高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法三步法解一元二次不等式素材新人教A版必修5

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1、3.2一元二次不等式及其解法“三步法”解一元二次不等式利用一元二次不等式、二次函数、一元二次方程之间的关系，三步可求出一元二次不等式的解集，且简便快捷。第一步求出一元二次不等式对应的一元二次方程的根;第二步作出一元二次不等式对应的二次函数图象;第三步根据图象写出不等式的解集。例1解不等式。解析：方程的解为。函数的图象如图1。因不等式的解为抛物线在x轴下方对应点的横坐标，所以可得不等式的解集为。点评：作相关二次函数的图象时，可不必作出y轴，因为求解一元二次不等式，只需找出抛物线在x轴上（或下）方对应点的横坐标，与y轴的位置并无关系。例2解不等式。解析：显然方程无解。函数的图象如图2。因不等式的解

2、为抛物线在x轴上方对应点的横坐标，所以不等式的解集为。点评：对于二次项系数为负的不等式可转化为正系数的情况研究，作二次函数图象时必须弄清楚抛物线的开口方向及抛物线与x轴的交点坐标。例3解关于x的不等式。解析：原不等式等价于。方程的根为x=a或，抛物线开口向上。当a=0或a=1时，如图3，原不等式的解集为。当时，如图4，原不等式的解集为。当a1或a0时，如图5，原不等式的解集为。点评：熟练后只需在大脑中想象出二次函数图象，不必真正画出来。例4解关于x的不等式。解析：原不等式变形为当a=0时，原不等式的解为x1当a0时，抛物线开口向上，原不等式的解为。点评：解含参数的一元二次不等式问题需要讨论，运

3、用“三步法”解一元二次不等式，分类标准的确定变得轻松自然，容易理解。例5已知不等式的解集是，求不等式的解集。解析：不等式的解集为，由函数性质知a0.2、为方程的两个根。则，可得不等式变为，由a0，得，所以其解集为。点评：若能发现方程与方程的根互为倒数，a0，想象图象，求解更快捷。有兴趣的同学不妨试一试。例6已知a0，二次函数。设的解集为A，又已知，若，求实数a的取值范围。解析：由，知二次函数的图象必与x轴相交，其开口方向不确定，需要讨论。当a0时，二次函数的图象开口向上，对称轴，由，如图6知从而，可得。当a0时，二次函数的图象开口向下，对称轴，由，如图7知，从而，可得a2。综上，使成立的实数a的取值范围为（，2）（）。点评：若求出方程的根，将得到无理不等式，情况复杂难解。例7若函数的值域为1，7，试确定x的取值范围。解析：设，由函数的值域为1，7，得。作出的图象，如图8。由题设知，得，所以x的取值范围是。点评：对于不等式，也可以转化为解不等式组，但不如上述解法直观明了。