利用 Matlab作回归分析

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1、利用Mat lab作回归分析一元线性回归模型：j =a +。x + , N(0,a2)求得经验回归方程：y=a + 8x统计量：总偏差平方和：SST = n (y- y)2，其自由度为f = n-1 ；i=1回归平方和：SSR = (y -y)2，其自由度为f = 1 ；i=1残差平方和： SSE = (y - J. )2， 其自由度为fE =n - 2 ； i=1它们之间有关系：SST=SSR+SSE。一元回归分析的相关数学理论可以参见概率论与数理统计教 程，下面仅以示例说明如何利用Mat lab作回归分析。【例1】为了了解百货商店销售额x与流通费率(反映商业活动 的一个质量指标，指每元商品

2、流转额所分摊的流通费用)y之间 的关系，收集了九个商店的有关数据，见下表1.试建立流通费 率y与销售额x的回归方程。表1 销售额与流通费率数据样本点销售额x(万元)流通费率y11.57.024.54.837.53.6410.53.1513.52.7616.52.5719.52.4822.52.3925.52.2【分析】：首先绘制散点图以直观地选择拟合曲线，这项工作可 结合相关专业领域的知识和经验进行，有时可能需要多种尝试。 选定目标函数后进行线性化变换，针对变换后的线性目标函数 进行回归建模与评价，然后还原为非线性回归方程。【Mat lab数据处理】：【Stepl】：绘制散点图以直观地选择拟合

3、曲线x=1.5 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 22.5 25.5;y=7.0 4.8 3.6 3.1 2.7 2.5 2.4 2.3 2.2;plot(x,y,-o)输出图形见图1。10图1销售额与流通费率数据散点图根据图1,初步判断应以幂函数曲线为拟合目标，即选择非线性回归模型，目标函数为:j = axb (b F)机 0 ；模型方差的估计值.2 =业=0.0012。n 一 2【注】：严格来讲，模型评价工作应在逆线性化变换后进行；但 是，若所建立的线性回归方程不理想，则相应的非线性回归方 程必定不理想。【Step3】：拟线性化变换求非线性回归方程(若选择为非线性 模

4、型)% 逆线性化变换A=exp(b(1)B=b(2)运行结果为：A = 8.5173； B =-0.4259。即非线性回归方程为:J = 8.5173%-0.4259。多元回归模型多元线性回归模型(p1):y =。+ P x + P x H J3 x + 8 , 8 口 N(0q2)01 12 2p p求得经验回归方程：y = P + P x + P x H P x01 12 2p p统计量：总偏差平方和：SST =切(yy)2，其自由度为f = n -1 ；i=1回归平方和：ssr = (y -y)2，其自由度为f = p ；i=1残差平方和：SSE = (y - y.)2，其自由度为fE

5、= n- p-1 ；i=1它们之间有关系：SST=SSR+SSE。多元回归分析的相关数学理论可以参见多元数据分析，下面仅以示例说明如何利用Mat lab作多元回归分析。【例2】参见教材P294： 10.1牙膏的销售量。【下面只描述运行程序的过程，应该按照规定格式书写报告】。符号说明：x：表示价格差；x2 :广告费用；y :销售量。【Stepl】：绘制散点图以直观地选择拟合曲线 clearclc x1 = -0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0

6、.05 -0.05 -0.100.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55;x2=5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.506.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80;y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.898.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75

7、 7.95 7.65 7.27 8.008.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26;h1=figure;plot(x1,y,+);h2=figure;plot(x2,y,o);109.598.587.57-0.2-0.100.10.20.30.40.50.6图1 y对x1的散点图109.598.587.5755.566.577.5图2 y对x2的散点图分析图1,可以发现，随着x1的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势；分析图2,当x增大时，y有向上弯曲的趋势，可用二次多项式 进行逼近；因此可以选择如下方程作为初步的回归模型：y = P +P x + P x + P x

8、2 + 8 ,8 N (u,b2)01 12 23 2【Step2】：模型求解(理论方法：最小二乘法)alpha=0.05;v=ones(length(x1),1) x1 x2 (x2.八2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,v,alpha)计算结果：b =17.32441.3070-3.69560.3486bint =5.728228.92060.68291.9311-7.49890.10770.03790.6594r = -0.0988-0.0795-0.1195-0.04410.4660-0.01330.29120.2735-0.23510.1031-0.40

9、330.17470.0400-0.15040.12840.1637-0.0527-0.1907-0.0870-0.0165-0.1292-0.3002-0.2933-0.1679-0.21770.11160.30350.06930.24740.2270rint =-0.52700.3294;-0.53090.3718;-0.51060.2716;-0.47310.3848;0.08130.8507;-0.46090.4343;-0.13740.7197;-0.08700.6340;-0.59600.1258;-0.32800.5341;0.4832;-0.8190-0.59330.0125;0

10、.2925;-0.2618-0.32070.6112;-0.40320.5775;-0.28410.6116;-0.48300.3776;-0.62480.2434;-0.53480.3609;-0.44230.4092;-0.56090.3024;-0.71810.1177;-0.72430.1377;-0.55480.2190;-0.64490.2095;-0.29940.5226;-0.10370.7106;-0.37140.5099;-0.18070.6755;-0.18900.6430stats =0.905482.94090.00000.0490【Step3】结果分析回归模型为：j

11、 = 17.3244+1.3070匕-3.6959x2 + 0.3486号从结果数据来看，模型整体可用。但也有缺陷，可以改进。【Step4】销售量的预测设需要预测的点为：X = 3 ,X，,X )，则预测值为 001020 py =P +P x + P x H J3 x001 012 02p 0 p记4 =二,A= ；1 +1 + (x -X)(x -X )c n - p -1n,X = LX ,i = 1,2,.,pn0i i0 jj 目 i n ki(c )= (XtX)-1，则在X 0处的区间预测为:(y -11 _ (n - p - 1)d *A , y +1. _ (n - p -

12、1)d *A)【模型改进】：当两个因素是不独立时，引入交叉项气，新的 回归模型为y = P + P X + P X + P X2 + P x X +1 12 23 24 1 2alpha=0.05;v=ones(length(x1),1) x1 x2 (x2.八2) (x1.*x2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,v,alpha)输出结果：b =29.113311.1342-7.60800.6712-1.4777bint =13.701344.5252;1.977820.2906;-12.6932-2.5228;0.25381.0887;-2.8518-0.103

13、7r =-0.0441;-0.1229;0.0299;-0.0745;0.3841;-0.0472;0.2331;0.0287;-0.0661;0.0297;-0.4372;0.1763;0.0356;-0.1382;0.1027;0.-0.0.rint 二-0.0.-0.-0.-0.-0.-0.-0.-0.-0.-0.-0.-0.-0.stats1270;0.0048;-0.1435;-0.1016;0.0389;-0.1334;-0.3272;-0.3274;-0.1412;0.3250;0.1096;0.2342;0.-0.44250.3542;-0.54080.2951;31010.3

14、698;-0.47360.3247;02450.7437;-0.46400.3695;16740.6337;-0.23690.2943;37510.2430;-0.36910.4284;8118-0.0627;-0.23060.5832;37880.4499;-0.55210.2757;31720.5226;-0.29170.5456;39440.4039;-0.54900.2621;51930.3160;-0.39260.4026;43600.3582;-0.50450.2378;72120.0667;-0.6326-0.0221;60850.1881;-0.23980.5223;04840

15、.6984;-0.29880.5181;16500.6335;-0.13910.6302=0.920972.77710.00000.04260050;2102;2455结果分析：效果更好。逐步回归方法要点：【Stepl】根据问题所属专业领域的理论和经验提出对因变量可 能有影响的所有自变量；【Step2】计算每一个自变量对因变量的相关系数，按其绝对值 从大到小排序；【Step3】取相关系数绝对值最大的那个自变量建立一元线性回 归模型，检验所得回归方程的显著性，若检验表明回归效果则转 入【Step4】，若检验表明回归效果不显著则停止建模；【Step4】进行变量的追加、剔除和回归方程的更新操作。Ma

16、tlab 命令：【命令 1 】：stepwisefit【调用格式】：b,se,pval,inmodel,stats,nextstep,history=stepwisefit(x,y, param1 ，value1, param2，value2, .)【参数说明】：X： p个自变量的n个观测值的w P矩阵；Y：因变量的n个观测值的计xl矩阵；penter ：设置回归方程显著性检验的显著性概率上限，缺省值为0.05；premove ：设置回归方程显著性检验的显著性概率下限，缺省值为0.10；display ：用来指明是否强制显示建模过程信息，取值为 on（显示，缺省设置）和 off （不显示）。例

17、4：某种水泥在凝固时放出的热量（单位：卡/克）Y与水泥 中的四种化学成分所占的百分比有关，现测得13组数据如下表:编号X1X2X3X4Y172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4作回归分析。【Matlab程序】:clear clc load haldb,se,pval,inmodel,stats,nextstep,

18、history=stepwisefit( ingredients,heat, penter , 0.10, , display , off);%自变量的筛选和模型参数估计信息inmodel,b0=stats.intercept,b%回归方程显著性整体检验信息Allp=stats.pval,rmse=stats.rmse%回归方程显著性分别检验信息P=stats.PVAL输出结果：inmodel = 1100；b0 = 52.5773；b = 1.46830.66230.2500-0.2365；Allp = 4.4066e-009；rmse =2.4063；P = 0.00000.00000.2

19、0890.2054。结果分析：最优回归方程为y -52.5773 +1.4683% + 0.6623%， 回归方程显著性整体检验和分别检验均为高度显著，模型标准误差估计为2.4063。【命令2】：stepwise【调用格式】：stepwise（x,y,inmodel,penter,premove）【说明】：创建多元线性回归分析的逐步回归法建模的交互式图 形环境。【图形界面说明】：窗口 1： Coefficients with error Bars绘出各个解释变量回归系数的估计，圆点表示点估计值，横 线表示置信区间（有色线段表示90%置信区间，黑色线段表 示95%置信区间）。窗口的右侧给出回归系

20、数的点估计值（Coeff）、显著性检验的t统计量的值（t-test）和显著性 概率p值（p-val）.窗口 2： Model History该窗口绘出的圆点表示历次建模的模型标准差b的估计。Intercept： 模型截距（常数项）的估计；RMSE：模型标准差b的估计；R-square：可决系数；Adj-R-sq：校正可决系数；F：模型整体性检验的F统计量的值；p：模型整体性检验的显著性概率。窗口 I右侧的三个按钮：Next Step:在回归方程中按相关系数绝对值大小逐次引入解释变量，如无解释变量可引入时，按钮不可用；All Steps：直接给出“只进不出”方式建模的最终结果（注 意，此时的回归方程未必是最优回归方程）；Export :选择向Workspace传输的计算结果（有关变量名可 由用户自定义）stepwise（ingredients,heat,1 1 1 1,0.05,0.10）;