泛函分析知识总结讲解

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1、泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性 算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、 线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。一、度量空间和赋范线性空间(一)度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间Rn (有限维空间)的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。1. 度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x, y,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1 d(x,y)N0，d(x,y)=0 o x=y (非负

2、性)2 d(x,y)= d(y,x)(对称性)3 对 V z，都有 d(x,y) Wd(x,z)+d(z,y)(三点不等式)则称d(x,y)是x、y之间的度量或距离(matric或distance)，称为(X,d) 度量空间或距离空间(metric space)。(这个定义是证明度量空间常用的方法)注意: 定义在X中任意两个元素x，y确定的实数d(x,y)，只要满足1、2、3都称 为度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来 描述X中两个事物接近的程度，而条件1、2、3被认为是作为一个度量所 必须满足的最本质的性质。度量空间中由集合X和度量函数d所组成，在同一个集合X

3、上若有两个不同的度 量函数d和d，则我们认为(X, d )和(X, d )是两个不同的度量空间。1212集合X不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间X,d) 中的元素为“点”，例如若x e X，则称为“X中的点”。 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d，而称“度量空间X” 。1.11离散的度量空间：设X是任意的非空集合，对X中任意两点x,yEX，令d(x， y)=1，当x丰y八业 ，则称（X，d）为离散度量空间。0,当 x=y1.12序列空间S： S表示实数列（或复数列）的全体，d（x,y） =党- i nii=12i 1 + |g 门1.13有界函数空间B（A）

4、： A是给定的集合，B（A）表示A上有界实值（或复值）函数全体，1.14对 B（A）中任意两点 x,y，定义 d（x,y） = sup |xQ） - y（t）|te A可测函数空间M（X） : M（X）为X上实值（或复值）的L可测函数全体。deJhiM_ x1 + |/ (t) g (t)dt1.15Ca,b空间（重要的度量空间）：Ca,b表示闭区间a,b上实值（或复值）连续函数全体，对Ca,b中任意两点x,y，定义d(x,y) = max x(t) y(t)|a t 0, 3 6 0 ,使对 X 中一切满足 d (x, %) 6 的 X,有 dT T X ) x (n T 8)时，必有 Tx

5、 Tx (n 3)。0n 0n0在映射中我们知道像与原像的概念，下面对原像给出定义。3.3原像的定义：映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射，称集合x | xGX,TxuMuY为集合M在映射T下的原像，简记为T-1M。可见，对于度量空间中的连续映射可以用定理来证明，也可以用原像的定义来证明。3.4定理2：度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射oY中任意开集M的原像T-1M是X 中的开集(除此之外，利用T -1 (M的补集)=(T-1M )的补集，可将定理中 开集改成闭集，定理也成立。)注：像开原像开，像闭原像闭，映射连续。在数学分析中有学过收敛点列，柯西点列，但研究都在R中。现在我们

6、可类似的给出度量空 间中柯西点列的概念。4. 柯西(Cauchy )点列和完备的度量空间。4.1柯西点列的定义：设X= (X, d)是度量空间，x是X中的点列，对V 0, 3正整 数 N=N( )，使当 n,mN 时，必有 d(x , x ) ，则称x 是X中的柯西(Cauchy)点列或基本点列。【会判断：柯西点列是有 界点列】我们知道实数集的完备性，同时在学习数列收敛时，数列收敛的充要条件是数列是 Cauchy列，这由实数的完备性所致。在度量空间中，这一结果未必成立。但在度量空间中 的确存在完备的度量空间。4.2完备的度量空间的定义：如果度量空间X d）中每一个柯西点列都在（X, d）中收敛

7、， 那么称（X, d）是完备的度量空间.但要注意，在定义中要求X中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点。4.3举例（记住结论）4.3.1有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但n维欧式空间Rn是完备的度量空间。4-3-2在一般度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯 - l 8 ,一、一，、一、一西点列：C、Ca,b、也是完备的度量空间。4.4定理 完备度量空间X的子空间M，是完备空间o M是X中的闭子空间。P a，b（表示闭区间a，b上实系数多项式全体，作为C a，b 的 子空间）是不完备的度量空间.5. 度量空间的完备化。5.1等距映射：设（X，d），（ X,d

8、）是两个度量空间，T是从X到X上的映射，即对.，_. 一一v x,y e X , d （Tx,Ty）=d（x,y）,则称 T 是等距映射。5.2定义：设（X，d），（X,d）是两个度量空间，如果存在一个从X到X上的等距映射T， 则称（X，d）和（X,d ）等距同构，此时T称为X到X上的等距同构映射。（像 的距离等于原像的距离）注：在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一的。5.2定理1 （度量空间的完备化定理）：设X= （X，d）是度量空间，那么一定存在完备度量 空间X= （X,d），使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同 构下是唯一的，即若（X，d）也是一个完备

9、的度量空间，且x与X的某个稠 密子空间等距同构，（X,d）与（X，d ）等距同构。（不需要掌握证明但是 要记住结论）5.2.1定理1的改述：设X= （X，d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间X = （ X,d），使X为X的稠密子空间。6. 压缩映射原理及其应用（重点内容，要求掌握并会证明）学习完备度量空间概念，就需要应用，而压缩映像原理是求解代数方程、微分方程、积 分方程，以及数值分析中迭代算法收敛性很好的工具，另外要学会如何求不动点。6.1压缩映射定义：X是度量空间，T是X到X的映射，如果存在一个数a，a e（0,1），使对 V x， y e X，d （Tx， Ty）Ma d （x，

10、y）则称 T 为压缩映射。6.2 （压缩映射定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且仅有一个不动点（即方程Tx=x，有且只有一个解）。（x是T的不动点o x是方程Tx=x的解）这个定理对代数方程、微分方程、积分方程、数值分析的解的存在性和唯一性的证明 中起重要作用。6.3压缩映射原理的应用：在众多情况下，求解各种方程的问题可以转化为求其某一映射的 不动点，现在以大家熟悉的一阶常微分方程（1）dy = / （工 y） dx为例来说明这一点。求微分方程满足初始条件y（%） = y的解与求积分方程（2）y( x) = y0 + jf (x, y(t )dtx0等价。我们做映射Ty(

11、 x) = y0 + jf (x, y(t )dtx0则方程（2）的解就转化为求y，使之满足 = y。也就是求这样的y，它经映射作用后仍变为y。因此，求解方程（1）就变为求映射T的不动点，这种求解方程变为求解映射的不 动点的做法在数学中是常用的。那么如何求解映射的不动点呢？在R中求方程解的逐次逼 近法给了我们启示。这种迭代原理是解决映射不动点问题最基本的方法。在解决上述问题中，看到实数完 备性的重要作用。代数方程、微分方程、积分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中成了一个 一般原理，即压缩映射原理，压缩映射原理就是某一类映射不动点存在性和惟一性问题，不动点可以通过迭代序列求出。注：（1）

12、从定理的证明过程中发现，迭代序列的初始值可任意选取，最终都能收敛到惟 一不动点。（2）该定理提供了近似计算不动点的误差估计公式，即，、一 anp （尤，尤）V p （Tx , x ）* n 1 a 0 0因为完备度量空间的任何子集在原有度量下仍然是完备的，所以定理中的压缩映射不需 要在整个空间x上有定义，只要在某个闭集上有定义，且像也在该闭集内，定理的结论依 然成立。在实际应用过程中，有时T本身未必是压缩映射，但T的若干次复合Tn是压缩映射， 这时T仍然有惟一不动点，下面是压缩映射原理的应用及相关证明。例1线性代数方程Ax =力均可写成如下形式x = Cx + D （3）其中C = （c ）

13、, D = （d ,d，,d ）T。如果矩阵C满足条件ij nxn1 2nE|c.| 1（i = 1,2,n）j=1则式（3）存在惟一解，且此解可由迭代求得。证明：取X = Rn，定义度量为p (&，门)=max |a b1i n 1& = (a ,a，a )T，门=(b ,b，,b )T12n12n构造映射T : X - X为Tx = Cx + D，那么方程（3）的解等价于映射T的不动点。对于x = (x ,x，x )T,y = (y ,y，y )T，由于12 n12np (Tx, Ty) = max1i n (cx. + d.j=1)一 (/+d)j=1=max1inc (x y ) ma

14、x c p (x, y)ij j j j=11in .,司j =1记a = max|c |，由条件a v 1，因此T是压缩映像，于是T有惟一不动点，所以方程（3） 1in j=1 ”有惟一解，且此解可由如下迭代序列X (k) = Cx (k -1) + D近似计算求得。例2考察如下常微分方程的初值问题(4)(5)半=/(x, y) dxy ( X 0) = y 0如果f (x, y)在R 2上连续，且关于第二元y满足Lipschitz条件，即f (x, yi)- f (X, y2)I 0是常数，则方程(4)在xo-8,xo +8上有惟一解(5 k)。证明：方程(4)的解等价于如下方程y(x)

15、= yo +fx f (t, y(t)dtxo的解。取连续函数空间Cxo-8,x0 +8，定义其上的映射T : Cxo -8,xo +8 Cxo -8,xo +8为(Ty)(x ) = y o+lf 出则积分方程(5)的解等价于T的不动点。对任意两个连续函数y(x)，y (x) e Cx -8,x +8， 由于P (Ty , Ty ) = maxjx f (t, y (t) - f (t, y (t) dt12父 e12xex。-8,x +8 xo maxjx |f (t, y1(t) - f (t, y2(t)dtxe xo-8 ,xo+8 x0 max Kj x|y (t) y (t )d

16、t 8 K p (y , y )xe xo -6, xo +8 x0 121 2令a = K8，则a v1，故T是压缩映射，从而T有惟一不动点，即积分方程(5)有唯一解，从而微分方程(4)在%-8,xo +8上有惟一解。例3设K(s, t)是定义在a,b x a,b上的二元连续函数，则对于任何常数人及任何给定的连续函数f (t) e Ca,b，如下Volterra型积分方程x (t)=人t K (s, t) x (s) ds + f (t)a存在唯一解。证明：取连续函数空间C a,其上定义映射T : C a, b - Ca, b为(Tx)(t) = jtK (s, t) x(s)ds + f

17、(t)a则方程(6)的解等价于T的不动点。由于K(s,.t)在a,b x a,b上连续，于是K(s,t)|在a, b x a, b有最大值，记为M，即M = maxK (s, t)：(s, t) g a, b x a, b对任何两个连续函数叩), X2(t)，由于|x |ft K (s, t) x (s) x (s) dsa12 |人 |M (t a ) maxa s bx 1 ( s ) X 2 (s )1=|X |M (t 一 a) p (x , x )(T 2 X 1)( t) (T 2 X 2)( t )|= h I，* ( s, tTX 1)( s ) 一 C 2)( s ) 仇 |

18、2 M 2 p (x , x ) jt (s a)dslXl2M2(t-a)2(x X) p ( X i, X 2 )一般地，对自然数n，归纳可得XIn M n (t a) n (TnXi)(t)-皿加n!P(XX 2)因此p (TnX , TnX ) = max (TnX )(t) (TnX )(t)|2a t b2|X|n M n (b a)nn!P (气,X2)X| nMn (b a) n满足n!注意到lim= 0，因此存在自然数nn!0ns人 no M n0(b - a)n0=a V 1n !这说明Tno是压缩映射，由压缩映射原理可知，有惟一不动点，亦即Volterra型积分方程(6)

19、 有惟一解。例4 (隐函数存在定理) 设函数f (x, y)在带状域a x b , s y s中处处连续，且处处有关于y的偏导数f(x, y)。如果存在常数m和M，满足 y0 V m f (x, y) M , m V M y则方程f 3, y) = 0在区间a,b上必有惟一的连续函数y =中作为解，即f 3,中(x)三 0, x g a, b证明：在完备空间Ca,b中作映射T，使对于任意的函数中g Ca,b，有四)(x) *(x) - M f (x,甲(x)按定理条件，f (x, y)是连续的，所以(四)(x)也是连续的，即T甲g Ca,b，故T是Ca,b到Ca, b的映射。现证T是压缩映射，

20、叫甲2 G Ca, b由微分中值定理存在0聂V 1使|(T甲)(x)- (T甲)(x)|=甲(x) -1 f (x，甲(x)-9 (x)+ 二 f (x，甲(x)212 M 21 M 1，、，、1 ，二92(x) -91(x) - M fy x, 91(x)+ (92(x) 一 91(x) . (92(x)-91(x)9 2( x)-91( x )|(1 - M)m 一 一m又0 V m V M所以0 1令以=1 一 ，则0 a 1,且MM2)(x) - (T%)(x)| a|92 (x) -91 (x)|按Ca,b中距离的定义，有P(T92,T91) a|p2(x)-也，所以T是压缩映像，存

21、在9 g Ca,b使T9=9，即9(x)三9(x)- 1 f (x,9(x)，即 1 f (x,9(x)三 0，所以MMf (x, 9 (x)三 0(a x 1)2.2.2其他:霍尔德 Horder(不等式)：bf (t) - g(t) dt f f网。闵可夫斯基不等式:JI(记住结论并会应用)二、有界线性算子和连续线性泛函1. 算子定义：赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y的映射，被称为算子，如果Y是数域，则被称为泛函。2. 线性算子和线性泛函2.1定义：设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间，D ()是X的线性子空间，T为D到Y中的映射，如果对任何x，y G D及数a，都有T (x+y)=

22、Tx+Ty (1)T(a x)=a Tx(2)则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为D (T)，TD称为T的值域 记为R (T)，当T取值于实(或复)数域时，称T为实(或复)线性泛函。2.2几种常见的线性算子和线性泛函的例子： 相似算子Tx=a x 当a =1时为恒等算子；当a =0时为零算子；d ,、 P0，1是0，1上的多项式全体，定义微分算子：(Tx)(t)=-x(t),dt若 t0E 0, 1,对 V xeP0, 1,定义/(X)=x(t0)则 / 是 P0, 1上的线性泛 函。 积分算子：xGCa, b Tx (t) =/ ；x (T ) d t由积分线性性质知T为线

23、性算子，若令f (x) = / ?x(T ) dT则f是Ca, b中的线性泛函 乘法算子：xECa, b Tx (t) =tx (t) Rn中的线性变换是线性算子3. 有界线性算子3.1定义：设X和Y是两个线性赋范空间，T是X的线性子空间D (T)到Y中线性算子， 如果存在常数c,使对所有x D (T),有：|Tx |Wc | x |,则称T是D (T) 到Y中的线性有界算子，当D (T) =X时，称T为X到Y中的线性有界算子，简 称为有界算子。否则，称为无界算子。3.2定理1：设T是线必性赋范空间X到线性赋范空间Y中的线性算子，则T为有界的充要 条件是T是X上的连续算子。(重要定理要会证明)

24、3.3定理2：设X是线性赋范空间，f是X上线性泛函，f是X上连续泛函的。f的零空间N ( f )是X中的闭子空间。(重要定理要会证明)(若f为有界线性算子，则结论不成立，同时这也是证明泛函连续常用的方法。)3.4扩展3.4.1 |TX|C|X|，则T是有界线性算子。3.4.2定理：T为有界算子o T是X上的连续算子(证明有界方法：II T IIV8定义法定理法)3.4.3例子：(TX) (t) =j bR(t ,T ) d T 有界； a（TX） （t）= ?（X （t）无界。（记住结论）dx联系：只有X、Y是两个赋范线性空间，并且满足一定条件下，才能形成T是有界线性算子4. 共轭空间4.1定

25、义：连续线性泛函全体所成的空间为共轴空间，4.2性质：任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。当Y是巴拿赫（Banach）空间时，（X-Y）也是巴拿赫Banach空间。（注：巴拿赫Banach空间是完备的赋范线性空间）4.3例子：（记住结论） （li） = 18 但（/8）a 11 ；同样，（Li） =L但（L）丰 L （2） = Lq,其中+ =1p q （12） = 12联系：共轭空间是线性泛函和赋范线性空间的基础上形成的，因此共轭空间是它们的后续。全部知识的联系：度量空间映射线性泛函；线性空间赋范线性空间有界线性算 子和连续线性泛函共轴空间。完备化的有（完备的度量空间和完备的 赋范线性空间即巴拿赫空间）。从以上的知识可以知道一般情况下证明的 有定义及定理，计算就大约只有求范数并且一般都是证明左右互相包含即 可。参考文献：1程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石.实变函数与泛函分析基础M. 北京：高等教育出版社，2010，（3）.2孙清华，侯谦民，孙昊.泛函分析内容、方法与技巧M.湖北：华中科技大学出版社，2006，（3）.3王宗尧，薛以锋，钱张军.应用泛函分析M.上海:华东理工大学出版社，2002.4李大华.应用泛函简明教程M.湖北：华中科技大学出版社，1999, （4）.