卡方检验及校正卡方检验的计算

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1、X 2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算私立广厦学校郭捷思在教育学量的研究中，各种各样的统计方法已经被广泛 的应用，特别是由于统计软件（如：SPSS）的不断成熟，给 教育研究者提供了多种量的研究方法。但是，这并不是无论 什么量的研究都要通过统计软件来实现，也不是所有量的研 究一定要运用统计软件才能快捷，简便的实现。本文将教给 大家几种简便的方法来实现卡方检验。x2检验（chi-square test）或称卡方检验方法可以根据 样本数据，推断总体分布与期望分布或某一理论分布是否存 在显著差异，是一种吻合性检验，通常适于对有多项分类值 的总体分布的分析。它的零假设是样本来自的总体分布与期 望分布或

2、某一理论分布无显著差异。根据卡方检验基本思想 的理论依据，对变量总体分布的检验就可以从对各个观察频 数的分析入手。为检验实际分布与理论分布（期望分布）之 间是否存在显著差异，可采用卡方检验统计量。典型的卡方 统计量是pearson卡方，其基本公式为：寸 f f) 1foi=1 i式中k为子集个数，fo为观察频数，fe为期望频数，X 2 服从k-1个自由度的卡方分布。如果X 2值较大，则说明观 测频数分布与期望频数分布差距较大;反之，如果X 2值较小, 则说明观测频数分布与期望频数分布较接近。我们将通过代 入数据运算这条公式，计算出X 2统计量的观测值，并依据卡 方分布表计算观测值对应的概率P值

3、。下面，将通过几个实 际例子来探究如何进行卡方检验。一、四格表资料的卡方检验例1：某学校分别运用传统教学和多媒体教学在两个平 行班的数学课上进行试验，目的为了检测两种教学方法对学 生的成绩影响是否有差异。本实验把学生的成绩划分为优秀 人数（80分以上）和非优秀人数。表1：两种教学方法学生成绩优秀率的比较组别优秀人数非优秀人 数合计优秀率（%）传统教学班20305040多媒体教学班35165168.6合计554610152.5表内这四个数据（斜体）是整个表中的基本资料，其余1=1数据均由此推算出来;这四格资料表就专称四格表（fourfoldtable ），或称2 行 2 列表（2x2 conti

4、ngency table）从该 资料算出的；两种教学的优秀率分别为40%和68.6%，两者 的差别可能是抽样误差所致，亦可能是两种教学效果确有所 不同。这里可通过卡方检验来区别其差异有无统计学意义，检验步骤：1.建立检验假设:H0 : n1=n2 （表示样本来自的总体分布与期望分布无显 著差异，即传统教学和多媒体教学对学生成绩的影响并没 有存在差异）H1 : H1/H2 （传统教学和多媒体教学对学生成绩的影响 存在差异）a=0.05（显著性水平；该值将用于与求出x2的概率p值 进行比较，如果x 2的概率p值小于显著水平a,则应拒绝零 假设；反之则不能拒绝零假设）2.计算理论（期望）频数（TRC

5、）,计算公式为：TRC二公式（20.13）n式中TRC是表示第R行C列格子的理论数,nR为理论数 同行的合计数，nC为与理论数同列的合计数，n为总例数。 （这里期望频数精确到0.0001是为了减小误差）第 1 行 1 列：50x55/101=27.2277第 1 行 2 列：50x46/101=22.7723第2行 1列：51x55/101=27.7723第 2 行 2 列：51x46/101=23.2277以推算结果，可与原四项实际数并列成表2:表2 :某学校分别运用传统教学和多媒体教学在两个平 行班的数学课的试验结果比较组别优秀人数非优秀人数合计传统教学班20 ( 27.2277 )30

6、( 22.7723 )50多媒体教学班35 ( 27.7723 )16 ( 23.2277 )51合计5546101因为上表每行和每列合计数都是固定的，所以只要用 TRC式求得其中一项理论数（例如T1.1 = 27.2277），则其 余三项理论数都可用同行或同列合计数相减，直接求出，示 范如下：第 1 行 1 列：27.2277第 1行 2 列：50-27.2277=22.7723第 2 行 1 列：55-27.2277= 27.7723第 2 行 2 列：51-27.7723=23.22773.计算x2值按公式x 21 （ff）代入fx 2 =寸心 f) 2 =f(20 - 27.2277)

7、2 (30 - 22.7723) (35 - 27.7723)2 (16 - 23.2277)2 。+= 8.278727.227722.772327.772323.22774.查X 2值表求P值在查表之前应知本题自由度。按X2检验的自由度V二（行 数-1）（列数-1）,则该题的自由度v二（2-1）（2-1）=1， 查X2界值表（附表 1）,找到X20.01（ 1）=6.63，X20.001 （1 ） =10.83 而本题 X2 =8.2787 即 X20.001 （ 1 ） X2 X20.01 （1），所以 0.001 P 0.01，按a=0.05 水准，p a,拒绝H0,差异有高度统计学意

8、义，可以认为传统教学和 多媒体教学对差生成绩的影响存在显著差异。通过X 2界值表 可以看出，X 2越大，P值就会越小，那么试验中的差异具有 的统计学意义越大。而从这个实例中，我们可以得到期望频 数和实际频数相差越大，X2值就会越大。另一方面，X2值的 大小又跟子集个数的多少有关，格子数越多，X 2也会越大。 也就是说X 2随自由度的增大也增大。二、用专用公式计算卡方X 2值对于四格表资料，还可用以下专用公式求X 2值。首先把四 个表依次表上字母。如图所示：表3：两种教学方法学生学习成绩的比较组别优秀人数非优秀人数合计传统教学班20(a)30(b)50(a+ b)多媒体教学班35(c)16(d)

9、51(c+ d)合计55(a+c)46(b+d)101然后套用专用公式：x (ad - bc)2 n 式中a、b、(a + b)(c + d )(a + c )(b + d)c、d各表示四个表中四个实际数，n表示总例数。结果可以得到：X 2= (2 x 16 - 30 x 35) x 101 = 8.278750 x 51 x 55 x 46计算结果与前述用基本公式一致，这种方法的更为简 便。三、四格表乂?值的校正算法。上面讲解的例子中的X2值是根据正态分布中X 2 黑 f - f ） 的定义计算出来的。但是当自由度为1时（即 - f在四格表中），如果出现期望频数fe小于5而总例数又大于(fo

10、 - fe - 0.5)240，应用以下的校正公式：X 2 = i=1f如果用四格表专用公式，亦应用下式校正:X 2 =(a + b)(c + d )(a + c)(b + d)例2,对某学校的学生是否在课外时间请家教进行调查， 目的是为了检测课外辅导是否对学生的成绩有影响，结果如 表4。表4:学生是否在课外时间请家教的对成绩的影响的卡 方校正计算优秀的人数非优秀的人数合计有请家 教32( 30.4478)2( 3.5522)34没请家 教28( 29.5522)5( 3.4478)33合计60767从表4可见，T1.2和T2.2数值都 5，且总例数大于 40，故宜用校正公式检验。步骤如下：1

11、. 检验假设：H0 : n1=n2(表示样本来自的总体分布与期望分布无显 著差异，即有请家教和没请家教对学生成绩的影响并没有存 在差异)H1 : H1/H2 (即有请家教和没请家教对学生成绩的影 响存在差异)a=0.052. 计算理论数：(已完成列入四格表括弧中)3. 计算x2值：应用公式X2 立(f -川-。5)2运算如下：f_寸(fo - f - 0.5)2 _ (|32 - 30.4478 - 0.5)2 + (|2 - 3.5522| - 0.5)2 + X2 泊加78e(|28 - 29.552| - 0.5)2 + (|5 - 3.4478| - 0.5)2 =0.70673.55

12、223.4478则该题的自由度v= (2-1) ( 2-1) =1,查X2界值表(附 表 1),找到X20.05 ( 1) =3.84，而本题X2 =0.7067 即 x2 0.05，按a=0.05 水准，接受 H0，无 统计学意义。实验结果表明是否参加课外辅导对学生的学习 成绩影响并不存在差异。四、行x列表的卡方检验(X2test for RxC table )X2前面所阐述的是适用于两个组的率或百分比差别的显 著性检验，而对于两个组以上的卡方检验。其检验步骤与上 述相同，简单计算公式如下：X 2 = 值工一1,=1 nn J式中n为总例数；加为各观察值；n和n为与各fo值相 R Ci应的行

13、和列合计的总数。例3 :许多教育学专家提出母亲的教育背景跟学生的学习 成绩有很大的关系，通过以下的实验来验证该理论在某个学 校中是否成立。首先把母亲教育水平分为本科及本科以上、 专科、中学和小学及小学以下；学生分为优秀（80分以上） 和非优秀。表5 :母亲的教育背景与孩子的学习成绩的优秀率的比 较成绩母亲教育背景合计本科及本科以上专科中学小学及小学以 下优秀80603025195非优秀30356080205合计1109590105400优秀率（%）47.446.758.866.353.2该表资料由2行4列组成，称2x4表，可用公式X 2 = E 4 1检验。I -旻式中k为子集个数，fo为观察

14、频数，nR为理论数同行的合 计数，二为与理论数同列的合计数，n为总例数。1.检验假设H0 :不同母亲的教育背景下学生学习成绩的优秀率相同H1:不同母亲的教育背景下学生学习成绩的优秀率不同a=0.052.计算x 2值X 2 =任为-1400(802+602+302+252+302195 x 110195 x 95195 x 90105 x195205 x110+352+602+802) =67.92125 x 95205 x 90205 x1053. 确定P值和分析本例 v= (2-1)( 4-3 ) =3，据此查附表 1 : X20.001 ( 3 ) = 16.27，本题 X2 = 67.9

15、2, X2 X2 0.001(3)，P 0.001 , 按a=0.05水准，拒绝H0，可以认为不同教育水平的母亲， 孩子的优秀率存在差异。五.行x列表X 2检验注意事项1.一般认为行x列表中不宜有1/5以上格子的理论数小于 5，或有小于1的理论数。当理论数太小可采取下列方法处 理：增加样本含量以增大理论数；删去上述理论数太小 的行和列；将太小理论数所在行或列与性质相近的邻行邻 列中的实际数合并，使重新计算的理论数增大。由于后两法 可能会损失信息，损害样本的随机性，不同的合并方式有可 能影响推断结论，故不宜作常规方法。2.如检验结果拒绝 检验假设，只能认为各总体百分比或总体构成比之间总的来 说有

16、差别，但不能说明它们彼此之间都有差别，或某两者间 有差别。附表1 :vPVP0.050.010.0010.050.010.00113.846.6310.831626.3032.0039.2525.999.2113.811727.5933.1440.7937.8111.3416.271828.8734.1842.3149.4913.2818.471930.1436.1943.82511.0715.0920.522031.4137.5745.32612.5916.8122.462132.6738.9346.80714.0718.4824.322233.9240.2948.27815.5120.0926.122335.1741.6449.73916.9221.6727.882436.4242.9851.181018.3123.2129.592537.6544.3152.621119.6824.7231.262638.8945.6454.051221.0326.2232.912740.1146.9655.481322.3627.6934.532841.3448.2856.891423.6829.1436.122942.5649.5958.301525.0030.5837.703043.7750.8959.70（作者:私立广厦学校郭捷思