几何概型经典练习题

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1、几何概型题目选讲1在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为() A.B.C.D.解析：设ACx，由题意知x(12x)320x4或8x12，所求事件的概率P.2已知圆C：在圆上任取一点P,设点P到直线的距离小于2的事件为A求P(A)的值。解：P(A)= 3设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 解析：坐标系中到原点距离不大于2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上，表示的区域D为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为.4在区间0,9上随机取一实数x，则该实数

2、x满足不等式1log2x2的概率为_解析：由1log2x2，得2x4，根据区间长度关系，得所求概率为.5在6,9内任取一个实数m，设f(x)x2mxm，则函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率等于_解析：函数f(x)的图像与x轴有公共点应满足m24m0，解得m4或m0，又m6,9，故6m4或0m9，因此所求概率P.6甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率解析：

3、(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0x24,0y24且yx4或yx4.作出区域设“两船无需等待码头空出”为事件A，则P(A).(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足xy2或yx4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域P(B). 7.知k2,2，则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2y2kx2yk0相切的概率等于 【来【解析】.圆的方程化为，5kk240，k1.过A(1,1)可以作两条直线与圆相切，A(1,1)在圆外，得，k0，k1.过A(1,1)可以作两条直线与圆2(y1)21相切，A(1,1)在圆外，得2(1

4、1)21，k0，故k(1,0)，其区间长度为1，因为k2,2，其区间长度为4，P.9已知集合Ax|3x1，B.(1)求AB，AB；(2)在区间(4,4)上任取一个实数x，求“xAB”的概率； (3)设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“baAB”的概率解：(1)由已知Bx|2x3，ABx|2x1，ABx|3x(ab)2恒成立”的概率解：(1)由题意可知：，解得n2. (2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(

5、22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个P(A).记“x2y2(ab)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2y24”，(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域(x，y)|0x2,0y2，x，yR，而事件B所构成的区域B(x，y)|x2y24，(x，y)，P(B)1.11、“已知圆C：x2y212，设M为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN.”求弦MN的长超过2的概率解：如图，在图上过圆心O作OM直径CD.则MDMC2.当N点不在半圆弧CM上时，MN2.所以P(A).1

6、2(1)已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A，则AA的长度小于半径的概率为_(2)在RtABC中，BAC90，AB1，BC2.在BC边上任取一点M，则AMB90的概率为_解析：(1)如图，满足AA的长度小于半径的点A位于劣弧BA上，其中ABO和ACO为等边三角形，可知BOC，故所求事件的概率P.(2)如图，在RtABC中，作ADBC，D为垂足，由题意可得BD，且点M在BD上时，满足AMB90，故所求概率P.答案：(1)(2)13在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥SAPC的体积大于的概率是_解析：如图，三棱锥SABC的高与三棱锥SAPC的高相同作PMAC于M，

7、BNAC于N，则PM、BN分别为APC与ABC的高，所以，又，所以时，满足条件设，则P在BD上，所求的概率P.14在区间0,1上任取两个数a，b，则函数f(x)x2axb2无零点的概率为 解析：要使该函数无零点，只需a24b20，即(a2b)(a2b)0.a，b0,1，a2b0，a2b0.作出的可行域，易得该函数无零点的概率P.15设AB6，在线段AB上任取两点(端点A、B除外)，将线段AB分成了三条线段(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P.(2)设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6xy，故全部试验结果所构成的区域为即所表示的平面区域为OAB.若三条线段x，y,6xy能构成三角形，则还要满足即为所表示的平面区域为DEF，由几何概型知，所求概率为P.