高考数学讲义及答题技巧

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1、高考数学重难点讲义集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语在高考中以选择题形式出现，分值在5-10分左右。考点一集合及其关系1集合的基本概念(1)集合元素的性质：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系：属于记为，不属于记为.(3)常见集合的符号集合符号自然数集N正整数集N*或N整数集Z有理数集Q实数集R(4)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法2集合间的基本关系关系表示文字语言相等子集真子集空集集合A与集合B中的所有元素相同A中任意一个元素均为B中的元素A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集注意点元素互异性的应用(1)

2、利用集合元素的互异性找到解题的切入点.(2)在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确【命题方法及解题法】考法综述集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及集合与元素之间的关系及根据集合中元素的特性(特别是集合中元素的互异性)，来确定集合中元素的个数，或求参数的取值范围，属于基础题命题法1集合的基本概念【样题】若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a()28D0或9A.C0命题法2集合之间的关系【样题】第1页共105页9B.98已知集合Ax|x7，Bx|x2m1，若BA，则实数m的取值范围是_【解题法】利用集合关系求参数取值范围及集合相等问题(1)根据两集合的关

3、系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论注意点：注意区间端点的取舍(2)若两个集合相等，首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况，然后列方程(组)求解考点二集合的基本运算1集合的运算及性质名称符号数学语言交集ABABx|xA且xB并集ABABx|xA或xB补集UAUAx|xU且xA图形ABA，运算性质ABB，ABAB，AAB，AAA(UA)U，A(UA)，U(UA)A2集合间运算性质的重要结论(1)ABABA.(2)ABAAB.(3)ABABAB.(4)狄

4、摩根定律：U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)注意点空集的特殊性在解题中，若未指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如AB，则有A和A两种可能，此时应分类讨论.【命题方法及解题法】考法综述集合的基本运算是历年高考的热点，常与函数、不等式、方程等知识综合考查，主要以选择题形式出现命题法求交集、并集和补集【样题】(1)已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB()第2页共105页A2，1C1,2)B1,1D1,2)(2)已知全集UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)()Ax|x0Cx|0x1Bx|x1Dx|0x0，则x2xm0有实根”的逆否命题；“若x32，则x是无理

5、数”的逆否命题其中是真命题的是()ACBD(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，假，真C真，真，假B假，假，真D假，假，假答案(1)B(2)B【解题法】四种命题关系及真假的判断方法(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性(2)判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断要判断一个命题是假命题，只需举出反例考点四充分必要条件充分与必要条件的判断若pq，则p是q的充分条件，q是p的

6、必要条件p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件/pq且qppq且qppq/pq且qp(1)直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，则“k1”是OAB的面积为”的()注意点在判断充分必要条件时注意小范围与大范围的关系(1)确定条件是什么，结论是什么(2)由条件尝试推导结论，由结论尝试推导条件(3)“以小推大”即小范围推得大范围.【命题方法及解题法】考法综述充分条件、必要条件是每年高考的常考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立

7、的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性综合命题.命题法判断充分条件与必要条件【样题】12A充分而不必要条件第4页共105页B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件答案A【解题法】充分、必要条件的判断方法(1)利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假(2)从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定(3)利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假考点五逻辑联结词简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p真真假假q真假真假p且q真假假假p或q真真真假非p假假真

8、真注意点否命题与命题的否定的区别否命题命题的否定区别否命题是既否定其条件，又否定其结论否命题与原命题的真假无必然联系命题的否定只是否定命题的结论命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假【命题方法及解题法】考法综述逻辑联结词的应用主要体现在各种命题的表述，题目中条件的表达等，对于纯粹考查逻辑联结词的题目则较少见含有逻辑联结词的命题的真假判断是较为重要的题型，要注意掌握“且”“或”“非”的真假规律命题法含有逻辑联结词的命题的真假判断【样题】(1)已知命题p：若xy，则xy，则x2y2.在命题pq；pq；p(q)；(p)q中，真命题是()AC答案B第5页共105页BD【解题法】含逻辑联结词的

9、命题真假的等价关系(1)pq真p，q至少一个真(p)(q)假(2)pq假p，q均假(p)(q)真(3)pq真p，q均真(p)(q)假(4)pq假p，q至少一个假(p)(q)真(5)p真p假；p假p真考点六全称量词与存在量词1全称量词与存在量词的概念(1)全称量词：短语“所有的”“任何一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题2含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题其结构如下表所示：命题xM，p(x)x0M，p(x0

10、)3复合命题的否定(1)“p”的否定是“p”(2)“pq”的否定是“(p)(q)”(3)“pq”的否定是“(p)(q)”4常用的否定词命题的否定x0M，綈p(x0)资*源%库xM，綈p(x)正面词语否定词语正面词语否定词语等于()不等于()都是不都是大于()不大于()任意的某个小于()不小于()所有的某些一定是不一定是任意两个某两个正面词语至多有一个至少有一个至多有n个第6页共105页否定词语至少有两个一个也没有至少有n1个资*源%库注意点挖掘隐含量词.有些命题中的量词不明显，应该注意根据命题含义挖掘其隐含的量词【命题方法及解题法】考法综述全称命题与特称命题是高考的常考内容，主要有以下命题角度

11、：(1)判断全称命题、特称命题的真假；(2)全称命题、特称命题的否定；(3)已知命题真假求参数取值范围题型多为选择题、填空题，难度较小，属于容易题命题法1全称命题、特称命题的否定【样题】命题“对任意xR，都有x20”的否定为()A对任意xR，都有x20B不存在xR，使得x202C存在x0R，使得x200D存在x0R，使得x00，函数f(x)ln2xlnxa有零点答案B解题法】全称命题和特称命题真假的判断方法(1)判定全称命题真假的方法定义法：对给定的集合中的每一个元素x，p(x)都为真，则全称命题为真特值法：在给定的集合内找到一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假(2)判定特称命题真假的方

12、法第7页共105页特值法：在给定的集合中找到一个x0，使p(x0)为真，则特称命题为真，否则命题为假第8页共105页算法初步及复数算法初步及复数在高考中以选择题和填空题形式出现，分值在10分左右。考点一算法初步1.算法与程序框图(1)算法;算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题(2)程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形2.三种基本逻辑结构名称内容顺序结构由若干个依次执行条件结构算法的流程根据条循环结构从某处开始，按照一定义的步骤组成，这是任何一件是否成立有不同的流定的条件反复

13、执行某些个算法都离不开的基本向，条件结构就是处理这步骤的结构，反复执行的结构种过程的结构步骤称为循环体程序框图3.算法语句(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能语句输入语句输出语句赋值语句一般格式INPUT“提示内容”；变量PRINT“提示内容”；表达式变量表达式功能输入信息输出常量、变量的值和系统信息将表达式所代表的值赋给变量(2)条件语句程序框图中的条件结构与条件语句相对应条件语句的格式第9页共105页aIFTHEN格式IF条件THEN语句体ENDIFbIFTHENELSE格式IF条件THEN语句体1ELSE语句体2ENDIF(3)循环语句程序框图中的循环结构与循环语句相对应循环语

14、句的格式aUNTIL语句bWHILE语句DOWHILE条件循环体循环体LOOPUNTIL条件WEND样题1公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为.(参考数据：sin15o0.2588,sin7.5o0.1305)第10页共105页【答案】n=6,S=1336sin60o=2.5983.1，不满足条件，进入循环；22n=12,S=112sin30o=33.12满足条

15、件，退出循环，所以输出n的值为24.样题2.执行如图所示的程序框图，如果输出s=3，那么判断框内应填入的条件是().(2013重庆理科)Ak6?Bk7?Ck8?Dk9?2，k4；依次循环，第【答案】首次进入循环体，s1log23，k3；第二次进入循环体，s六次进入循环体，s3，k8，此时终止循环，则判断框内填k7？lg3lg4lg2lg3考点二复数1.基本概念（1）i叫虚数单位，满足i2=-1，当kZ时，i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i；（2）形如a+bi(a,bR)的数叫复数，记作a+biC.复数z=a+bi(a,bR)与复平面上的点Z(a,b)一一对应，a叫z

16、的实部，b叫z的虚部；b=0zR,Z点组成实轴；b0,z叫虚数；b0且a=0，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不第11页共105页包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.两个复数a+bi,c+di(a,b,c,dR)相等a=cb=d（两复数对应同一点）z+z=2aa+birruuuuuu复数的模：复数a+bi(a,bR)的模，也就是向量OZ的模，即有向线段OZ的长度，其计算公式为|z|=|a+bi|=a2+b2，显然，|z|=|a-bi|=a2+b2,zz=a2+b2.2.基本性质（1）复数运算(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i(a+bi)(c+di)=(ac

17、-bd)+(ad+bc)i(a+bi)(a-bi)=zz=a2+b2=|z|2(注意z2=|z|2)其中|z|=a2+b2，叫z的模；z=a-bi是z=a+bi的共轭复数(a,bR).(a+bi)(c-di)(ac+bd)+(bc-ad)i=(c2+d20).c+di(c+di)(c-di)c2+d2（2）复数的几何意义复数z=a+bi(a,bR)对应平面内的点z(a,b)；ruuu复数z=a+bi(a,bR)对应平面向量OZ；.复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数复数z=a+bi(a,bR)的模|z|表示复平面内的点z(a,b)到原点的距离.样题1.

18、设(1+i)x=1+yi，其中x,y是实数，则x+yi=（）.（2016全国卷一理科）A.1B.2C.3D.2【答案】B样题2.复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为().(2013山东理科)A2iB2iC5iD5i【答案】D第12页共105页第13页共105页（3）向量的运算率：（向量不能除，为什么向量的“乘法”不满足结合律，即（a(bc)(ab)c）rrr交换律：a+b=b+a，lma=(lm)a，arbr=brar；()rr平面向量平面向量主要包括：平面向量的概念、平面向量的加减运算、平面向量的基本定理及坐标运算、数量积及非零向量的平行与垂直等。平面向量在高考中

19、主要以选择题和填空题形式出现，也会作为工具去解决其他模块儿的题，占分比例为10分左右。考点一平面向量的运算1平面向量的线性运算（1）加法：三角形法则、平行四边形法则；注：当两向量共线时，只能用三角形法则求和向量，向量加法的本质是首尾相接。rr（2）减法：相反向量（与a长度相等方向相反，记作-a）；减法；rrrrrrrrrr(rr)rrrrr(rr)(r)r结合律：a+b+c=a+b+c，a-b-c=a-b+c，lab=lrrrr(ab)=a(lb)；分配律：（l+m）a=la+ma，l(ar+br)=lar+lbr，(ar+br)cr=arcr+brcr。()rrruuur1uuuruuur（

20、4）重要结论：P为线段AB的中点OP=OA+OB。22.平面向量坐标运算（1）ra=(x,y)11r，b=(x2,y)2（2）（3）rra=x2+y2，b=x2+y21122rrab=(xx,yy)1212r（4）la=(lx1,lx2)（5）rra/bxy-xy=01221uuur（6）若A(x,y),B(x,y)，则AB=(x-x,y-y)112221213平面向量的数量积运算rrrr(1)ab=abcosq(2)q的范围0,p注意q为两向量起点相同时的夹角。第14页共105页rrrrr2r2prrprrr2(3)若a=(x,y)，b=(x,y)，则(ab)2ab。1122rr(4)ab0

21、0q，ab0q0,b0时，22ab,即a+b2ab（当且仅当a=b时取“=”号）+取得最小值.若曲线y=xa过点P,，则a的值样题1.已知正实数m,n满足m+n=1，且使为（）116mnmn54A.-1B.12C.2D.3样题2.直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切，则a+b+ab的最大值为（）2D.2+1A.1B.-1C.2+1考点3不等式选讲1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：不

22、等式|x|0x|axaa0aax|xa或xaxR|x0R(2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解；利用零点分段法求解；构造函数，利用函数的图象求解样题1.已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，恒有f(x)g(x)3，求实数a的取值范围11(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.第18页共105页(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关

23、系：tan.三角函数三角函数在高考中以选择题、填空题和解答题形式出现，分值在17分左右。考点一三角函数化简求值1同角三角函数的基本关系式sincos2诱导公式组序角正弦余弦正切一2k(kZ)sincostan二sincostan三sincostan四sincos_tan_五2cossin六2cos_sin口诀记忆规律函数名不变，符号看象限函数名改变符号看象限奇变偶不变，符号看象限1tantan(3)tan2.sin2(1cos2)；cos2(1cos2)3两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin_cos_cos_sin_；(2)cos()cos_cos_sin_sin_；tant

24、an(3)tan().4二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin22sincos；(2)cos2cos2sin22cos2112sin2；2tan1tan25有关公式的变形和逆用(1)公式T()的变形：tantantan()(1tan_tan_)；tantantan()(1tan_tan_)(2)公式C2的变形：1122(3)公式的逆用：第19页共105页1sin2(sincos)2；sincos2sin4.asinbcosa2b2sin()其中tana.样题1若sin6，则cos3_.样题2.已知为第二象限角，则cos1tan2sin1_.6辅助角公式b131tan2样题3.若sin3，则c

25、os32(14)ABC.D.71178448考点二三角函数图像及性质1正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysinxycosxytanx图象定义域值域单调性R1,1递增区间：2，2k22kkZ，递减区间：2，2k22k3R1,1递增区间：2k，2kkZ，递减区间：2k，2kkZ|xxk2，kZR递增区间2，k2(k)(kZ)kZxk(kZ)奇偶性对称性奇函数对称中心(k，0)kZ对称轴2偶函数对称中心2(k，0)kZ对称轴xk(kZ)奇函数对称中心k2(，0)kZ周期性22第20页共105页2.由ysinx的图象变换得到yAsin(x)(其中A0，0)的图象先平移后伸缩先伸缩后平移样题

26、1.已知0，函数f(x)sinx4在2，上单调递减，则的取值范围是()A.2，4B.2，4C.0，215113D(0,2样题2.函数f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象如图所示，则f24的值为()11A6BCD132222样题3.为了得到函数ysin3xcos3x的图象，可以将函数y2cos3x的图象()A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位121244考点三解三角形1.正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即_，这个比值是2余弦定理(1).三角形任何一边的_等于其他两边_的和减去这两边与它们的_的余弦的积的_即a2_，b2_，c2_

27、.第21页共105页(2).余弦定理的推论cosA_；cosB_；cosC_.(3).在DABC中，c2=a2+b2C为_；c22+b2C为_；c2a2+b2C为_3.正余弦定理的选用解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷。如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要优先考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则优先考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。4.面积问题(1)三角形面积公式：S_.(2)求面积范围问题常见两种解题思路。一是通过正余弦定理转换为关于边的等式，利用均值不等式求范围；二是转换为角的问题，通

28、过辅助角公式，转化为限定角的范围求三角函数值域问题。样题1.在DABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.，已知DABC的面积为a23sinA（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1,a=3，求DABC的周长.样题2.DABC的内角的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+ccosB（）求B；（）若m2，求DABC的面积的最大值样题3.如图,在DABC中,ABC=90,AB=3,BC=1,P为DABC内一点,BPC=90(1)若PB=1,求PA;2(2)若APB=150,求tanPBA第22页共105页数列数列在高考中对填空选择都有等差等比数列性质考察,分值5分，而解答题部分常与解三角形争夺17题位置，分值12分,总体分值保持在5-17分。该类题目更多考察学生的运算求解能力、等差等比数列基础性质的应用意识，常考的主要知识点如下：1.两种基本数列公式：等差、等比数列判定；等差、等比数列的通项公式与递推公式；等差、等比数列的前n项和S的性质特征。等差、等比数列判定；等差、等比数列的通项公式与递推公式；n等差、等比数列的前n项和S的性质特征。这部分考察常在填空选择中。n2.通项与前n项和：通项与前n项和常用通项求法：累加法、累乘法、配常数或kn转化新数列