排列组合概率专题讲解

《排列组合概率专题讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合概率专题讲解（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计【考点分析】1 突出运算能力考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数值给出选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体计算。2 有关排列、组合综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两3 个附加条件，此附加条件有鲜明特色，是解题关键所在；而且此类问题一般都有多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题形式出现，属于中等偏难（理科）题目。4 有关二项式定理通项式和二项式系数性质问题。这种问题重点考查运算能力，特别是有关指数运算法则运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空

2、题形式出现，属于基础题。5 有关概率实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）形式出现，属于中等偏难题目。6 有关统计实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题形式出现，属于基础题。【疑难点拨】1 知识体系：加法原理乘法原理排列组合随机事件的概率：1等可能性事件的概率2互斥事件的概率3相互独立事件的概率4独立重复实验离散型随机变量的分布列、期望与方差二项式定理统计抽样方法：简单随机，系统

3、，分层总体分布的估计：条形图、直方图正态分布线性回归2知识重点：（1） 分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识灵魂和核心，贯穿于本章始终。（2） 排列、组合定义，排列数公式、组合数公式定义以及推导过程。排列数公式推导过程就是位置分析法应用，而组合数公式推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。（3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数性质及其推导过程。二项式定理推导过程体现了二项式定理实质，反映了两个基本计数原理及组合思想具体应用，二项展开式系数性质推导过程就对应着解决此类问题通法赋值法（令）应用。（4） 等可能事件定义及其概率公式，互斥事件定义及其概率加法公式，相互独立事件定义

4、及其概率乘法公式，独立重复试验定义及其概率公式。互斥事件概率加法公式对应着分类相加计数原理应用，相互独立事件概率乘法公式对应着分步相乘计数原理应用。（5） （理科）离散型随机变量定义，离散型随机变量分布列、期望和方差。（6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。2 知识难点：(1) 排列、组合综合应用问题。突破此难点关键在于：在基本思想上强调两个基本原理（分类相加计数原理和分步相乘计数原理）在本章知识中核心地位；在通法上要求，首先要认真审题，分清是排列（有序）还是组合（无序），或二者兼而有之；其次要抓住问题本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”，分类

5、时要不重不漏，分步时要独立连续。在两个公式应用中要深刻理解其定义中“所有”含义，特别是组合数“”已包含了个元素“所有”可能组合个数，故在平均分堆过程中就会产生重复，而平均分配给不同对象过程中就不用再排序。同时在本节中要注意强调转化化归数学思想应用。(2) 二项式定理计算。突破此难点关键在于：熟记指数运算法则和二项展开式通项公式，深刻理解“第项”“常数项”“有理项”“二项式系数”“系数”等基本概念区别与联系。(3) 概率、分布列、期望和方差计算。突破此难点关键在于：首先要运用两个基本原理认真审题，弄清楚问题属于四种类型事件中哪一种，然后准确地运用相应公式进行计算，其中要注意排列、组合知识应用。（

6、理科）对于分布列要熟记一个基本型（）和三个特殊型（，二项分布，几何分布）定义和有关公式；此类问题解题思维流程是：要求期望，则必先求分布列，而求分布列难点在于求概率，求概率关键在于要真正弄清每一个随机变量“”所对应具体随机试验结果。【经典题例】例1：将名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排名学生，那么互不相同分配方法共有多少种？思路分析 根据宿舍人数，可分为三类：“”型不同分配方法有种；“”型不同分配方法有种；“”型不同分配方法有种。则由加法原理得，不同分配方法共有种。小结 本题体现了“先选后排”通法应用，属于排列组合混合问题。要注意（不）平均分配与（不）平均分堆联系与区别。例2：在正方

7、形中，分别为各边中点，为正方形中心，在此图中九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等三角形共有多少个？ 思路分析 根据三角形类型分为三类：直角三角形有共种；以边为底三角形共种；过中点和中心三角形有 共种。由加法原理得，共有种不同类型三角形。小结 本题体现了“转化化归数学思想”应用，属于排列组合中几何问题，在具体方法上是运用了“穷举法（将所有情形全部列出）”。例3：在多项式展开式中，含项系数为多少？思路分析解1 ，所以含项系数为 。解2 ，所以含项系数为 。解3 由组合原理 。小结 本题重点考查对二项式定理本质理解和运算能力。例4：从数字中，随机抽取个数字（允许重复）组成一

8、个三位数，其各位数字之和等于概率为多少？思路分析 本题基本事件是由个不同数字允许重复而且含条件下组成三位数，根据乘法原理可知基本事件全体共有个。设三个数字之和等于事件为，则分为六类：数码组成不同三位数有个；数码组成不同三位数有个；数码组成不同三位数有个；数码组成不同三位数有个；数码组成不同三位数有个；数码组成不同三位数有个，根据加法原理，事件共有个。故。小结 本题考查等可能性事件概率和互斥事件概率，重点在于利用排列组合知识求各个基本事件总数。例5：若则 ， 。思路分析 将条件等式左右两边比较，可知变形。利用赋值法，令，则有；令，则有。小结 本题考查二项展开式系数性质，在具体方法上是运用了通法“

9、赋值法”。例6：从中任取个数字，从中任取个数字，组成没有重复数字四位数，其中能被整除不同四位数共有 个。思路分析 由已知，此四位数末位只能是或，且不能在首位，故为特殊元素，而且二者中至少要选一个。根据题意，可分三类：有无，不同四位数有个；有无，不同四位数有个；同时存在，当在末位时，不同四位数有个，当在末位时，不同四位数有个。所以满足条件不同四位数共有个。小结 本题考查有两个受条件限制特殊元素排列组合混合问题，基本解题模型为：分为三类。第一类，两个中一个都不考虑；第二类，两个中考虑一个；第三类，两个都考虑。注意在具体求解中其中“先选后排”“位置分析法”等通法运用。例7：鱼塘中共有条鱼，从中捕得条

10、，加上标志后立即放回塘中，经过一段时间，再从塘中捕出条鱼，发现其中有条标志鱼。（1）问其中有条标志鱼概率是多少？（2）由此可推测塘中共有多少条鱼（即用表示）？思路分析 （1）由题意可知，基本事件总数为。鱼塘中鱼分为两类：有标志鱼条，无标志鱼条，从而在捕出条鱼中，有标志条鱼有种可能，同时无标志条鱼有种可能，则捕出条鱼中有条鱼共有种可能。所以概率为。 （2）由分层抽样可知，（条）。小结 本题考查等可能性事件概率和统计知识，重点要注意“鱼”不同分类以及抽样方法中各个元素被抽取概率相等性。例8：某宾馆有间客房，现要安排位旅游者，每人可以进住任意一个房间，且进住各房间是等可能，求下列事件各概率：（1）事

11、件：指定个房间各有人；（2）事件：恰有个房间各有人；（3）事件：指定某房间中有人；（4）事件：一号房间有人，二号房间有人；（5）事件：至少有人在同一个房间。思路分析 由于每人可以进住任一房间，进住哪一个房间都有种等可能方法，根据乘法原理，个人进住个房间有种方法，则（1）指定个房间中各有人有种方法，。（2）恰有个房间各有人有种方法，。（3）从人中选人方法有种，余下人每人都可以去另外个房间中任一间，有种方法，。（4）从人中选人去一号房间方法有种，从余下人中选人去二号房间方法有，再余下人可去个房间中任一间，。（5）从正面考虑情形较复杂，正难则反，“至少有人在同一个房间”反面是“没有人在同一个房间，即

12、恰有个房间各有人”，。小结 本题考查等可能性事件概率和互斥事件概率，注意排列组合知识运用。例9：甲、乙、丙三人独立解某一道数学题，已知该题被甲解出而乙解不出概率为，被乙解出而丙解不出概率为，被甲、丙两人都解出概率是。（1）求该题被乙独立解出概率；（2）（文科）求该题被解出概率。（理科）求解出该题人数分布列和数学期望。思路分析（1）设分别为甲、乙、丙三人各自独立解某一数学题事件。由已知则有即由此方程组解得所以该题被乙独立解出概率为。（2）（文科）记为该题被解出，它对应着甲、乙、丙三人中至少有一人解出该题，则。（理科），。所以随机变量分布列为：期望为。小结 本题考查相互独立事件概率和互斥事件概率，

13、同时考查函数方程数学思想和运算能力。理科还考查分布列和数学期望，在解题过程中特别要注意，真正弄清每一个随机变量“”所对应具体随机试验结果。例10：某一汽车前进途中要经过个红绿灯路口。已知汽车在第一个路口，遇到红灯和遇到绿灯概率都是；从第二个路口起，若前次遇到红灯，则下一次遇到红灯概率是，遇到绿灯概率是；若前一次遇到绿灯，则下一次遇到红灯概率是，遇到绿灯概率是。求：（1）汽车在第二个路口遇到红灯概率是多少？（2）（文科）在三个路口中，汽车遇到一次红灯，两次绿灯概率是多少？ （理科）汽车在经过三个路口过程中，所遇到红灯次数期望是多少？思路分析 根据相互独立事件同时发生概率乘法公式可得，（1）。（2

14、）（文科）。（理科）要求期望，则必须先求分布列。设汽车所遇到红灯次数为随机变量，则有，故得分布列所以。小结 本题重点考查相互独立事件概率乘法公式本质同时发生，同时还考查互斥事件概率。在具体解题中注意与递推有关概率计算。【热身冲刺】一、 选择题：1用这五个数字组成没有重复数字全部五位数中，若按从小到大顺序排列，则数字应是第 （ ） 个 个 个 个2从位男教师和位女教师中，选出位教师分别担任个班级辅导员，每班一位辅导员，要求这位辅导员中男、女老师都要有，则不同选派方案共有 （ ） 种 种 种 种3有两排座位，前排个座位，后排个座位。现安排人就座，规定前排中间个座位不能坐，并且这人不左右相邻，那么不

15、同排法种数是 （ ） 4长方体个顶点中，以任意个为顶点所有三角形中，锐角三角形共有 （ ） 个 个 个 个5从编号为六小球中任取个，放在标号为四个盒子里，每盒一球，且号球不能放在盒中，号球不能放在号盒中，则不同放法种（ ） 6展开式中常数项是 （ ） 7某工厂生产三种不同型号产品，产品数量之比依次为。现用分层抽样方法抽出一个容量为样本，样本中型号产品有件，则此样本容量为 （ ） 8某校高三年级举行一次演讲比赛，共有位同学参赛，其中一班有位，二班有位，其他班级有位。若采取抽签方式确定他们演讲顺序，则一班位同学没有被排在一起，而二班位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连）概率是 （ ） 9某人射击一

16、次命中目标概率是，则此人射击次，有次命中目标且恰有两次连续命中概率是 （ ） 10在世纪一天，保罗与梅尔进行赌钱游戏。每人拿出枚金币，然后玩骰子，约定谁先胜三局谁就得到枚金币（每局均有胜负）。比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局，这时一件意外事情中断了比赛，于是他们商量这枚金币应该怎样分配才合理。据此，你认为合理分配方案是保罗和梅尔分别得到金币 （ ） 枚，枚 枚，枚 枚，枚 枚，枚二、 填空题：11若，则 。（）12口袋内装有个相同小球，其中个小球标有数字，个小球标有数字。若从中摸出小球，那么摸出个小球所标数字之和小于或大于概率是 。（）13抛掷一枚硬币若干次，每次正面向上得分，反面向上得

17、分。（文科）则恰好得到分概率为 。（）（理科）则恰好得到分概率为 。（）14已知从甲地到乙地海底光缆有个接点，其中有一个接点发生故障，为了及时排除故障，需要尽快断定故障发生点。以三个接点为例，检查接点方法如下：在接点处分别检查两段，若两段都有问题，则可断定点存在问题；若只有一段存在问题，则接点正常。设至少需要检查接点数为个，则最大值为 。（）三、解答题：15某仪器显示屏上每个指示灯均以红色或蓝色来表示两种不同信号，已知一排有个指示灯。求分别满足下列条件时，显示屏共能显示不同信号数种数。 （1）要求每次显示其中个，且恰好有个相邻同时显示； （2）要求每次显示其中个，且恰有个相邻同时显示。简解 （

18、1）或； （2）。16已知展开式中各项系数之和比各项二项式系数之和大。 （1）求展开式中二项式系数最大项； （2）求展开式中系数最大项。简解 由题意，（1）展开式中二项式系数最大项是，；（2）由解得为所求系数最大项。17甲、乙两人参加一次测试，已知在备选道试题中，甲能答对其中道题，乙能答对其中道题，规定每次测试都从备选题中随机抽取出题进行测试，至少答对题才算合格。（1）（文科）分别求甲、乙两人测试合格概率；（理科）求甲答对测试题数概率分布及数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人考试合格概率。简解 （1）（文科）甲合格概率为，乙合格概率为；（理科）所以。（2）两人中至少有一人合格概率为。18设

19、掷一颗均匀正方体玩具两次，此玩具六个表面分别刻有数字。（文科）求掷得点数之和小于概率。（理科）设为掷得点数差绝对值，求。简解 （文科）。 （理科）所以。19在个大小相同均匀球中，有白球个。 （1）不放回地逐个抽取个小球，求其中恰有个白球概率；（2）每次抽取后又放回地逐个抽取个小球，求其中恰有个白球概率。（3）（理科）每次抽取后又放回地逐个抽取个小球，求其中白球个数期望和方差。简解 ； 。20甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出概率为，被甲解出而乙解不出概率为。 （1）求该题被乙独立解出概率； （2）（文科）求恰有人能解出这道题目概率。（理科）求解出该题人数期望与方差。简解 （文科）。（理科）。11 / 11