实数基本定理的相互证明

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除实数基本定理的相互证明袁 文 俊（广州大学数学与信息科学学院院，广东 广州 510405） 【摘要】本文给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。 【关键词】实数基本定理；等价性；数列；极限；收敛。【中图分类号】O 174.5 【文献标识码】 A1. 引 言实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性，实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。本文主要给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。2. 实数基本定理的陈述 定理1(确界原理) 非空有上(下)

2、界数集，必有上(下)确界。定理2(单调有界原理) 任何单调有界数列必有极限。定理3( Cantor区间套定理) 若是一个区间套, 则存在唯一一点，使得。定理4(Heine-Borel有限覆盖定理) 设是一个闭区间，为上的一个开覆盖，则在中存在有限个开区间，它构成上的一个覆盖。定理5（Weierstrass聚点原理） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。定理6（Bolzano致密性定理） 有界无穷数列必有收敛子列。定理7(Cauchy收敛准则) 数列收敛对任给的正数，总存在某一个自然数，使得时，都有。定理8(Dedekind准则，或称实数连续性定理) 设序对(,)为R的一个分划，则或者有最大元，

3、或者有最小元。由于多数教材中Dedekind分划定理是作为选学内容， 因此在证明等价性时我们将分两部分进行。在第3节给出定理1到定理7之间的两两推证， 而在第4节证明定理8与其它7个命题的等价性。限于篇幅，对有关概念和某些命题的简单情形(如Cauchy收敛准则的必要条件，Cantor区间套定理中点的唯一性证明，数列中仅有有限个不同数等)在本文中不予介绍和证明，读者若有兴趣，可以自己给出或可参见文献(3, 4)等。 我们注意到，实数完备性基本定理等价性的互证，几乎都可以利用二等分构造区间套的方法证明，为了开阔视野，加深对这部分内容的理解，我们尽可能利用二等分法以外的方法证明定理之间的等价性。作者

4、简介：袁文俊（1957-），男，教授，理学博士，主要从事函数论及其应用的教学与研究。基金项目：教育部重点资助项目的子项目(03A08); 广东省新世纪高校教改资助项目(02042)。3. 定理1到定理7的互证 (1) 定理1定理2(确界原理单调有界原理) 证 不妨设为单增有上界数列，即，有。 记，则由确界原理知有上确界，不妨记为，则 ，从而，使得成立。因为是单调递增数列，所以，有 。故 。 (2) 定理定理3（确界原理Cantor区间套定理） 证 因为，所以。则显然数列、皆为有界数列，且每个都是的上界，每个都是的下界所以由确界原理知, 使得， 使得。所以。又因为，所以。 记则即有使得。 假设还

5、有另外一点且，则 即。从而唯一性得证。 (3) 定理1定理4(确界原理Heine-Borel有限覆盖定理) 证 设是有闭区间的任一开覆盖。令 可以被有限覆盖，。因为，所以必含有中的点，即覆盖。即，且有上界。由确界原理知, 。下面证明: 为此取开区间，故使，。由于有有限覆盖，故添上，仍有有限覆盖，从而。 现证: 若，因，故则。这与是的上确界矛盾，故。 (4) 定理1定理5(确界原理Weierstrass聚点原理)证 设是直线上的有界无限点集，则由确界原理有。若中有一点不是的孤立点，则显然就是的一个聚点。否则，令中仅有有限个数小于。显然非空且有上界。令，则由的构造方法可知，必有，即中有无限个数小于

6、大于。所以中含有的无限个数，故是的聚点。 (5) 定理1定理6(确界原理Bolzano致密性定理) 证 设是有界无穷数列，则由(4)的证明可知，有聚点。再由聚点的等价定义可知，在中存在点列以该聚点为极限。再将此收敛的点列作些技术性处理就可得到的一个收敛的子列。 (6) 定理1定理7(确界原理Cauchy收敛准则)证 设为Cauchy基本列，则 有。易证为有界列。由确界原理可知，。Case(1) 若或者。不妨设则使得。设，则必使得 。令，则。即使得当时，有。由于为Cauchy基本列，所以使得有故。 Case(2)若且，则令，。若有Case(1) 的条件，则可知收敛。否则令。依次递推，若有Case

7、(1)的条件成立，则可知收敛。否则，有最大最小值，则得两个数列，和，。其中单增、单减且都有界。记，则，使得，有。所以，使得有 。故当时收敛。 (7) 定理2定理1(单调有界原理确界原理) 证 设是非空有上界集合，不妨设中有一个正数。现构造函数列: Step(1) 由于有上界，所以中的数必有一个最大的整数部分，记为。 记集合 ，则，有。 Step(2) 设中各数的一位小数中最大是为。记集合 ，则，有。 Step(n) 设中第位小数中最大的为记集合数为，则，有从而得到一数列记为其中，且单增有上界，故由单调有界原理知收敛。不妨记为，有，所以为的一个上界。 现证:因为使得有，即。所以由上确界定义知。(

8、8) 定理2定理3(单调有界定理Cantor区间套定理)证 因为，所以有从而可见数列单增有上界，数列单减有下界故由单调有界定理可知 使得，使得。且有有，所以 ，于是成立又因为，所以。记，从而存在性得证。 (9) 定理2定理4(单调有界原理Heine-Borel有限覆盖定理)证(反证法) 假设闭区间有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖。 定义性质P： 不能用中有限个开区间覆盖。Step(1) 将等分为两个子区间，则至少有一个具有性质，不妨记该区间为，则 ;Step(2) 将等分为两个子区间，则至少有一个具有性质，不妨记该区间为，则 ;Step(n) 将等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P

9、，不妨记该区间为，则 ;由此可得一个区间套且满足 。 (3.1)所以为单增有上界数列，为单减有下界的数列。所以由有单调有界原理可知使得，。由(3.1)易知，。从而，有，这与具有性质矛盾。这就证明了HeineBorel有限复盖定理。(10) 定理2定理5(单调有界原理Weierstrass聚点定理)证 设是直线上的有界无限点集。容易证明结论一：若无最大数，则从中去掉任意有限点集所得无限点集仍然无最大数。 现在我们从中挑选单调数列如下： Case(1) 当无最大数时，由结论一知，对于， 使；因仍然是无最大数的无限集, 由结论一知， 使；此过程可以无限继续下去，于是就从中找到了一个单调递增数列。 C

10、ase(2)当有最大数时，考察，若它无最大数， 则由Case(1) 讨论可得一个单调递增数列；若有最大数，显然有; 此过程可以无限继续下去，于是就从中找到了一个单减数列或单增数列。由单调有界原理知，从中挑选单调数列有极限。再由聚点的等价定义知，至少有一个聚点。 (11) 定理2定理6(单调有界原理Bolzano致密性定理)证 设为一有界无穷点列，则对(10)的证明做点技术性处理，就是保证挑选的数列构成的子列即可。事实上因为每个都含有的无限多项，所以必存在，如果无最大数。(12) 定理2定理7(单调有界原理Cauchy收敛准则)证 设为一Cauchy基本列，则易证有界，由(10) 和(11)的证

11、明可知存在的一个子列单调且有界，由单调有界原理可知，有极限。参照的证明就知道收敛。(13) 定理3定理l(Cantor区间套定理确界原理)证明：设是有上界集合，不妨设是的一个上界，取构造区间，定义性质 闭区间满足且。仿(9)的证明对按性质，用二等分法，可以构造出区间套，其中每个为的上界。由Cantor区间套定理知存在唯一的且为的一个下界为的一个上界，使得当时，有。故使得，故为的上确界。 (14) 定理3定理2(Cantor区间套定理单调有界原理)证 设是单调递增有上界的数列，则存在一个区间，使得，显然，有。定义性质 含有中无限多项。仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质的区间套。故由C

12、antor区间套定理可知，存在唯一的且中包含中的无限多项。 由于是单调递增的，所以包含中某一项后的所有项。由于为的一个上界，所以。所以。(15) 定理3定理4(Cantor区间套定理Heine-Borel有限覆盖定理)证(反证法) 假设闭区间有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖。 定义性质： 不能用中有限个开区间覆盖。 仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质的区间套。故由Cantor区间套定理可知，存在唯一的，从而，有，这与具有性质矛盾。这就证明了HeineBorel有限复盖定理。(16) 定理3定理5(Cantor区间套定理Weierstrass聚点定理)证 设为直线上的有界无限

13、点集，不妨设。 定义性质 含有中无限多个点。仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质的区间套且满足(3.1)。故由Cantor区间套定理可知，存在唯一的。由(3.1)从而可知，有。即，有有无限点，所以即为的一个聚点。(17) 定理3定理6(Cantor区间套定理Bolzano致密性定理)证 设为有界数列，不妨设。定义性质含有数列的无限多项。 仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质的区间套，且满足(3.1)。故由闭区间套定理可知存在唯一的。下证是某个子列的极限。事实上因为每个都含有的无限多项，所以必存在又存在且，此过程可以无限进行下去，于是得到一个子列且有。由 (3.1)易知。(1

14、8) 定理3定理7(Cantor区间套定理Cauchy收敛准则)证 设为Cauchy基本列，即有 ，即。定义性质 有。则 Step(1): 令，则使得具有性质，不妨记此区间为。 Step(2): 令， 则使得具有，不妨记此区间为。 Step(k): 令，则 使得具有，不妨记此区间为。由此可得一闭区间套满足(i) ; (ii) ; (iii) 具有性质，即含有某个后的所有项。由闭区间套定理可知存在唯一的。从而。(19) 定理4定理1(Heine-Borel有限覆盖定理确界原理)证 设是有上界的非空数集，则使得有，取，得到区间 。反证法，假设没有上确界，则，使得满足条件：若是的上界，那么中的点都是

15、的上界；若是中的点，那么中不存在的上界。从而得的一个开覆盖 。 (3.2) 由HeineBorel有限覆盖定理知，存在的一个有限子覆盖 。 (3.3)因此必有一个， 不妨设为，包含。因为是的一个上界，故内的元素全是的上界。从而与相交的中的邻域的点也必为的上界。依次类推下去，将有为的一个上界，这与矛盾，故具有上确界。(20) 定理4定理2(Heine-Borel有限覆盖定理单调有界定理)证 不妨设为单调递增的有上界的无限数列，即存在闭区间使得则。若收敛于，则必有。假设都不是的极限，则使得使，即或者。 Case(1) 若，则至多只含有有限多项。 Case(2) 若，则也只能含有的有限多项，因为，由

16、知。综上可知只含有的有限项。因此，可得的一个开覆盖(3.2)记为。由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在的一个有限子覆盖(3.3)记为。因为中每一个中只含有的有限多个数，所以也只含有的有限多个数，这与是无限数列矛盾。故必存在是的极限。(21) 定理4定理3(Heine-Borel有限覆盖定理Cantor区间套定理) 证(反证法) 假设命题不成立，则使得至少有一个与不相交，那么有。从而得的一个开覆盖(3.2)记为。由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在的一个有限子覆盖(3.3)记为，所以当时，。这显然与矛盾。故假设错误，原命题成立。(22) 定理4定理5(Heine-Borel有限覆

17、盖定理 Weierstrass聚点原理)证(反证法) 假设原命题不成立，则由于是直线上的有界无限点集，即存在闭区间，使得， 所以只含中的有限多项。从而得的一个开覆盖(3.2)记为。由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在的一个有限子覆盖(3.3)记为。所以只含有中的有限多个点，这显然与是矛盾的,故可知假设错误,原命题成立。(23) 定理4定理6(Heine-Borel有限覆盖定理Bolzano致密性定理)证(反证法) 设是有界无限数列，即使得，假设中任一子列(为方便起见，用表示该子列。由(10) 的证明可不妨设是单调递增子列) 都不收敛，则都不是的极限，即使得。则容易证明含有的有限多项。这

18、是因为 ， 有。 Case(1) 若属于的上界; Case(2) 若不属于的上界。 从而得的一个开覆盖(3.2)记为。由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在的一个有限子覆盖(3.3)记为。所以只含有中的有限多个点，这显然与为无穷数列矛盾。故有界无穷数列必含有收敛子列。(24) 定理4定理7(Heine-Borel有限覆盖定理Cauchy柯西收敛准则)证(反证法) 假设柯西列不收敛，易证为有界无穷数列。即存在闭区间使得。则使得中只含有中的有限多项(否则，若都有中的无限多项，则易证收敛，这与假设矛盾)。从而得的一个开覆盖(3.2)记为。由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在的一个有限子

19、覆盖(3.3)记为。所以只含有中的有限多个点，这显然与是矛盾的, 假设错误, 因此必收敛。(25) 定理5定理1(Weierstrass聚点原理确界原理)证 设是一个有上界数集，则使得有，取构造区间。定义性质 区间中至少有一个数属于且区间的右端点为的一个上界。仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质的区间套且满足(3.1)。 显然且单调递减有下界。我们证明。事实上，不妨设有无穷个数，由Weierstrass聚点原理知有聚点。因此，使得且。由于单调递减，则易证 有 。由于都为S的上界，所以也为的上界。由(3.1) 易证。故有 。从而可知， 。即，故为的上确界。(26) 定理5定理2(Wei

20、erstrass聚点原理单调有界定理)证 不妨设是单调有上界无穷数列，即，使得。故由Weierstrass聚点原理可知为的聚点，即含有中的无限多项。由单调性易得知外最多有中的有限项，因此我们证明了。(27) 定理5定理3(Weierstrass聚点原理Contor区间套定理)证 因为，所以为一单调递增有界数列。故仿上题证明，Weierstrass聚点原理可知为的聚点且。又由(3.1) ，单调递减易证。故有。(28) 定理5定理4(Weierstrass聚点原理Heine-Borel有限覆盖定理)证(反证法) 假设闭区间有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖。 定义性质： 不能用中有限个开区间

21、覆盖。 仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质的区间套。故由Weierstrass聚点原理可知为的一个聚点由Cantor区间套定理可知，存在唯一的，从而，有，这与具有性质矛盾。这就证明了HeineBorel有限复盖定理。(29) 定理5定理6(Weierstrass聚点原理Bolzano致密性定理)证 设为有界无穷数列(若有无限多相等的项，则命题显然成立)。Weierstrass聚点原理可知，至少有一个聚点，则由聚点的定义： Step(1) 令 ，则且。Step(2) 令 且 。 Step(k) 令 且 。从而得到的子列使得当时有。即故 。(30) 定理5定理7(Weierstrass

22、聚点原理Cauchy收敛准则)证 不妨设是无穷Cauchy基本列，即有，使得有。易证有界。由Weierstrass聚点原理可知至少有一个聚点必含有的无限多项。从而, 任取中满足的某项，即可得到 。故。(31) 定理6定理1(Bolzano致密性定理确界原理) 证 仿(25)的证明。 (32) 定理6定理2(Bolzano致密性定理单调有界定理) 证 不妨设是单调有上界无穷数列。则由Bolzano致密性定理可知存在一个收敛子列，其极限记为。即知含有的无限多项。由单调性易得知外最多有的有限项，因此我们证明了。(33) 定理6定理3(Bolzano致密性定理Cantor区间套定理)证 因为，所以为一

23、单调递增有界数列。故由Bolzano致密性定理仿上题证明， 。又由(3.1) ，单调递减易证。故有。(34) 定理6定理4(Bolzano致密性定理Heine-Borel有限覆盖定理)证(反证法) 假设区间不能被开覆盖 有限覆盖。定义性质 不能被有限个开区间覆盖。利用二等分法容易得到一个具有性质的区间套满足(3.1)。由于都是有界数列，故由Bolzano致密性定理知，存在子列，使得 ，。由(3.1)易证。从而，使得有。从而，这与具有性质矛盾。这就证明了HeineBorel有限复盖定理。(35) 定理6定理5(Bolzano致密性定理Weierstrass聚点定理)证 设为直线上有界无穷点集，则

24、由Bolzano致密性定理可知必存在一个序列，使得, 则即为的一个聚点。 (36) 定理6定理7(Bolzano致密性定理Cauchy收敛准则)证 不妨设是无穷Cauchy基本列，即有，使得有。易证有界。由Bolzano致密性定理可知至少有一个收敛子列，其极限记为。即知含有的无限多项。从而, 任取中满足的某项，即可得到 。故。(37) 定理7定理1(Cauchy收敛准则确界原理) 证 设是一个有上界非空数集，则使得有，取构造区间。定义性质 区间中至少有一个数属于，且区间的右端点为的一个上界。仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质的区间套且满足(3.1)。则由(3.1)可知， 时，有。由

25、于单调递增，中的每一个元素都为的上界。故，则有 。故由Cauchy收敛准则可知收敛，记其极限为。由(3.1) 易证。因此， 有 。由于都为S的上界，所以也为的上界。从而可知， 。即，故为的上确界。(38) 定理7定理2(Cauchy收敛准则单调有界定理)证 不妨设为单增有上界数列。假设无极限，Cauchy收敛准则可知， 但是 。由的任意性，不难得到的一个严格单增的子列，满足 。由于， 所以当时，有。 这与为有界数列矛盾， 故收敛。(39) 定理7定理3(Cauchy收敛准则Cantor区间套定理) 证 设是Cantor区间套。则由 可知， 时，有。由于单调递增，中的每一个元素都为的上界。故，则

26、有 。故由Cauchy收敛准则可知收敛，记其极限为。由(3.1) 易证。由，的单调性可知有 。(40) 定理7定理4(Cauchy收敛准则Heine-Borel有限覆盖定理)证(反证法) 假设闭区间有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖。 定义性质： 不能用中有限个开区间覆盖。 仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质的区间套。仿(39)的证明可知，从而，有，这与具有性质矛盾。这就证明了HeineBorel有限复盖定理。(41) 定理7定理5(Cauchy收敛准则 Weierstrass聚点原理)证 设为直线上有界点集，则使得。 定义性质 至少含有中的无限多个点。 利用二等分法容易构造

27、出具有性质的区间套满足(3.1) 。由性质任意挑选中不同的点构成的数列使得。，由(3.1)和极限定义知， 有 。由定义知是Cauchy列。由Cauchy收敛准则知， 使得 。从而可知即为的一个聚点。(42) 定理7定理6(Cauchy收敛准则Bolzano致密性定理)证 设为有界无限点集。则由(10)，(11)的证明，从中可抽出一单调有界子列。对该子列重复(38)的证明，可以得知该子列收敛，故必存在一个数列子列。4. 定理8与前7个定理的互证 (43) 定理1定理8(确界原理 Dedekind准则)证 设(,)是的一个划分，则为非空有上界数集，为非空有下界数集，则由确界原理可知。若则有最大元，

28、否则，则由上确界的定义可知，是所有上界中最小的，即=为的最小元。(44) 定理2定理8(单调有界定理 Dedekind准则)证 设是的一个划分，因为非空，故且，构造区间。定义性质 存在一点属于，但区间的右端点属于。仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质的区间套且满足(3.1)。所以为单增有上界数列，为单减有下界的数列。所以由有单调有界原理可知使得，。由(3.1)易知，。又由和的单调性可知都有。不难证明是的一个上界，且是的一个下界。若，则显然为的最大元，否则，则同理为的最小元(45) 定理3定理8(Cantor区间套定理 Dedekind准则)证 仿上题的证明，构造出区间套，其中。则由区

29、间套定理可知，存在唯一的实数，且。由和的单调性不难证明是的一个上界，且是的一个下界，若，则显然为的最大元，否则，则同理为的最小元。(46) 定理4定理8(Hein-Borel有限覆盖定理 Dedekind准则)证(反证法) 因为非空，所以，构造区间。假设无最大元且无最小元，则，必存在，使得，或(如若不然，即，使得，且，则由于，不难证明或为的最大元或为的最小元)。从而得的一个开覆盖(3.2)记为。由Heine-Borel有限覆盖定理可知存在的一个有限子覆盖(3.3)记为。因此必有一个，不妨设为，包含。因为不属于，故(定义为性质)。从而与相交的中的邻域也具有性质。依次类推下去，将有包含的中的邻域也

30、应具有性质， 这与矛盾， 故或有最大元或。(47) 定理5定理8(Weierstrass聚点原理 Dedekind准则)证 仿(44) 的证明，构造出区间套，其中。由Weierstrass聚点原理可知，和都至少存在一个聚点分别记为。容易证得，则显然。若，则由的取法可知，为的最大元; 若，则由的取法可知，为的最小元。(48) 定理6定理8(Bolzano致密性定理 Dedekind准则)证 仿(44) 的证明，构造出区间套，其中。由Bolzano致密性定理可知，和各自至少存在一个收敛子列。又由于和单调，容易证明和收敛。再由(3.1)可知，和收敛于同一点，且则不难证明或为的最大元，或为的最小元。(

31、49) 定理7定理8(Cauchy收敛准则 Dedekind准则)证 仿(44) 的证明，构造出区间套，其中。仿(44) 的证明可知，和收敛于同一点，且。，则由，的单调性及，由柯西收敛准则易证，收敛于同一点，仿(47) 的证明可知或为的最大元，或为的最小元。(50) 定理8定理1(Dedekind准则确界原理) 证明：设为有上界集合。若为的上界，那么容易知道，。否则，记的上界集为，令。显然，且容易知道， 构成的一个分划。由Dedekind准则和所定义的分化可知，必有最小元。若，使得都有，则。因为是的最小元，所以矛盾。故，使得，即为的上确界。 (51) 定理8定理2(Dedekind准则单调有界

32、原理) 证 不妨设为单调递增有上界数列，记的所有上界为且，则不难证明构成的一个分划，由Dedekind准则和所定义的分化可知，必有最小元。仿(44) 的证明可知，含有数列中的数。由单调性易得知外最多有数列中的有限项，因此我们证明了。(52) 定理8定理3(Dedekind准则Cantor区间套定理) 证 记的上界集为，令，不难验证为的一个分划，则由Dedekind准则可知，或者有最大元，或者有最小元。不妨设有最大元，则因为，所以，又因为故，从而有。 (53) 定理8定理4(Dedekind准则Heine-Borel有限覆盖定理) 证(反证法) 假设闭区间有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖

33、。 定义性质： 不能用中有限个开区间覆盖。 仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质的区间套。仿(52)的证明可知，。从而由(3.1)可知，有，这与具有性质矛盾。这就证明了HeineBorel有限复盖定理。(54) 定理8定理5(Dedekind准则 Weierstrass聚点原理)证 设为直线上有界无限点集，则，使得。 定义性质 含有中的无限个点。 仿(9)的证明，利用二等分法容易构造出满足性质的区间套。仿(52)的证明可知，。从而由(3.1)可知，有。由具有性质及聚点的定义可知，即为的一个聚点。(55) 定理8定理6(Dedekind准则Bolzano致密性定理)证 设为有界无穷点集

34、。仿(11)的证明，可知存在一个单调子列。仿(51)的证明，可知这子列收敛。这就证明了Bolzano致密性定理。(56) 定理8定理7(Dedekind准则Cauchy收敛准则)证明：设满足，有。不难证明有界。仿(54) 证明的不难证明，使得中含有的无限多项，即。从而有故。致谢 感谢学生叶飞、陈国锋、张静娴、陈丽红在撰写学位论文时作了大量的工作，包括查阅文献、输入文本以及制作多媒体课件等。 参考文献1 邝荣雨，薛宗慈，陈平尚，等. 微积分学讲义M. 北京：北京师范大学出版社，1989. KUANG Yurong,XUE Zongci,CHEN Pingshang,et al. Calculus

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