【阳光学习网精选】中考数学复习热点三：动态问题

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1、 全国领导的中小学生在线一对一辅导平台中考数学热点三：动态问题动态问题一般是指动态几何问题，动态几何问题是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，主要研究的是几何图形的运动中所遵循的规律探索，具体的探索内容是图形的位置、数量关系.图形的运动就其运动方式来说有平移、旋转、翻折和滚动等等；就运动对象而言有点动(点在线段或弧线上运动)、线动（直线或线段的平移、旋转）和面动（部分图形的平移、旋转、翻折）等，而且在运动过程中大多是动中有静，动静结合.动态几何问题就其知识结构而言，它常常集几何、代数知识于一体，是数形结合的完美表现，具有较强的综合性、灵活性和多变性.几何方面常常涉及全等形、相

2、似形、勾股定理、特殊的四边形和圆，代数方面涉及的知识主要有方程、函数、不等式、坐标和解直角三角形（三角函数）等.解这类问题的基本策略是：1动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性2动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系3以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系总之，解决动态几何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变

3、，以不变应万变.具体做法是：第一，全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考察运动中的变与变的量及其位置关系；第二，应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，变“动”为“静”；第三，在各类“静态图形”中运用相关的知识和方法（如方程、相似等）进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解.由于图形运动变化有利于发展学生的空间想象能力和综合分析能力，因此，动态几何问题近几年来成为了中考命题的热点，常常在中考中以压轴题的形式出现，起到甄选的作用.2009年的数学中考题中，动态问题仍将是一个命题的热点，尤其是直角坐标系中的动点和直角坐标系中直线

4、和图形的运动的开放性综合题值得大家的重视.探究解题新思路题型一 动点问题典例1（2008绍兴）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点P的运动时间为t（秒）图1OPAxBDCQy图2OPAxBCQyE（1）用含t的代数式表示OP，OQ；（2）当t=1时，如图1，将OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；（3）连结AC，将OPQ沿PQ翻折，得到EPQ，如图2问：PQ与AC能否平行

5、？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由【研析】:（1）易知AP=t，所以OP=OA-AP=6-t；由于点Q运动（+t）秒，所以OQ=+t；（2）t=1时，OQ=+1=，从而QC=3-=，由翻折不变性，知QD=OQ=，所以CD=1，所以点D的坐标为（1，3）；（3）若PQ与AC平行，则OPQOAC，所以，即，解之，得t=，故当t=时，PQ与AC平行；PE与AC不能垂直.理由是：因为+t3，t6，解得t，从而AP，OP6-，又PE=OP，所以PE.若PE与AC垂直，则因为PE与QE垂直，则有QE与AC平行或重合，而点Q在OC边上，所以点E只能在OAC内，否则QE与AC相交，从

6、而可知PEPA，但这与PE及AP矛盾，所以PE与AC不能垂直.【思路总结】存在性探索问题的一般思路与方法是假设存在，然后以此为条件并结合已知的条件导出新的结论，观察、验证所得新的结论与其他的结论是否矛盾？如果不矛盾，则说明所探索的结论存在；如果矛盾，则说明所探索的结论不存在.在探索过程中要注意数形结合，充分借助图形的直观性和代数的精密计算.变式拓展1、已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（6，0）、C（0，4），点D在OA上从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动；点P在BC上从点C出发，以每秒1个单位向点B运动.运动时间为t（秒），当点

7、D运动到点O时，点P的运动也结束.（1）当t=1时，求OPD的面积；（2）如果OPD是直角三角形，求t的值；（3）是否存在t的值，使得OPD是等边三角形？如果存在，求t的值；如果不存在，说明理由.解：（1）当t=1时，AD=2，所以OD=4，点P在BC边上运动，点P的纵坐标始终为4，所以OPD的面积等于44=8；（2）显然，运动后，POD总是锐角，所以POD不可能是直角；若PDO=90，则CP=OD，所以t=6-2t，解得t=2；若OPD=90，则，而OP2=OC2+CP2=16+t2，作DEBC于E，则PD2=PE2+DE2=（6-3t）2+16，OD=6-2t，所以16+t2+（6-3t）

8、2+16=（6-2t）2，整理，得3t2-6t+16=0，因为=36-43160，所以OPD=90不成立.综上，t=2；（3）如果OPD是等边三角形，则POD=60，在RtOPC中，COP=30，OC=4，所以CP=，从而t=，OP=2t=，OD=6-2t=6-OP，所以不存在t的值，使得OPD是等边三角形.题型二：动线问题典例2（2008台州）CD经过BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E，F分别是直线CD上两点，且BEC=CFA=（1）若直线CD经过BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若BCA=90，=90，则BE CF；EF |BE-AF|（填“”或“”或“=

9、”）；ABCEFDDABCEFADFCEB（图1）（图2）（图3）如图2，若90BCA180，请添加一个关于与BCA关系的条件 ，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，=BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）【研析】：（1）易知BCE与CAF全等，所以BE=CF，CE=AF，所以EF=CF-CE=BE-AF，故均填“=”；所填的条件是：+BCA=180.证明：在BCE中，CBE+BCE=180-BEC=180-，因为BCA=180-，所以CBE+BCE=BCA，又ACF+BCE=BCA，所以CBE=ACF，又BC=

10、CA，BEC=CFA，所以BCECAF（AAS），所以BE=CF，CE=AF，又EF=CF-CE，所以EF=|BE-AF|（2）EF=BE+AF【归纳总结】动线问题常见的是直线的平移与旋转，象本题事实上就是直线绕点C旋转的情形，只是再加上已知的角的变化而已.在平移或旋转变化过程中要注意到“变”与“不变”.其次，在探索从特殊到一般的规律中，要注意特殊的关系也应满足一般的规律.变式拓展2、已知，如图1，已知AB是O的直径，AB垂直于弦CD，垂足为M，弦AE与CD交于F，则有结论AEAF成立（不要求证明）（1）若将弦CD向下平移至与O相切于点时，如图2，则AEAF是否等于？如果不相等，请探求AEAF

11、等于哪两条线段的积？并给出证明图1（）（图2图3（2）当弦CD继续向下平移至与O相离时，如图3，在（1）中探求的结论是否还成立，并说明理由解：对于已成立的结论AEAF虽然不要求证明，但接下来的探索仍然需要按这个结论的证明思路去进行探索由于AEAF的证明思路是：连结DE，由垂径定理，得，从而ADFE，又DAFEAD（公共角），所以ADFAED，故AEAF对于（1）问，首先注意到图1中AD变成了AG和AH，因此可以猜测变成了AGAH，故可猜测AEAFAGAH证明思路如下：欲证AEAFAGAH，只须证明AEGAHF，故连结EG；欲证AEGAHF，已有EAGHAF（公共角），只须再证AEGAHF；欲证

12、AEGAHF，考虑到AB是直径，连结BG，则AGB90ABH，从而ABGAHF，又ABGAEG，故AEGAHF成立对于（2）问，当CD继续向下平移时，AE、AG不变，AF和AH同时变长，因此可以猜测（1）中的结论AEAFAGAH仍然成立理由同样是连结EG、BG，证明AEGAHF；也可以将图3化归为图2的情形，过点B作AB分别交AF、AH于、，则由（1），得AEAAGA；又FH，故，即得AEAFAGAH题型三：动形问题（一）几何图形的运动典例3 图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中ABC内接于G，AB是G的直径，AB=6，AC=3现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A

13、在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束（1）试说明在运动过程中，原点O始终在G上；FE（2）设点C的坐标为（，），试探求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在整个运动过程中，点C运动的路程是多少？【研析】：本题涉及到的知识点多，又是坐标与几何的综合题，加上圆的运动使得问题变得更加扑朔迷离，令许多同学无从下手.下面我们从第（1）开始进行一一探索.（1）圆是运动的，点O是不动的，要说明点O始终在动圆G上，只须说明点O到圆心G的距离总是等于圆G的半径即可；显然，当点A与原点O重合时，OG=AB=圆G的半径；当点A离开

14、点O而还没结束运动时，OG是直角三角形OAB斜边的中点，因此有OG=AB=圆G的半径；当点B与O重合时，仍有OG=AB=圆G的半径，所以原点O始终在G上；注：本题也可以这样说明：由于AOB总是等于90，所以点O总在以AB为直径的圆G上.（2）运用坐标的几何意义建立等量关系即可.在图3中作CEx轴于E，CFy轴于F，则CE=y，CF=x，易知ACEBCF，所以，所以y=x；图4O（B）CAyxD欲求自变量x的取值范围，应先明白圆运动的全过程，即圆从开始运动到静止.由于点C是从图2的位置出发，到图4的位置静止，因此，自变量x的取值范围是x；（3）注意点C运动的路线图形.由于点C（x，y）满足的关系

15、是正比例函数y=x，所以点C运动的路线是沿射线OC的方向从点（，）运动到点（，），运动的距离为图4中OC长减去图2中OC长，即BC-AC=3-3.【方法点拨】解决图形运动问题要注意运动的图形及其运动的形式，在运动中找出“变”与“不变”的几何量，包括点、线、形及数量和数量关系，将某一瞬间的静态情形作为运动过程的代表进行探索.变式拓展LABCDPA/C/D/D/A/A/TS3、如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线L上，依次以B、C、D为中心将矩ABCD按顺时针方向旋转90，这样点A走过曲线依次为、，其中交CD于点P.（1）求矩形的对角线的长；（2）PD的长；（3）求圆中阴影部

16、分的面积S ；（4）求图中部分的面积T.解：（1）=；（2）连结BP，则BP=BA=2，在RtBCP中，BC=1，BP=2，CP=，所以PD=2-； （3）因为那么S=S扇形，又扇形的圆心角为90，半径是， S= ；（4）T=S扇形ABP+SPBC，在RtBCP中，BC=1，BP=2 BPC=30，CP= ， ABP=30T= S扇形ABP+SPBC=.（二）函数图象的运动BOAPM典例3（2008丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动（1）求线段OA所在直线的函数

17、解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m,用m的代数式表示点P的坐标；当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使QMA的面积与PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【研析】：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，因为A（2，4），2k=4，k=2，所以OA所在直线的函数解析式为y=2x；（2）顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，y=2m（0m2），顶点M的坐标为(m,2m)，抛物线函数解析式为，当x=2时，（0m2），点P的坐标是（2，）； PB=， 又0m2，当m=1时，PB最短；（3）由（2）中的可知，当线段PB最

18、短时，m=1，从而可知平移后抛物线的解析式为.DOABPMCE假设在抛物线上存在点Q，使，设点Q的坐标为（x，）.当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC/AO，交y轴于点C，PB=3，AB=4，AP=1，OC=1，C点的坐标是（0，-1）.点P的坐标是（2，3），直线PC的函数解析式为y=2x-1.，点Q落在直线y=2x-1上，=2x-1，解得，所以点Q（2，3），点Q与点P重合，此时抛物线上不存在点Q，使QMA与APM的面积相等；当点Q落在直线OA的上方时，作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE/AO，交y轴于点E，AP=1，EO=DA=1，E、D的坐标分别是（0，1），（2，5），

19、直线DE函数解析式为y=2x+1.，点Q落在直线y=2x+1上，=.解得：，.代入y=2x+1，得，此时抛物线上存在点，使QMA与PMA的面积相等.综上所述，抛物线上存在点，使QMA与PMA的面积相等.【概括总结】：动态的函数图象问题常常涉及到方程知识、坐标方法和数形结合思想.在抛物线上的存在性问题中，又经常需要用到一元二次方程的根及其判别式进行探索，先假设存在，后得出结论似乎已是解决存在性问题的基本方法.变式拓展4、（2008烟台）如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）抛物线或在轴上方的部分是否存

20、在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.解：（1）令y=0，得-2x+3=0，解之，得x1=-3，x2=1.因为抛物线L1向右平移2个单位得抛物线L2，所以C（-1，0），D（3，0），a=-1，所以抛物线L2为y=-（x+1）（x-3），即y=-+2x+3.（2）存在.令x=0，得y=3，所以M（0，3），因为抛物线L1向右平移2个单位得抛物线L2，所以点N（2，3）在L2，且MN=2，MNAC，又AC=2，所以MN=AC，

21、所以四边形ACNM是平行四边形.同理，L1上的点N/（-2，3）满足N/MAC，N/M=AC，所以四边形ACMN/是平行四边形.所以N（2，3），N/（-2，3）为所求；（3）设P（x1，y1）是L1上任意一点（y10），则点P关于原点的对称点Q（-x1，-y1），且y1=-2x1+3，将点Q的横坐标代入L2，得yQ=-2x1+3=y1-y1，所以点Q不在抛物线L2.展望命题新动向1、（2008烟台）如图，水平地面上有一面积为30cm2的扇形AOB，半径OA=6cm，且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为（ ）A、20cm；B、24cm；C

22、、10cm；D、30cm.解：选C.从A到B的距离恰好是扇形弧AB的长，也是点O移动的距离，设弧AB的长为l，则l6=30，所以l=10.OCABPPQ2、已知点C是O中一点，P是过点C的弦AB的中点，Q是OC的中点，在弦AB绕点C旋转过程中，下列长不变的线段是（ ）A、PQ；B、AB；C、BC；D、CP.解：选A.连结OP，则OPAB，所以PQ=OC.yx图 1OABDCP49图 23、（2008德州）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止设点P运动的路程为x，ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则ABC的面积是（ ）A10；B16；C1

23、8；D20.解：选A.由图形及图象可知，当点P从点B运动到点C时，y是x的一次函数，且y随x增大而增大，此时0x4，所以BC=4；当点P从点C到点D时，y不变，此时4x9，所以CD=9-4=5，所以ABC的面积是ABBC=10.4、（2008宜宾）将直角边长为5cm的等腰直角ABC绕点A逆时针旋转15后,得到ABC,则图中阴影部分的面积是 cm2；解：.设B/C/交AB于D.则C/D=AC/tan30=5=，所以图中阴影部分的面积是5=.5、（2007诸暨）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个

24、正方形的中心距.当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变.（1）计算：O1D= ，O2F= ；（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ；（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）.解：（1）正方形对角线的长为边长的倍，故BD=4，FH=2，因此，O1D=2，O2F=1；（2）当两个正方形只有一个公共点时，此时点F与D重合，且O2在正方形ABCD外部，故O1O2=3；（3）两个正方形的公共点还可以有如下几种情况：有两个公

25、共点，此时1O1O23；有无数个公共点，此时O1O2=1；有1个公共点，此时O1O2=3；无公共点，此时O1O23或0O1O21.ABCD图1ABCDB/图2EF6、两块含45度角的不同三角板ABC和BCD如图1放置.（1）证明：CD=AB；（2）当较小一块BCD绕点C顺时针旋转45时（如图2），设B/D边与AB边相交于点E，B/C边交AB边于F，求BE：EF；（3）当点D落在AB边上时，三角板BCD旋转了多少度？解：（1）设CD=BD=1，则AC=BC=，所以AB=BC=2，所以AB=CD，即CD=AB；（2）易知D在BC上，设CD=1，则BC=，从而BD=-1，BE=BD=2-；又BF=1

26、，所以EF=1-BE=1-（2-）=-1，所以BE：EF=（2-）：（-1）=；（3）由（1）得CD=AB，又AB上的高也是AB，所以当点D落在AB上时，B/D落在AB上，因此，三角板BCD旋转了90度.7、如图甲，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题：（1）如果AB=AC，BAC=90，图甲ABDFEC图乙ABDECF图丙ABDCEF当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为 ，数量关系为 当点D在线段BC的延长线时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果BAC=90，不论

27、点D在射线BC上运动总有CFBC（点C，F重合除外），求证：AB=AC.解：（1）垂直，相等；成立.证明如下：在ABD与ACF中，AB=AC，AD=AF，BAD=90+CAD，CAF=90+CAD，所以BAD=CAF，所以ABDACF（SAS），所以CF=BD，ACF=B=45；又ACB=45，所以BCF=90，所以CFBD.（2）参照图乙、丙，逆着（1）的证明思路可证.8、（2008益阳） 两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中A=60，AC=1. 固定ABC不动，将DEF进行如下操作：ABEFCD图(1)温馨提示：由平移性质可得CFAD，CF=AD (1) 如图(1)，DEF沿

28、线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积. (2)如图(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.ABEFCD图(2) (3)如图(3)，DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sin的值.AB(E)(F)CD图(3)E(F)解：(1)过C点作CGAB于G，在RtAGC中，sin60=，AB=2，S梯形CDBF=SABC=；(2)菱形.CDBF， FCBD，四边形CDBF是平行四边形，DFA

29、C，ACD=90，CBDF，四边形CDBF是菱形.ABEFCDG(3)解法一：过D点作DHAE于H，则SADE=，又SADE=，在RtDHE中，sin=；解法二：ADHABE，即：，AB(E)(F)CDE(F)H，sin=.9、（2008武汉）（1）点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是 ，直线y=2x+1向下平移2个单位后的解析式是 ；（2）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式是 ；（3）如图，已知点C为直线y=x上在第一象限内一点，直线y=2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB沿射线OC方向平移3个单位，求平移后的直线的解析式解：（1）（0，-1），y=2x-1；OCBAA（2

30、）因为y=2x+1交x轴于（-，0），则平移后经过点（-+2，0），即（，0），设平移后的解析式为y=2x+b，则0=2+b，解得b=-3，故平移后解析式为y=2x-3；（3）因为OC与x轴的夹角为45，所以当直线AB沿OC方向平移3单位时，相当于向右平移3个单位，再向上平移3个单位，因为y=2x+1交y轴于点（0，1），所以平移后经过点（3，4），设平移后的解析式为y=2x+m，则4=23+m，m=-2，故y=2x-2.10（2008淮安）如图，O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在O上运动(1)当点D运动到与点A、O在同一条直线上时,试证明直线CD与O相切；(2)当直

31、线CD与O相切时，求CD所在直线对应的函数关系式；（3）(3)设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值解：（1）因为D运动到与点A、O在同一条直线上，而ADDC，所以ODDC，所以CD与O相切；（2）直线CD与O相切时，ODCD，又ADDC，所以A、O、D三点在同一直线上.设直线CD交y轴于E，交x轴于F（如图）.OBACDOBCDAEFEF当O在正方形ABCD的AD边上时，易知ODEFDOFCBBOA，设正方形ABCD的边长为a，OF=x，FD=y，则，即，所以x=，y=，又，即，所以1+，整理，得，所以a=4（负根已舍去），故OF=x=，FD=y=，由OE：OF=OD：FD，得OE：=1：，OE=，所以点E、F的坐标为E（0，），F（-，0），设直线CD的解析式为y=kx+b，则，解得k=，b=，故y=x+；当O在AD延长线上时，同理可得CD的解析式为y=x-.家长看得见的辅导 | 免费试听，满意再学 | 100%一线在职教师- 14 -