17最小二乘格型滤波LSL

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1、3.4.3最小二乘格型算法(LSL)本节讨论最小二乘意义下的自适应格型滤波算法.1. 用矢量空间法描述前向和后向线性预测误差滤波器(1) M阶前向预测权系数矢量与预测矢量M阶前向预测值,可表示为越)以前的M个数据的线性组合：无(i)=工 wf ()曲一) in(3.4.85)k=式中= 1,2,M)时刻的第k个前向预测系数.将上式展开，可得前向预测矢量表示式：f )=X M(3.4.86)其中，数据矩阵：=z2x(n) zMx(n)(3487)前向预测滤波器的权矢量：W力）= wf（） wf ）w（）T应用式(3479)和(3480),可得在最小二乘意义下讪的最佳解为邺=X(心厂X爲(H)x(

2、n)(3.4.88)最佳前向预测矢量为丘=区(h), 的厂X打(n)x(n)(3.4.89)令数据空间心)的投影矩阵为P“)=x“ S)X“),X“)厂X爲)(3.4.90)则前向预测矢量f)=E,m)兀)(3.4.91)预测误差矢量和当前分量设数据空间X“S)的正交投影矩阵为卩書何，则时刻的预测误差矢(3.4.92)星为 叫() = x(n) - x(n) = x(n)I -() = P為(n)x(n)其中时刻的当前分量(3.4.93) esM (n) =( =仿(),片；(n)x(n)前向预测误差能量(范数的平切(肚畑)(3.4.94)(3.4.95)即预测误差功率(又称为“预测误差剩余”

3、)，定义为预测误差矢量的内 积根据延时篦子的輕洋质,申土式严以得到 爲5-1)=(?打何，疋M(2) 阶后向预测 働权系数矢量与卑&则紛彝x(i-M) M阶后向预测值，可表示为以后的 个数据的线性组人M口：一 M)=工 w? n)xi M + k)1 / H,(3.4.96)砒(“)伙二 1,2，W)n k式中时刻的第个后向预测系数.x(n-M) = X0.M-1(n)厂兀)八兀 后向预测滤波器的权矢量：(3.4.97)(3.4.98)(3.4.99)(3.4.100)(3.4.101)(3.4.102)将上式展开,可得后向预测矢量表示式: 其中，数据矩阵:wS) = wf()讷)w()T在最

4、小二乘意义下，叱()的最佳解为畝)=X w (必X “ 何厂X爲何严X(n)最佳后向预测矢量为i(n-M) = X。,X。. 5), X。心呵(n) 兀) 令数据空间X._S)的投影矩阵为P(M/T () =X。mt (必 Xo,M_ (n)_1 X為T 何则后向预测矢量x(n-M) =尸0肋 (n)zM 兀)预测误差矢量和当前分量设数据空间”“)的正交投影矩阵为p爲何，则n时刻的预测误差矢量 为4 = x(n-M)-x(n-M) =即”兀 S)其中“吋刻的当前分量爲=兀(必氐)=龙，Pohl厂“兀)后向预测误差能量与前向预测类似,后向预测误差能量为號() = |”2 ()|2 =他 S),e

5、?(防) 抚-1)=厂记,汀亦何)2. 前向和后向线性预测误差滤波器的参数更新(1 ) M +卩介前向预测误差与递推公式根据(3493)给出的计算M阶前向预测误差当前分量吐 的公式：(3.4.103)(3.4.104)(3.4.105)(3.4.106)此二龙(心片；(n)x(n)可得M + 1P介前向预测误差在时刻的分量匕$+1(比)=兀，P|；+1 (n)x(n)(34 1 07)其中，片丄如是对子空间X“+W)的正交投影矩阵数据矩阵,是 将列矢量Z-W+1)x(H)附加于X的最后一列的后面得到的新矩阵.则有:w = z-jW_Ix(n) y = x(n) z -龙()Pu =毗何(3.4

6、.108)P扣=毗(n)z-(M+1)x(n)=讥;(n)P扌陽卅”)=广忒(n),z_1ei ( =需(h-1) 爲 Py)=龙),片；(n)x(H) = efM (/i) z, py) = S()，P|；+】 ()( =也 S)将以上各式代入下式:；:；rn见曲电教材p97,式匕PUtUy)z9puy)-z9puX恥PyU) Puy) (3456)得到叮+1S） =叮）其中（劝厂邈（心兀（(3.4.109)W厂邈（劝二00 l.o爲爲（ 1）（34110）=爲一 1）=鸣（必哺）+鸣,如）（34111）=厂毬划（劝定义前向与后向两个预测误差矢量的相关系数(称为偏相关系数)为：m+M蹙汀(3

7、.4.112)将式(3.4.109), (3.4.111)代入式(3.4.108),得其中eLi )=eM + K?+1 (n)4 5 1)需 5-1)(3.4.113)(3.4.114)称为前向预测误差更新的调整因子(M + 1阶后向反射系数).式(3.4.113)即为前向预测误差按阶递推(阶更新)计算公式，即由 伽)递推计算此的)特别注意到，在这种递推计算中，需要知道后向预测误 差 eM(2) M + 1阶后向预测误差与递推公式用以上类似方法，可导出后向预测误差阶更新计算公式为监+iG)=监 5 1)+ K亿(町专 5)(34115)其中,砒4淀后向预测误差更新的调整因子(M + 1 阶前

8、向反射系数)：K$+i () _m+i()(3.4.116)(3) 预测误差滤波器的格型结构由式(34113)和式(3.4.115),可得到最小二乘格型(LSL)预测误差滤波器 (单级格型结构)如图3.4.8 (a)所示该滤波器的输入是m阶前向和后向预 测误差，输出是m + 1阶前向和后向预测误差.另由前向和后预测误差公式：M此(0 = X0 充(0 = X0 - Y wf (n)x(i-k), ink=e；(i) = x(i M) 双 i M)m5in二 M M)乞 w?(n)x(i-M+k)k=当M = 0时，有材 5)=代仪)=兀5)(3.4.117)由此可画出M阶侈级)预测误差滤波器的

9、格型结构，如图3.4.8 (b)所示.由图可见，该滤波器是模块型结构(各级结构相同),每一级都只包含两个 参数:前向反射系数K仁W)和后向反射系数K?+).(a)单级格型结构(a)单级格型结构4(n)必+i何二必何+K：+M)爲(1)血+M)二血( -1)+ K.仃 S)必 S)(a)单级格型结构+ 以(/?)如）多级（M阶）格型结构+恤)图348最小二乘格型（LSL）预测误差滤波器（4）预测误差能量的更新a）前向预测误差能量按阶更新公式由式（3487）可知,前向预测误差能量轧（巾）=I幽（）=何 何，吒（将M阶前向预测误差矢量码二卩書恥代入上式，得(3.4.118) 根据木教案P12-5,式

10、 (3.4.57),性质4:x9Py) = x,y)寫(n)=呂；(n)x(n), P爲()*( =兀),P爲()兀U = G (n) u = Z(M+I)x(n)则有z = y = x(n)Pu = P 牯 瞪=妣+2)P扣=ZxebM (n)(P扣,P扣治需(n-1) 进一步得到Z, P冷=兀),zxebM ( =厂喑(必兀(斤 =P扣 = Am+1 (n) 0,戶打)=咖),片；(”)x( =爲(H)6號 = (x(n),Pi+1(n)x(n) = +1 (n)见西电教材p97,式(3.4.56)将以上各式代入下式：第 匕死y(Pui (Puyj得到前向预测误差能量按阶更新公式如下:(3

11、.4.119)b)后向预测误差能量按阶更新公式若令t7 = X“S), = xS) , z = J = z-(w+,)x(H)用类似方法可得后向预测 误差能量按阶更新公式为A2 (n)(34 仅0) 爲+心)=就昔晋(5) 偏相关系数九+M)和角参量和的更新根据反射系数公式(3.4.114)和(34116),在讨论了前向和后向预测误差 能量按阶更新后，还需进一步解决前后向预测误差偏相关系数人叶的 更新问题.由于按阶由Am+i(h)计算Am+2(h)存在困难，因此可按时间更新方法，从初 值+1(0)开始，依次递推Am+i(1), Am+1，直至Am+i()现令U = XM(n) ,w=7r(/l

12、),=, y = _(M+I)x(n)同样利用耳与卩扌性质8：爲pu,uy)=匕py)-匕p制V詢f迤卩扣y)可以求得Am+iS)的时间更新公式为(3.4.121)(3.4.122)(3.4.123)其中，角参量九(砒是子空间X.m4)与Xo,“S-1)的夹角的余弦的平方, 定义为Ym)=兀(心尸1；一1 (必)还可进一步求得Ym (川一1)=兀(斤),P“ 加(3.4.124)以及角参量的阶更新公式:兀如（一1）=沧（77 1）3. LSL自适应算法流程以下归纳前向和后向反射系数更新计算问题,这也是LSL自适应算法的 计算过程与流程. 是给定的前向和后 向误差能暈的初值, 若此值未预先给出,

13、 则可任意设定.（1）初始化 令4 （0） = 0，m（0） = 0, Ym （0） = 1需（o）=抚（0） = 5 （ S为一个小的正数）（2）迭代计算（按时间” = 1,2，）就）=胡（n） = x（n）空 M =打(n)=爲(n -1) + x2 (n)/o S) = 1（3）迭代计算（按阶M = l，2,P-1） 按下列顺序计算：A+1(h) = Aa/+i(h-1) +注意：同阶的M十1嵌套着按时 间的迭代运算.式（3.4.121）.哺+i 5) = eL 5) + k?+i (h)4 5 一 1)Am+15嚴-1)乩 51)式(34113)和(3.4.114)4+1 )=eM 一 1)+ K$+1 (碱(n)=4（_1）一m+15）叮）式(3.4.115)和(3.4.116)爲+1（）=爲（）一Am+i (“)佥(1)式(34119)式(34120)式(3.4.124)Zm+i (n - 1) = 丫册 S 一 1) 一最后计算前向和后向反射系数:K$+i (兀)=A/w+i (“)爲)式(3.4.114)縄+1（）=AgS）况1）式(34116)当鳥+】何或韻+M）满足条件时，迭代终止.