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1、多元函数微分学章节复习 本章教学要求： 1知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域。2熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法。3熟练掌握复合函数一阶偏导数的计算方法，会计算隐函数的偏导数。4能熟练地求全微分。5了解二元函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题。 例题讲解： 一、填空题 1函数 的定义域是_。2如果f(xy，xy)xy，则f(x，y)_。3设zln(xy)，则dz_。4二元函数 的定义域是_。5设 ，则dz_。6设z(1xy)x，则 _。7设f(x，y)ln(xexy)，则 _。8函数 的定义域是_。9函数 的定义域是_。10设zf
2、(u，v)，uxy， ，则 _。11设ezxyz0，则 _。 分析与解答： 1函数 的定义域是_。1要使函数有意义，必须： ，即 因此，该函数的定义域是D(x，y)；x2y21，| y | x |，x0 2如果f(xy，xy)xy，则f(x，y)_。2令 ，则 ，即有 ，故 3设zln(xy)，则dz_。3 ， ， 故 4二元函数 的定义域是_。4要使函数有意义，必须： ，即 因此，该函数的定义域是D(x，y)；2xy2，xy0，xy1 5设 ，则dz_。5 ， ，故 6设z(1xy)x，则 _。6相对y 来说，x 是常数，故z 可以分解为：zux，u1xy，则 7设f(x，y)ln(xexy
3、)，则 _。7 8函数 的定义域是_。8要使函数有意义，必须： ，即定义域为：(x，y)；y0，xy0 9函数 的定义域是_。9要使函数有意义，必须： ，即 故该函数的定义域为：(x，y)；xy0，x2y21 10设zf(u，v)，uxy， ，则 _。10 11设ezxyz0，则 _。11设 ，则 ， ， 故 二、单项选择题 1设z(2x1)3y2，则 （ ）。 A. (3y2)(2x1)3y1 B. 2(3y2)(2x1)3y1C. (2x1)3y2ln(2x1) D. 3(2x1)3y2ln(2x1)2设zln(xy)，则 （ ）。 A. dxdy B. dxdy C. dxdy D. d
4、xdy3设 ，则 （ ）。 A. B. C. D. 4下列说法正确的是（ ）。A. 可微函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有 B. 函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有 C. 若 ，则函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值D. 若 或 有一个不存在，则函数f(x，y)在点（x0，y0）处一定没有极值5设zuv，xuv，yuv，若把 z 看作x，y的函数，则 （ ）。 A. B. C. 2x D. x 分析与解答： 1对y来说，z是y的指数函数，可分解为：z(2x1)u，u3y2，由复合函数求导法则，得 ，即D正确。 2 ，即B正确。 3，即D正确。 4函数
5、取得极值的点可能是不可导点，因此B不正确；驻点未必是极值点，因此C也不正确；偏导数是否存在，与函数不取得极值没有必然的关系，故D也不正确。总之，只有A才正确。 5由题设， ，故 ，即A正确。 三、计算题 1设zln(uv2)， ，vxy，求： 解法一： ， 解法二： 因为 所以 ，2设函数zf(x，y)由方程 所确定，求 解法一： 设 则 ， 故 解法二： 方程两边对x求偏导数，得： 即 ，故 方程两边对y求偏导数，得： 即 ，故 3设 ，求 解： 设zf(u，v)，ux2y， 则 4表面积为S 的长方体箱子中（箱子无盖），求体积最大者的边长。 解： 设长方体的边长分别为x，y，z，于是长方体
6、的体积为 Vxyz 已知 xy2(xzyz)S 又设 F(x，y，z，)xyz(xy2xz2yzS) 求 F(x，y，z，) 对各变量的偏导数，并令其为零，得方程组： 由 (1)x(2)y，得 由于，z不能为零，故得 xy0，xy 由 (2)y(3)z，得 ，y2z 将 xy2z 代入（4），得 于是 由于只有这一个驻点，且已知该问题一定存在最大值，故此驻点即为最大值点，即当边长分别为 时，体积最大。 5直角平行六面体的长、宽、高之和为定数a，求其最大体积。 解： 设平行六面体的长、宽、高分别为x、y、z 依题意 xyza Vxyz 又设F(x，y，z，)xyz(xyza) 令 解得唯一驻点 ，为最大值点，即当长、宽、高均为 时，其体积最大，这时，
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