解直角三角形的方法技巧

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1、解直角三角形的方法技巧解直角三角形的方法技巧解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角的大小和面积等。首先要明确解直角三角形的依据和思路：在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数的定义。因此，锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础。每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，实际上就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解方程来求解。例1.如图1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且，求AB的长。图1思路1：所求AB是的

2、斜边，但在中只知一个锐角A等于，暂不可解。而在中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解入手。解法1：在中，因，且，AE1故在中，由，得在中，由，得思路2：观察图形可知，CD、DE分别是和斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。解法2：同解法1得在中，由，得在中，由，得点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。例2.如图2，在中，AD是BC边上的中线。（1）若，求AD的长。（2）若，

3、求证：图2分析：（1）由AD是BC边上的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在中求解AD。而在中，由已知BC边和可以先求出AC，从而使可解。（2）和分别为和中的锐角，且都以直角边AC为对边，抓住图形的这个特征，根据锐角三角函数可以证明解：（1）在中，在中，（2）证明：在中，由，得在中，由，得故，又因BC2DC，故点拔：在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形，如图2，它是含有两个直角三角形的图形。随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现出许多不同的解直角三角形问题。例3.如图3，在中，AD是的平分线。（1）若，求（2）在（1）的条件下，若BD4，求图

4、3分析：在（1）中已知AD是的平分线，又知AB、BD这两条线段的比为，应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到中，先求出即可求得。解：（1）由AD是的平分线，得，即在中，由，得，（2）由，得由，得。又点拨：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，从而找到解决问题的突破口。例4.如图4，在中，D为BC上一点，BD1，求AB。图4分析：已知的角告诉我们，和都是特殊的直角三角形，抓住这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解解：在中，设，由，可知，得，在中，由，BD1，得得点拨：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系布列方程，还要熟练地掌握特殊锐角的三角函数值，以使解答过程的表述简便。训练题：如图5，在中，D、F分别在AC、BC上，且，求AC。图5（提示：是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC又为所求，已知的另外两边都在中，且，即是等腰三角形，因此，可以过D作，从而找到解题思路。由于DE、AF同垂直于BC，可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC）第 5 页 共 5 页