常微分方程和差分方程

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1、第十章 常微分方程和差分方程在实际问题中，我们研究的对象变量往往是以函数关系的形式建立了变量间的客观联系，但却很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，反而更容易建立这些变量、它们的导数或微分之间的关系，即得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，我们称此方程为微分方程.通过求解这样的微分方程，我们同样可以建立所研究的变量之间的函数关系，这样的过程称为解微分方程.现实世界中的许许多多问题都可以在一定的条件下抽象为微分方程，例如人口的增长问题、经济的增长问题等等都可归结为微分方程的问题；这时的微分方程习惯上称为所研究问题的数学模型，如人口模型、经济增长模型等.因此微分方程是数学联系实际并应用于实际的

2、重要途径和桥梁，是数学及其他学科进行科学研究的强有力的研究工具. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系.我们在这一章主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的一阶、二阶微分方程的求解方法，线性微分方程的解的理论及求解方法.但是在经济管理和许多的实际问题中已知的数据大多数是按等时间间隔周期统计的，因而相关变量的取值是离散变化的.如何寻求它们之间的关系及变化规律呢？差分方程是研究这样的离散型数学问题的有力工具，本章在最后介绍差分方程的一些基本概念及常用的求解方法.10.1 微分方程的基本概念先看一个例子.例1设有某种新产品要推向市场，时刻的销量为，由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品

3、，因而时刻产品的销售的增长率与成正比；同时考虑到市场的容量是有限的，假设市场的容量为，统计数据表明与尚未购买产品的潜在顾客的数量也成正比；则可建立如下的微分方程：，其中为比例系数.可以求出该微分方程的解为，其中为积分常数.10.1.1 微分方程的概念含有自变量、自变量的未知函数及未知函数的（若干阶）导数或微分的方程称为微分方程.如果未知函数是一元的，通常称此方程为常微分方程；如果未知函数是多元的，通常称此方程为偏微分方程.本书中只讨论常微分方程.10.1.2 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶的阶数称为微分方程的阶.例如：，是一阶的微分方程；是三阶微分方程.微分方程中未知

4、函数的导数或微分的最高阶数是一阶，称此方程为一阶微分方程，记为或；微分方程中未知函数的导数或微分是二阶及以上，称此方程为高阶微分方程.因此一般的阶微分方程可表示为或.10.1.3 微分方程的解若把函数代入微分方程使微分方程恒成立，则称是该微分方程的一个解.例如：，（是任意常数）都是微分方程的解. 微分方程的通解、特解把含有与微分方程的阶数相同个数的独立的任意常数(即：它们不能合并而使得任意常数的个数减少)的解称为该微分方程的通解；不含任意常数的微分方程的解称为该微分方程的特解.例如： （是任意常数）是微分方程的通解，是微分方程的通解；而，是微分方程的特解，是微分方程的特解. 微分方程的通解与特

5、解的关系微分方程的通解通过一定的条件确定其中的每一个任意常数的数值，这时的微分方程的解即为特解；确定每一个任意常数的值的条件称为微分方程的初始条件；微分方程与初始条件合称微分方程的初始问题.例如是微分方程的通解；加上条件，可确定，从而得到是微分方程的特解；其中条件，是微分方程的初始条件；把称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线,称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线,特解是这一族积分曲线中的某一条积分曲线.初值问题的几何意义就是求微分方程满足初始条件的拿条积分曲线.例2 验证 (1)是微分方程 (2)的解.解 因为,故而成立.函数(1)及其导数代入微分方程(2)后成为一

6、个恒等式，因此函数(1)是微分方程(2)解.例3 已知函数(1)是微分方程(2)通解，求满足初始条件，的特解.解 将，代入例1的的表达式得，即，解得，；故所求特解为.10.2 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为 (1)如果从(1)中能解出，则一阶微分方程可表示为 (2)一阶微分方程有时也可以写成如下的形式 (3)如果一阶微分方程为或；则只需等式两边积分即得但并非一阶微分方程都可以如此求解的，比如，就不能像上面所述的求法，原因是方程右端含有未知函数，积分求不出来.为了解决这个困难，在方程的两端同乘以，使方程变为 .这样，变量与被分离在等式的两端，然后两端积分得如此得到的函数是原来的微分方程的解

7、吗?(读者自己验证).本节中将介绍几种特殊类型的一阶微分方程及其解法.一、可变量分离的微分方程与分离变量法形如 (4)的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程.求解方法：首先分离变量，即把与分别移到方程的两端：再两端分别求积分即可求得微分方程的通解，其中是任意常数.注意：(1)在移项时才可以；如则不妨设是的零点，即，代入原方程可知常数函数显然是方程(4)的一个特解.(2)在上述的通解表示式中，与表示的是一个原函数，而不是不定积分；两个不定积分中出现的任意常数归并在一起记为C.例1 求微分方程的通解.解 分离变量可得两端分别求积分得到通解即其中C是任意常数.通解也可写为，其中C是任意常数.例2 求

8、微分方程的通解.解 合并同类项得(1)如果，分离变量得积分得其中是任意常数.去对数得方程得通解为其中是一个正的任意常数().例3 设一曲线经过点，它在两坐标轴间的任一切线段被切点所平分，求这一曲线的方程.解 设所求的曲线方程为，则曲线上任一点处的切线方程为由已知，当时，代入上式即得到所求曲线应满足的微分方程及初始条件此方程为可分离变量的微分方程，易求得通解为又因，则，故所求的曲线为.二、齐次方程如果一阶微分方程中的函数可以变为的函数，即微分方程为的形式，习惯上称这样的微分方程为齐次方程.例如方程就是齐次方程，因为我们可以把此方程化为.要求出齐次方程的通解，我们可以用变量代换的方法.设齐次方程为

9、 (5)假设，则可以把齐次方程(5)化为可分离变量的微分方程.因为，则，代入方程(5)可把原方程变为即分离变量得等式两端积分得.记为得一个原函数，再把代入，则可得方程(5)的通解为，为任意常数.例4 解方程.解 原方程可变为显然是齐次方程.故令，则，于是原方程变为即再分离变量，得两端积分，得即，以代换上式中的便得到原方程的通解为注记:齐次方程的求解实质是通过变量替换，将方程转化为可分离变量的方程.变量替换法在解微分方程中，有着特殊的作用.但困难之处是如何选择适宜的变量替换.一般来说，变量替换的选择并无一定之规，往往要根据所考虑的微分方程的特点而构造.对于初学者，不妨多试一试，尝试几个直接了当的

10、变量替换.例5 求微分方程的通解.解 令,则，原方程化为 即两端积分，得把用换回，得原方程的通解为三、一阶线性微分方程方程 (6)称为一阶线性微分方程，因为它对于未知函数及其导数是一次方程.如果方程(6)中的，则把此时的方程(6)称为齐次的；如果不恒等于零，则把方程(6)称为非齐次的. 设方程(6)是非齐次的微分方程，为求出其通解，首先我们讨论(6)式所对应的齐次方程 (7)的通解问题.显然这是一个可分离变量的方程，分离变量得 两端积分，得或 ，(其中)这是方程(6)对应的齐次线性微分方程(7)的通解.现在我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程(6)的通解.此方法是将方程(7)的通解中的常

11、数换成的未知函数，即作变换 （8）假设(8)式是非齐次线性方程(6)的解.则如果能求得是什么问题也就解决了. 为此两边求导得 (9)将(8)式和(9)式代入方程(6)，得 即将上式代入(8)式得到非齐次线性微分方程(6)的通解为 (10)注意：公式(10)中的不定积分和分别理解为一个原函数.将(10)式写成如下两项之和不难发现：第一项是对应的齐次线性方程(7)的通解；第二项是对应的非齐次线性方程(6)的一个特解(在(6)的通解(10)中取即得此特解).由此得到一阶线性非齐次微分方程的通解之结构为对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和.例6 求方程的通解.解 这是一个非齐次线

12、性微分方程，由公式（10）得 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次微分方程，求解它只需套用公式（10）即可，当然也可以用常数变易法进行求解.例7 求微分方程的通解（设）.解 如将上述方程变形为则显然不是线性微分方程.如果将方程改写为即这是一个把当因变量而当自变量的形如 (11)的一阶线性微分方程；用公式可直接得到通解为 (12) 故本问题的通解为积分得. 四、伯努利方程形如 (13)的微分方程称为伯努利方程，其中为常数，且.伯努利方程是一类非线性微分方程，但通过适当的变换就可以把它转化为线性的微分方程.在(13)式的两端除以，可得或于是令，就得到关于变量的一阶线性微分方程利用线性

13、微分方程的求解公式，再把变量换回原变量可得伯努利方程（13）的通解为.例8 求方程的通解解 方程两端除以，令，则原方程可变为再由线性微分方程的求解公式可得再把变量换回原变量，可得原方程的通解为四、一阶微分方程在经济上的应用的实例例9 （新产品推广模型）设某产品的销售量是时间的可导函数，如果该产品的销售量对时间的增长速率与销售量及销售量接近于饱和水平的程度之积成正比(为饱和水平，比例常数为)，且当时.求：(1) 销售量，(2) 销售量的增长最快的时刻.解 1.由题意可建立如下的微分方程：，()此方程为可分离变量的微分方程，分离变量得两端积分，得从中解出，得由得，故可得2.对求一阶、二阶导数得令，

14、得.当时；当时.故而当时增长的速度是最快的.注：习惯上把，()称为Logistic方程，该方程的解曲线称为Logistic曲线.在经济学、生物学等中常遇到这样的变化规律.例10 （人才分配模型）每年的大学毕业生（含硕士、博士研究生）中都要有一定比例的人员充实教师队伍，其余的从事科技管理方面的工作.设年时教师人数为，科技管理人员人数为，又设一个教师每年平均培养个毕业生，又每年退休、死亡或调出人员的比例为，每年毕业生中从事教师职业的比率为，则根据已知可建立如下的微分方程 (14) (15)方程(14)是可分离变量的微分方程，易解得其通解为设，则；得(13)的特解为将上式代入(15)式得这是一个一阶

15、线性微分方程，可求得其通解为设，则；故得(14)的特解为.若取，即毕业生全部充实教师队伍，则当时，而，此时表明教师队伍将迅速增加，但科技管理队伍将不断萎缩，必然会影响经济的发展.若取，即毕业生很少充实教师队伍，则当时，且，此表明若不保证适当的比例的毕业生充实教师队伍，必将影响人才的培养，最终会导致两支队伍全面的萎缩.因此选择好比例十分重要.10.3 可降阶的二阶微分方程对于二阶微分方程在某些情况下可通过适当的变量代换，把二阶的微分方程转化为一阶的微分方程，习惯上把具有这样性质的微分方程称为可降阶的微分方程.其相对应的求解方法自然地称为降阶法.下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程.一、型的

16、微分方程微分方程 (1)的右端仅含有自变量，求解时只需把方程(1)理解为，对此式两端积分，得同理，对上式两端再积分，得此方法显然可推广到阶.例1 求微分方程的通解.解 对给定的方程两端连续积分两次，得例2 求微分方程满足的特解.解 对给定的两端积分两次，得由初始条件，得.由初始条件，得.故原方程满足初始条件的特解为二、型的微分方程方程 (2)的典型特点是不显含未知函数，求解方法：作变量代换，则，原方程可化为以为未知函数的一阶微分方程设此方程的通解为，得再方程两端积分，得.例3 求微分方程的通解.解 显然该方程不显含有未知函数，故令，则，于是原方程化为即两端积分，得即或两端积分，得原方程的通解为

17、.例4 求微分方程满足的特解.解 显然该方程为型，故令，则，于是原方程化为这是一阶线性微分方程，易解得或因，得0，即两端积分，得又因，可得原方程满足初始条件的特解为三、型的微分方程该方程 (3)类型的特点在于不显含自变量,求解方法：令，利用复合函数求导法则把转化为因变量的函数，即故方程(3)变为 此方程为关于的一阶微分方程.如能求出它的通解不妨设为或此方程是一个可分离变量的微分方程，易得原方程的通解为.例5 求微分方程的通解.解 显然该方程为型，故令，则，代入原方程得即(1) 如果且，则方程两端约去及同除，得两端积分，得即或再分离变量并积分，可得原方程的通解为. (2) 如果或，即(为任意实数

18、)是原方程的解(又称平凡解)，其实已包括在(1)的通解中(只需取).10.4 二阶线性微分方程解的结构在应用问题中较多遇到的一类高阶微分方程是二阶线性微分方程，它的一般形式为 (1)其中为已知的的函数.当方程右端函数时，方程(1)称为二阶齐次线性微分方程，即 (2)当方程右端函数时，方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程.本节中主要讨论二阶线性微分方程解的一些性质，这些性质还可以推广到阶线性微分方程.定理1 如果是方程(2)的两个解，则 (3)也是方程(2)的解，其中为任意实数.(读者自证)此性质表明齐次线性微分方程的解满足叠加原理，即两个解按(3)式的形式叠加起来仍然是该方程的解；从定理1的结

19、果看，该解包含了两个任意常数和，但是该解不一定是方程(2)的通解.例如二阶线性微分方程，不难验证都是方程的解，但其形式的解，这显然不是方程的通解(由通解的定义即可知道). 那么满足何条件下的(3)式形式的解才是方程(2)的通解呢？事实上，是二阶线性微分方程的解，可以验证也是方程的解，那么两个解的叠加是方程的通解. 比较一下，容易发现前一组解的比，是常数，而后一组解的比，不是常数. 因而在是方程(2)的两个非零解的前提下，如果为常数，则不是方程(2)的通解(事实上是相关联的)；如果不为常数，则是方程(2)的通解(事实上是不相关联的).为了解决这个问题，我们引入一个新的概念，即函数的线性相关与线性

20、无关的概念:设是定义在区间内的两个函数，如果存在两个不全为零的常数，使得在区间内恒有成立，则称此两个函数在区间内线性相关，否则称线性无关. 显然如果是常数，则线性相关；不是常数，则线性无关.据此我们有以下齐次线性微分方程的解的结构定理：定理2 如果是方程(2)的两个线性无关的特解，则 就是方程(2)的通解，其中为任意实数.下面我们来讨论二阶非齐次微分方程的解的结构.在一阶线性微分方程的讨论中，我们已知道一阶线性非齐次微分方程的通解之结构为对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和，那么二阶及以上的线性微分方程是否也有这样解的结构呢？回答是肯定的.定理3 如果是方程(1)的一个特

21、解，且是其相应的齐次方程(2)的通解，则 （4）是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.证 将(4)式代入方程(1)的左端，得因为是方程(1)的解， 是方程(2)的解，可知上式中的第一个中括号内的表达式恒为，第二个中括号内的表达式恒为零,即方程(1)的左端等于，与右端恒相等.故(4)式是方程(1)的解.又因为是其相应的齐次方程(2)的通解，由定理2知其包含两个任意常数，因而也包含两个任意常数，从而得知是方程(1)的通解例如，方程是二阶非齐次线性微分方程，其相应的齐次方程的通解为，又容易验证是方程的一个特解，因此是方程的通解.在求解非齐次线性微分方程时，有时会用到下面两个定理.定理4 如果分别是方

22、程的特解，则是方程的特解.这一定理的证明较简单，只需将代入方程便可验证。这一结论告诉我们欲求方程特解，可分别求与的特解和，然后进行叠加.定理5 如果分别是方程的解，其中为实值函数，为纯虚数.则分别为方程与的解.证 由定理的假设，得即由两复数必有等式两端的实部与虚部分别相等，得.最后指出，在本节中我们仅讨论了二阶线性齐次(非齐次)微分方程的通解之结构，尚未给出求解二阶线性微分方程的方法，在下面两节中将对较特殊的二阶齐次（非齐次）线性微分方程的通解的求法加以讨论.10.5 二阶常系数线性微分方程由二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题关键在于：如何求得二阶齐次方程的通解和非齐次方程的

23、一个特解；本节将讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其解法.把具有形式 (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程，其中其中是常数. 把具有形式 (2)的方程称之为二阶常系数齐次线性方程.一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法我们已经知道要得到方程(2)的通解，只需求出它的两个线性无关解与，即常数，那未 就是方程（2）的通解.我们先分析方程（2）可能具有什么形式的特解.从方程的形式看，方程的解及、各乘于常数的和等于零，意味着函数及、之间只能差一个常数，在初等函数中符合这样的特征的函数很显然是（为常数）.于是假设是方程（2）的解（其中为待定常数），则有，代入方程（2）中，得因，

24、从而有 （3）由此可见，只要满足代数方程（3），函数就是微分方程（2）的解。我们把该代数方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程,并称特征方程的两个根为特征根.根据初等代数的知识可知，特征根有三种可能的情形，下面分别讨论. 1. 特征方程（3）有两个相异的实根.此时特征方程满足，它的两个根可由公式求出，则与均是微分方程（2）的两个解，并且不是常数，因此微分方程（2）的通解为 （4）其中为任意常数.2. 特征方程（3）有两个相等的实根.此时特征方程满足，特征根.这样我们只得到微分方程（2）的一个解 ，为了得到方程的通解，我们还需另求一个解，并且要求 常数（即与线性无关）。故而可设 （为待定函数），

25、即 ，现在只需求得。因是微分方程（2）的解，故对求一、二阶导数，得将代入微分方程（2），得约去，整理得因是特征方程的二重根，则且于是可得到满足的不为常数的解，因而得到了微分方程（2）的另一个特解，且与无关.至此我们得到微分方程（2）的通解为 (5)其中为任意常数.3.特征方程有一对共轭复根：此时，设一对共轭复根为，其中 ，.因此是微分方程（2）的两个解，根据齐次方程解的叠加原理，得也是微分方程（2）的解，且常数（即与线性无关），因而微分方程（2）的通解为 (6)其中为任意常数.综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下:第一步 写出微分方程(2)的特征方程, 第二步 求出特征方程的

26、两个根,第三步 根据特征方程的两个根的不同情形，依下表写出微分方程(2)的通解。特征方程的两个根 微分方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根 一对共轭复根 例1 求微分方程 的通解. 解 所给微分方程的特征方程为解此方程得两个不同的实根为 ，因此微分方程的通解为 其中为任意常数.例2 求微分方程的通解.解 所给微分方程的特征方程为解此方程得两个根为 ，因此微分方程所求通解为其中为任意常数.例3 求微分方程满足初始条件的特解.解 所给微分方程的特征方程为解此方程得两个根为 ，因此微分方程所求通解为因，得；又因，得，于是所求的特解为二、二阶常系数非齐次线性微分方程及其解法由第四节可知，方程 (1

27、)的通解的结构为相应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和；我们刚解决了二阶常系数齐次线性方程通解的求法，因而现在只需讨论如何求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的方法。方程（1）的特解的形式显然与右端的函数有关，而且对一般的函数来讨论方程（1）的特解是非常困难的，在此我们只对两种常见的情形进行讨论. 类型1. 型在中，是常数，是的一个次多项式，即由于右端函数是指数函数与次多项式的乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这一类型的函数，因此我们推测方程（1）的特解也应是(其中是待定的某个次数的多项式)把其代入方程（1）中，得约去，整理得 （7）于是根据是否为方程(1)的特征方程

28、的特征根有以下三种情形：(1) 如果，即不是特征方程的根.由于是一个次多项式，欲使（7）式的两端相等，那么必是一个次的多项式，可设为 （8）将(8)代入(7)式，比较等式两端的同次幂的系数，可得到含有的未知数的个线性方程组，解此方程组可得到这个待定的系数，最后得到特解 (9)(2) 如果，且，即是特征方程的单根.由于是一个次多项式，欲使（7）式的两端相等，那么必是一个次的多项式，故可设用情形（1）相同的方法可得到次的多项式中的个待定的系数，得到特解为 (10)(3) 如果，且，即是特征方程的二重根.由于是一个次多项式，欲使（7）式的两端相等，那么必是一个次的多项式，故可设用情形（1）相同的方法

29、可得到次的多项式中的个待定的系数，于是特解为 (11)综上所述，可总结此类型的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法待定系数法.结论1 如果方程(1)的右端函数，其中是常数，是的一个次多项式，则方程(1)具有形如的特解，其中是与同次的一个次多项式，而的取值如下来确定：如果不是特征方程的根，取；如果是特征方程的单根，取；如果是特征方程的重根，取.例4 下列微分方程具有样形式的特解？（1）； （2）；（3）.解 三方程都是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数类型是.（1）因不是其相应的齐次微分方程的特征方程的根，故方程具有形如的特解；（2）因是其相应的齐次微分方程的特征方程的单根，故方程具有

30、形如的特解；（3）因是其相应的齐次微分方程的特征方程的重根，故方程具有形如的特解；例5 求微分方程 的通解.解 该微分方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数类型是，故只要先求相应齐次的通解及非齐次的一个特解即可. 该方程相应的齐次方程为，它的特征方程为 它的两个根为，则该方程相应的齐次方程的通解为因为方程右端函数中的，是特征方程的单根，所以可设原方程的一个特解为将及其一阶、二阶导数代入原方程，消去；或记，把及其一阶、二阶导数代入（7）式，再化简整理，得 比较该等式两端同次幂的系数，得解得.这样,原方程的一个特解为从而，得到原方程的通解为其中为任意常数.例5 求微分方程满足初始条件的特解

31、.解 该方程相应的齐次方程为，它的特征方程为 它的两个根为，则该方程相应的齐次方程的通解为因为方程右端函数中的，是特征方程的单根，所以可设原方程的一个特解为将及其一阶、二阶导数代入原方程，消去；或记，把及其一阶、二阶导数代入（7）式，再化简整理，得 .所以原方程的一个特解为从而，得到原方程的通解为其中为任意常数.因，可得解得.所以原方程满足初始条件的解为.类型2. 或型对于此种类型的二阶常系数非齐次线性微分方程，即要求形如 (12) (13) (14)这样的方程的特解.由欧拉公式知道，(12)式与(13)式的右端函数是的实部和虚部，如果我们求出了方程 (15)的一个特解，不妨设为，由第四节定理

32、5可得方程(12)与方程(13)的一个特解分别为和，即方程(15)的特解的实部就是方程(12)的特解，方程(15)的特解的虚部就是方程(13)的特解对应方程(14)只需利用第四节的定理4即可求出该方程的特解，具体方法：先把方程(14)的右端函数化为函数与之和，由定理4可知方程(14)的特解是方程 (16)的特解与方程 (17)特解之和，而方程(16)、方程(17)的特解求法完全与方程(12)、方程(13)相类似讨论至此，我们只需求出方程 (15)的特解即可，参考类型1即得具体方法.结论2 如果方程的右端函数为，其中是实常数，是的一个次实系数多项式，则方程(15)具有形如的特解，其中是与同次的一

33、个次多项式，而的取值如下来确定：如果不是特征方程的根，取；如果是特征方程的单根，取.结论3 如果方程的右端函数为其中是实常数，、是的一个次、次实系数多项式，则方程(15)具有形如的特解，其中、是的次多项式，其中而的取值如下来确定：如果（或）不是特征方程的根，取；如果（或）是特征方程的单根，取.例6 求 的通解.解 （1）先求本题方程相应齐次方程的通解本题方程相应齐次方程的特征方程为故特征根为，所以本题方程相应齐次方程的通解为（2）再先求原方程的一个特解为求原方程的特解，我们先求方程 (16)的特解，再取该方程特解的实部解即为原方程的特解. 因不是特征方程的根，故设方程(16)的特解为将及其一阶

34、、二阶导数代入原方程，消去；或记，把及其一阶、二阶导数代入（7）式，再化简整理，得比较等式两端同次幂的系数，得解得.这样,方程（16）的一个特解为 从而，得到原方程的一个特解为（3）原方程的通解为其中为任意常数.例7 求 的通解.解 （1）先求本题方程相应齐次方程的通解本题方程相应齐次方程的特征方程为故特征根为，所以本题方程相应齐次方程的通解为（2）再先求原方程的一个特解为求原方程的特解，我们先求方程 (17)和 (18)的特解，为求方程(18)的特解我们先求方程 (19)的特解，再取该方程特解的虚部解即为方程（18）的特解. 因为不是特征方程的根，故设方程(17)的特解为代入方程（17），得

35、（也可直接观察得到）. 因不是特征方程的根，故设方程(19)的特解为将其代入方程（19），消去；或记，把及其一阶、二阶导数代入（7）式，再化简整理，得故方程（19）的特解为取其虚部解即为方程（18）的特解为从而，得到原方程的一个特解为（3）原方程的通解为其中为任意常数.10.6 差分方程 到现在为止，我们所研究的变量基本上属于连续变化的类型.但在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的.例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等.这些量也是变量，通常称这一类的变量为离散型变量.描述离散型变量之间的变化关系

36、的数学模型称为离散型模型.对离散型模型求解就可以得到离散型变量的运行规律.差分方程是研究经济学和管理科学等学科中的一种最常见的离散型模型.本节将介绍差分方程的基本概念、差分方程的解的概念等，差分方程解的基本定理及其一阶常系数线性差分方程的解法等等；与微分方程的基本概念、微分方程的解的概念，微分方程解的基本定理及其解法非常类似，可仿照微分方程的知识学习本节内容。 差分的概念及性质设因变量是自变量的函数，如果函数是连续且可导的，则因变量对自变量的变化率可用来刻画；但对离散型的变量我们不可能再用来刻画，这是常用在规定时间上的差商来刻画的变化率.如果选择（往往代表一个月、一年等），则可以近似代表变量的

37、变化率.定义1 设函数，简记为，即；自变量取离散的等间隔正整数值时相应的函数值可以排列成一个序列当自变量由改变到时，相应的函值之差称为函数在点的一阶差分，简称差分，记作，即注释：由于函数的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是该序列的相邻两值之差.当函数的一阶差分为正值时，表明该序列是增加的，而且差分值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的.例如：设某公司经营一种商品，第月初的库存量是时间的函数=，第月调进和销出该商品的数量分别是和，则到下个月的月初，即第个月的月初的库存量就是则库存量的差分为.例1 已知（为常数），求.解 由差分的定义=可得常数的差分为零.例2

38、已知（其中且），求.解 由差分的定义=可得指数函数的差分等于该指数函数乘于一个常数.由一阶差分的定义，容易得到差分的四则运算法则（1）；（2）；（3）；（4）；=在此仅给出(4)式的证明，其余的读者可以自己证明. =类似可证由一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分.定义2 函数在的一阶差分的差分称为函数在的二阶差分，记作，即 依次可定义函数在的二阶差分的差分为函数在的三阶差分，记作，即 依此类推，函数在的阶差分定义为 上式表明，函数在的阶差分是该函数的个函数值的一个线性组合.例3 设，求，.解 由定义即得 一般地，次的多项式函数的阶差分为常数，次的多项式函数的阶以上的差分则为零.例4

39、设，求.解 由差分的运算法则，得 10.6.2 差分方程的基本概念先看一个实例.设是初始存款（时的存款），年利率，如以复利计息，试确定年末的本及利之和.在此问题中，如将时间（以年为单位）看作自变量，则本利和是的函数：，即问题所求.虽然不能直接写出函数，但由常识可以得出相邻两个函数值之间的关系式， （1）如用在的差分来表示，则上式可变为， （2）由（1）式可算出年末的本利和为， （3）在（1）式和（2）式中，因含有未知函数，所以都是函数的方程；又因在方程（1）中含有两个未知函数的函数值和，在方程（2）中含有未知函数的差分，像这样的函数方程即为差分方程.在方程（2）中，仅含未知函数的函数值的一阶差

40、分；在方程（1）中，未知函数的下标最大值与最小值的差为，即，因而方程（1）或方程（2）为一阶差分方程.（3）式是在之间的函数关系式，就是所求的未知函数，它显然满足差分方程（1）或（2），故称此函数为差分方程的解.定义3 含有未知函数的差分或含有自变量及几个不同点的未知函数值的方程，称为差分方程.差分方程中实际所含差分的最高阶数或未知函数下标的最大值与最小值的差数，称为差分方程的阶数.如 是一个差分方程；另一方面，由函数差分的定义，任意阶函数的差分都可以表示为函数在不同点的函数值的线性组合，因此上述差分方程又可分别表示为和.此方程为二阶差分方程.阶差分方程的一般形式可表示为 （4）或 （5）或

41、（6）定义4 若把一个函数代入差分方程使其成为恒等式，则称该函数为差分方程的解.含有相互独立的任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称此解为差分方程的通解.用来确定差分方程的通解中任意常数的条件称为初始条件.通解中的任意常数被初始条件确定，这样的解称为差分方程的特解.例如对于差分方程，将代入该方程使其恒成立，因而是该方程的解；容易看到（为任意常数）也是该方程的解，且为通解；如该方程需满足条件（初始条件），则可确定，此时是该方程满足初始条件的一个特解. 线性差分方程解的基本定理现在我们来讨论线性差分方程解的基本定理，将以二阶线性差分方程为例，任意阶线性差分方程都有类似结论.二阶线性差分方程的一般

42、形式 （7）其中，和均为的已知函数，且.若,则（7）式称为二阶非齐次线性差分方程；若，即 （8）称为二阶齐次线性差分方程. 对于线性差分方程易得到以下的结论：定理1 若函数，是二阶齐次线性差分方程（7）的解，则也该方程的解，其中、是任意常数.定理2(齐次线性差分方程解的结构定理) 若函数,是二阶齐次线性差分方程（8）的线性无关的特解，则是该方程的通解，其中、是任意常数.定理3（非齐次线性差分方程解的结构定理） 若是二阶非齐次线性差分方程（7）的一个特解，是齐次线性差分方程（8）的通解，则差分方程（7）的通解为定理4 (解的叠加原理) 若函数，分别是二阶非齐次线性差分方程与的特解，则是差分方程的

43、特解.10.6.3 一阶常系数线性差分方程的解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为 （9）其中常数，为的已知函数；当不恒为零时，（9）式称为一阶常系数非齐次线性差分方程；当时，即 （10）称为方程（9）对应的一阶常系数齐次线性差分方程.下面给出它们的解法.一、一阶常系数齐次差分方程的解法对于一阶常系数齐次差分方程（10），常用的解法有两种：1.迭代法假设已知，则由方程（10）依次可得 于是可得，如令是任意常数，则方程（10）的通解为1. 特征根法注意到方程（10）的特点，即是的常数倍，而函数恰好满足这一特点.故不妨设方程（10）具有形如的特解，其中是非零待定常数.将其代入方程（10）中，有即因

44、，因此是方程（10）的解的充要条件为.所以一阶常系数线性齐次差分方程（10）的非零特解为.从而其通解为 （为任意常数）称一次代数方程 （11）为差分方程（9）或（10）的特征方程；而称为特征方程的根（简称特征根或特征值）.由上可知，要求方程（10）的通解，只需先写出其特征方程，求出特征根，即可写出其通解了.例5 求解差分方程.解 设，是任意常数,则 于是可得原方程的通解为 （是任意常数）例6 求差分方程满足初始条件的解.解 原方程可改写为，其特征方程为；特征方程的根为，故原方程的通解为 （是任意常数）将初始条件代入，得；故所求特解为二、一阶常系数非齐次差分方程的解法由定理3可知，一阶常系数非齐

45、次差分方程（9）的通解为该方程的一个特解和相应的齐次方程的通解之和.因相应齐次差分方程的通解已经解决，因此只需讨论非齐次差分方程的特解的求法即可.1.为一般函数此时，非齐次差分方程可写作利用迭代法，可得上式实际是非齐次差分方程的通解，其第一项是相应齐次差分方程的通解，第二项是非齐次差分方程的一个特解. 令是任意常数，则该非齐次差分方程的通解为 （为任意常数） （12）例7 求差分方程的通解.解 由于，；由通解一般式（12）得，该方程的特解为故而所求通解为其中为任意常数. 对非齐次差分方程的右端项是某些特殊函数时，用待定系数法求其特解会比较方便.2. 型其中为的次多项式，此时方程为 （13）因，

46、上式可化为观察这一等式我们可发现，等式的右端是一个次多项式，左端为函数的一阶差分与函数的代数和，则也应该是一个多项式函数（因为当是次多项式时，是次多项式）.则可变因素不外乎有两种：其一，即1不是该方程的特征方程的根，则方程（13）的解也应该是一个次多项式，故可设方程的特解为把其代人原方程，比较等式两边的系数，可求得.其二，即1是该方程的特征方程的根，这时，则方程（13）的解应该是一个次多项式，可设方程的特解为把其代人原方程，比较等式两边的系数，可求得系数. 综上所述，可归纳如下：结论 如果方程（9）的，其中为的次多项式，则该方程具有形如的特解，的取值如下确定：（1） 如1不是该方程的特征方程的

47、根，则；（2） 如1是该方程的特征方程的根，则.例8 求差分方程的通解.解 (1)先求对应齐次方程的通解.因其特征方程为，则特征根；所以其对应齐次差分方程的通解为 （为任意常数） (2)再求非齐次方程的一个特解.由于，1是特征方程的根；因此可设非齐次差分方程的特解为将其代入原方程，整理得比较两端的同次幂的系数，可解得，.故原方程的一个特解为（3）原方程的通解为 （为任意常数）例9 求差分方程满足的特解.解 (1)先求对应齐次方程的通解.因其特征方程为，则特征根；所以其对应齐次差分方程的通解为 （为任意常数） (2)再求非齐次方程的一个特解.由于，1不是特征方程的根；因此可设非齐次差分方程的特解

48、为将其代入原方程，整理得比较两端的同次幂的系数，可解得，.故原方程的一个特解为（3）原方程的通解为 （为任意常数）（4）因，可得；所以原方程满足初始条件的特解为3. 型其中为常数且，为的次多项式.对于这一类型的差分方程，我们可通过合适的变换化为可求类型.令，代入方程 （14）得消去，得 （15）由上一类型的求法可得方程（15）的特解假设为，则方程（14）的特解为结合上一类型的结果，归纳如下：结论 如果方程（9）的，其中为常数且，为的次多项式，则该方程具有形如的特解，的取值如下确定：（1） 如不是该方程的特征方程的根，则；（2） 如是该方程的特征方程的根，则.例10 求差分方程的通解.解 (1)

49、 先求对应齐次方程的通解.因其特征方程为，则特征根；所以其对应齐次差分方程的通解为 （为任意常数） (2) 再求非齐次方程的一个特解.由定理4知，求已知方程的一个特解只需分别求得如下两个方程 （16） （17）的特解即可.对方程（16）：因特征根，不是特征方程的根，可设特解，代入方程（16），得消去，比较等式两端的同次幂的系数，解得，.故.对方程（17）：因特征根，1是特征方程的根，可设特解，代入方程（17），易解得.于是.所以原方程的一个特解为（3）原方程的通解为 （为任意常数） 差分方程在经济学中的应用例11 （筹措教育经费模型）某家庭现在起每月从工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育.并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业用完全部资金.要实现这个投资目标，每月要向银行存入多少钱？20年内共要筹措多少资金？（假设投资的月利率为0.5%）.解 设第个月投资帐户资金为元，每月存入资金为元.于是，20年后关于的差分方程模型为 （18）并且，.解方程（18），易得其通解为以及从而有从现在到20年内，满足的差分方程为 （19）且.解方程（19），易得通解为以及从而有即要达到投资目标，20年内要筹措资金90073.45元，平均每月要存入银行194.95元.