概率论第1章作业题解

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1、一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假

2、设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：；(8) 在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：；1.2 设A，B，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;；(3) A,B,C 中至少有一个发生; ；(4) A,B,C 中恰有一个发生;；(5) A,B,C 中至少有两个发生; ；(6) A,B,C 中至多有一个发生;； (7

3、) A;B;C 中至多有两个发生;； (8) A,B,C 中恰有两个发生. ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3 设样本空间, 事件=, 具体写出下列各事件：(1) ; (2) ; (3) ; (4) （1） ； (2) =； (3) =; (4) = 1.4 用作图法说明下列各命题成立： 略1.5 用作图法说明下列各命题成立： 略1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由. 解：由于故，而由加法公式，有：1.7 若W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075, P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率：(1)

4、昆虫出现残翅或退化性眼睛;(2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛;(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：(2) 由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.1.8 设A 与B 是两个事件, P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。试问：(1) 在什么条件下P(AB) 取到最大值? 最大值是多少?(2) 在什么条件下P(AB) 取到最小值? 最小值是多少?解：(1) 由于，故显然当时P(AB) 取到最大值。 最大值是0.6.(2) 由于。显然当时P

5、(AB) 取到最小值，最小值是0.4.1.9 设P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件 A,B,C 中至少有一个发生的概率.解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.至少有一个发生的概率为：1.10 计算下列各题：(1) 设P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(AB) = 0.6, 求P(AB);(2) 设P(A) = 0.8, P(AB) = 0.4, 求P(AB);(3) 设P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3, 求P(B)。解：（1

6、） 通过作图，可以知道，（2） 1.11 把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3 概率各为多少？解：用表示事件“杯中球的最大个数为个” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有种，每种放法等可能。对事件：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432种，故 (选排列：好比3个球在4个位置做排列)。对事件：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故。1.12 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少? 解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“

7、3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为。同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是。1.13 在整数中任取三个数, 求下列事件的概率：(1) 三个数中最小的一个是5; (2) 三个数中最大的一个是5.解：从10个数中任取三个数，共有种取法，亦即基本事件总数为120。(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有种，故所求概率为。(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有种，故所求概率为。1.14 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球。现从这12

8、只乒乓球中随机地取出两只, 求下列事件的概率： (1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.解：分别用表示事件：(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则。1.15 已知，, 求解：由于，故1.16 已知,。 计算下列二式：(1) （2）解：（1） （2）注意：因为，所以。1.17 一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品。现从这20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率：(1) 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品;(2) 第三次才取到次品;(3) 第三次取

9、到次品.解：用表示事件“第次取到的是正品”（），则表示事件“第次取到的是次品”（）。(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：。(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：（3） 事件“第三次取到次品”的概率为：此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用表示事件“第次取到的是正品”（），则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：；而事件“第二次才取到次品”的概率为：。区别是显然的。1.18 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个

10、箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。解：用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则，根据全概率公式，有：1.19 一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子。已知一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%。假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率.解：设表示事件“所用小麦种子为等种子”，表示事件“种子所结的穗有50

11、 颗以上麦粒”。则，根据全概率公式，有：1.20 设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的2.5% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率。解：用表示色盲，表示男性，则表示女性，由已知条件，显然有：因此：根据贝叶斯公式，所求概率为：1.21 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95, 非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为0.01, 被试验者患有癌症的概率为0.005。若某人对试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率解：用表示对试验呈阳性反应，表示癌症患者，则表示非癌症患者，显然有：因此根据贝叶

12、斯公式，所求概率为：1.22 仓库中有10 箱同一规格的产品, 其中2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5 箱由丙厂生产, 三厂产品的合格率分别为95%; 90% 和96%.(1) 求该批产品的合格率;(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少?解：设，则（1） 根据全概率公式，该批产品的合格率为0.94.（2） 根据贝叶斯公式，同理可以求得，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：。1.23 甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次

13、, 他们击中目标的概率分别为0.7， 0.8 和0.9，求目标被击中的概率。解：记=目标被击中，则1.24 在四次独立试验中, 事件A 至少发生一次的概率为0.5904, 求在三次独立试验中, 事件A发生一次的概率.解：记=四次独立试验，事件A 至少发生一次，=四次独立试验，事件A 一次也不发生。而，因此。所以三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：。二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：（1）排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m

14、种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由mn 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有

15、如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于B。A、B中至

16、少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为，也可表示为或者，它表示A发生而B不发生的事件。同时发生：，或者。，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算： 结合律：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配律：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 对偶律： ，（7）概率的公理化定义设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1， 2 P()

17、=13 对于两两互不相容的事件，有常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件的概率。（8）古典概型1 ，2 。设任一事件，它是由组成的，则有P(A)= =（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=时，P()=1- P(B)

18、（12）条件概率定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，对事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，则有。（14）独立性两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有 若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P

19、(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。（15）全概公式设事件满足1两两互不相容，2，则有。（16）贝叶斯公式设事件，及满足1 ，两两互不相容，i=1，2，2 ，则，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。，（，），通常叫先验概率。，（，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了次试验，且满足u 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；u 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现k次的概率，。