE Intern. Symp. On Electrical Insulation, Philadelphia, Conf.,proceeding 1978:868916 Widrow B et al. Neural Networks, Application in Industry, Business and Science.Communication of the ACM, 37, 1994:310517 N. Hozumi, T. Okamoto and T. Imajo. Discrimination of Partial DischargePatterns Using a

32、 Neural Network. IEEE Transaction on Electrical Insulation,1992,27(3):55055618Mallat S, Wen Liangwang. Singularity detection and processingwith wavelets J. IEEE Trans on Information Theory， 1992, 38：617 - 643.19 Mallat S, Zhong S. Characterization of Signals from Multiscale Edges J. IEEE Trans On PAMI, 1992, 14: 710 - 732.20 Chaari Oinis, Meunier Michel, Brouaye F. Wavelets: ANew Tool for the Resonant Grounded PowerDistribution Systems Relaying. IEEE Trans on Power Delivery, 1996, 11: 1301 - 1308.15