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1、轴心压杆大挠度弹性屈曲分析摘要以大挠度理论为基础，对压杆的稳定性进行了分析，推导得出了压杆屈曲后的挠 度与荷载关系的数表达式.通过ANSYS算例，说明利用该公式不仅能描述压杆屈曲后挠度曲 线的形状，而且还能给出压杆屈曲后挠度值的大小，从而为精准分析压杆的极限承载力，提 供了一种理论分析的方式。关键词：屈曲理论；大挠度；ANSYS分析。1引言小挠度理论只能说明直线状态是不稳定的，却不能给出荷载与挠度的具体关系式。随着 压杆不断向轻型组合结构的方向发展，在其稳定性的分析中，考虑剪切变形的影响已十分必 要.吕烈武曾指出，在实际工程中，有许多按照屈曲理论分析取得的屈曲荷载，并非与压杆 的极限承载力相关
2、，且以为产生这种不一致的原因，是由压杆屈曲后的平衡状态所决定的 所以，有必要应用大挠度理论对压杆屈曲后的变形特性进行研究作者在大挠度理论的基础 上，考虑压杆剪切变形的影响，推导得出了压杆的挠度与荷载关系的函数表达式，可以给出 组合压杆屈曲后的荷载与挠度的一一对应关系，而且可以肯定屈曲后挠度值的大小，从而在 理论上为分析压杆的极限承载力提供了参考.2大挠度理论依照小变形理论对两头铰接的轴心受压构件剪力线性微分方程求解，取得构件的屈曲荷 载和变形曲线。剪力平衡方程时用-y代替构件变形时的曲率。为了阐明构件屈曲后的y性能，必需用曲率的精准值中=-，这样一来，就取得了大挠度方程 1 + （y）232E
3、lyy + Py = 0（1）1 + （y%次、，、，（1）式可简化，因为曲率是曲线的倾角。对弧长s的转变率，即O = ，这样 ds可以简化为d0EI + Py = 0（2）ds在（2）式中含有s,9 , y三个变量，为了便于计算，对式（2）再微分一次，而且利用牛=sin。， ds（3）以减少为两个变量。令k2 = P/EI，式（2）变成+ k 2 sin。= 0 ds 2上式利用椭圆积分求解，先取得构件的长度/与构件屈曲后两头的倾角。和-。o的积分dO（4）i=j1 ds=! J%02k _e isin2（0 /2） - sin2（O /2）o这是一个有现成的积分表可查的椭圆积分式。引入符号
4、P和K。其中p = sin（e/2）（5）K = 1 + （*）2 p2 + （ _）2 p4 + （ _-_）2p6（6）222 x 42 x 4 x 6l = 2K / k（7）EI因为k2 = P / EI，=兀2 ,这样上式可与成（8）P/P = 4K2/兀 2E这是大挠度理论关于轴心受压构件屈曲后荷载p和变形的端角eo之间的关系式。对于构件屈曲后的变形，还需要知道构件中点的挠度v和端角e o之间的关系式。由v = J 的=J sin Ods = -J 0 .血 Ode一（9）0eo72kjcos。-cosO可得 v/1 = p/K（10）给定eo后由式（8）和（10）即可取得P/七和
5、v/1。3 ANSYS实例验证轴心受压构件大挠度分析理论理论解计算步骤：（1）通过给定的端角e。先求得参数p = sin（e/2）（2）求得系数K = :1 +（4）2p2 + （二3）2p4 + （1 x3 x5 ）2p6222 x 42 x 4 x 6（3）通过P/Pe= 4K2 /兀2求得荷载P（4）通过v/1 = p/K求得中点水平位移v计算结果如下表表1基于大挠度的理论解端角。（度）P=sin（e/2）KP/P*理论V/1理论解解0011020304060708090100110120130140150160170ANSYS分析采用beam3单元，单元长度为压杆长度的5%。用ANSY
6、S作几何非线性分析时， 受限要打开大位移选项，并按照问题类型设置求解控制选项；其次是引入缺点“激起”非线 性分析，对大多数实际问题分析中，需要引入缺点以进行非线性分析，但对如拱一类的结构 则没必要引入缺点而直接进行非线性分析。就本例，必需给出必然的初始缺点(初弯曲)才 能进行非线性分析，初始缺点的大小对屈曲荷载周围影响较大，而后影响逐渐减少，本例采 用千分之一的压杆长度为初始缺点。在求解策略上，本例没有利用弧长法，当荷载位移曲线转变比较猛烈时，调正荷载子步 大小即可生效。命令流如下：finish$/clear$/filname,colu$/prep7 aa=ai=10000/l0=1000em
7、=2e5pcr=acos(-1)*acos(-1)*em*ai/l0/l0et,1,3mp,ex,1,emr,1,aa,ai,10k,1,0k,2,0,l0/2k,3,0,l0l, 1,2l,2,3lesize,all,20lmesh,allnode1=node(0,l0,0)finish/soludk,1,ux,uydk,3,uxfk,3,fy,-pcrpstres,on solve finish/soluantype,1bucopt,lanb,1mxpand,1,1 solvefinish/prep7upgeom,1,colu,rst finish/soluantype,0nlgeom,1
8、outres,all,last nsubst,100*dim,hzxs,22hzxs(1)=,hzxs(7)=,hzxs(13)=, hzxs(19)=, *do,i,1,22 fk,3,fy,-pcr*hzxs(i)lswrite,i*enddolssolve,1,22/post26nsol,2,2,u,x,dduznsol,3,node1,u,yvput,hzxs,4prod,5,2,1/l0prod,6,3,1/l0/color,wbak,15/color,axes,0/color,axnum,0/color,axlab,0/color,grid,0/color,curve,0 /axl
9、ab,x,v/L/axlab,y,P/Pexvar,5plvar,4/axlab,x,lo/L/axlab,y,P/Pexvar,6plvar,4prvar,5,6取得荷载位移曲线如下图:图1中点挠度荷载位移曲线Lo/L图2极点纵向荷载位移曲线* ANSYS POST26 VARIABLE LISTING *TIME5 PROD6 PROD* ANSYS POST26 VARIABLE LISTING *TIME5 PROD6 PROD56注：变量5为V /1，变量6为/表2理论解和计算解之间比较w曷 寿./ p /Qx v P/Pe理论 v/l理论 v/l计算、口妾0/、端角。(度)p=sm
10、( 0 /2) K 解解解 误差(%)0010100102030405060708090100110120130140150160170分析结果：当k Y兀/2时，P Y Pe，除9o = 0外没有其他解，即直线平衡是唯一的形式，也就是 此时直线平衡是稳定的平衡状态。当k A兀/2时，P A p,此时柱子有两种平衡状态，即除不稳定的直线平衡形式外， 还存在稳定的弯曲平衡形式。此荷载位移曲线被称为后屈曲平衡路径或第二平衡路径，它与 原始平衡路径的交点成为分支点。4结束语(1) 小挠度和大挠度弹性理论分析都指出，对于两头铰接的轴心受压构件，看成用于端部的荷载P小于欧拉荷载p时，构件处于直线的稳定平
11、衡状态。当P等于p时将出现分岔点，小挠度理论只能指出构件处于平衡状态，可以给出分岔点水平线和构件初始屈曲后变 形曲线的形状，可是不能肯定挠度值；当P大于P以后小挠度理论只能说明直线状态是不 E稳定的，而大挠度理论不仅能说明构件屈曲以后仍处在稳定平衡状态，而且还能给出荷载与 挠度的关系式，这是一一对应的肯定的数值。（2）大挠度理论分析取得的屈曲后的荷载虽然略高于屈曲荷载，可是当P超过p的千 分之一时，挠度将达到构件长度的3%，从而使构件的中央截面产生较大的弯曲应力。即便对 于较细长的构件，这是也是早进入了弹塑性状态，因此在中点挠度荷载位移曲线中出现曲线 的下降段，致使构件提前失稳。所以，轴心受压构件的屈曲后强度是不能被利用的。（3）也说明了按小挠度假定所作的线性理论分析所得结果是合理的，这样构件的屈曲荷 载才是实际意义。参考文献1 吕烈武，沈世钊,沈祖炎，等.钢结构稳定理论M .北京：科学技术出版社，1983 .2 陈骥.钢结构稳定理论与设计M.北京：科学出版社，2008.3 王新敏.ANSYS工程结构数值分析.北京：人民交通出版社，2007.
轴心压杆大挠度弹性屈曲分析
