4.5标准正交基与正交矩阵

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1、4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英黄凤英黄凤英 信息科学与计算学院信息科学与计算学院4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英 定义定义1 设有设有 n 维向量维向量,yyyy,xxxxnn2121令令 x,y=x1y1+x2y2+xnyn,x,y 称为向称为向量量 x 与与 y 的的内积内积.一、内积的定义一、内积的定义4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英内积是向量的一种运算，运算结果是一个实数内积是向量的一种运算，运算结果是一个实数阵记号表示阵记号表示.x 与与

2、y 都是列向量，有都是列向量，有 x,y=xTy=yTx.这种运算也可用矩这种运算也可用矩,)111(T,x,)421(T,y 例如：例如：4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英 x,y=y,x;x,y=x,y;x+y,z=x,z+y,z;x,x 0,且当且当 x 0 时有时有 x,x 0.下列性质：下列性质：二、内积的性质二、内积的性质设设 x,y,z 为为 n 维向量，维向量，为实数，则内积有为实数，则内积有4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英 在解析几何中，我们曾引进向量的数量积在解析几何中，我们曾引进向量的数量积度和夹角度和夹角.广广.并且

3、反过来，利用内积来定义并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长维向量的长念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推维向量没有维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概维向量那样直观的长度和夹角的概所以所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广维向量的内积是数量积的一种推广.但但 n(x1,x2,x3)(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3.且在直角坐标系中，有且在直角坐标系中，有 x y=|x|y|cos ,4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英 三、向量的长度和夹角三、向量的长度和夹角 1.长度的定义长度的定义

4、定义定义2 令令,22221nxxxxxx|x|称为称为 n 维向量维向量 x 的的长度长度(或模或模).当当|x|=1 时时,称称 x 为为.4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英 当当 x 0 时时,|x|0;当当 x=0 时时,|x|=0.|x|=|x|;|x+y|x|+|y|.xx是一个单位向量，称这是一个单位向量，称这当当 x 0 时，时，一运算为将向量一运算为将向量x标准化标准化或或单位化。单位化。向量的长度具有下列性质向量的长度具有下列性质:,)111(T,x 例如：单位化例如：单位化x4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英3.向量的夹

5、角向量的夹角 向量的内积满足向量的内积满足施瓦茨不等式施瓦茨不等式 x,y 2 x,x y,y ,由此可得由此可得1yxx,y(当当|x|y|0 时时),yxx,y cos令令4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英于是有下面的定义于是有下面的定义:当当|x|0,|y|0 时时,yxx,y arccos称为称为 n 维向量维向量 x 与与 y 的的夹角夹角.量正交量正交.x=0,则则 x 与任何向量都正交与任何向量都正交,即零向量与任何向即零向量与任何向当当 x,y =0 时时,称向量称向量 x 与与 y.显然显然,若若讲解书例讲解书例14.5 标准正交基与正交矩阵标准正交

6、基与正交矩阵黄凤英黄凤英 1.正交向量组的定义正交向量组的定义定义定义 若非零向量组若非零向量组a1,a2,am两两正交两两正交,即即 ai,aj=aiTaj=0 (ij;i,j=1,2,.m)两两正交的非零向量两两正交的非零向量,则则 a1,a2,am线性无关线性无关.定理定理 1 若若 n 维向量维向量 a1,a2,am是一组是一组则向量组称为则向量组称为正交向量组正交向量组.若每个向量为单位向量，若每个向量为单位向量，四、正交向量组的性质四、正交向量组的性质称此正交向量组为称此正交向量组为单位正交向量组单位正交向量组。4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英1.定义定

7、义 设设 a1,a2,an 是是a2,an 是是 Rn 的一个的一个标准标准正交基正交基.如果如果 a1,a2,an 为单位正交向量组，则称为单位正交向量组，则称 a1,五、正交基与标准正交基五、正交基与标准正交基Rn 的一个基的一个基4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英 设设 1,2,r 是向量空间是向量空间 V 的一个基的一个基,要要正交化正交化:我们可以用以下方法把我们可以用以下方法把 1,2,r 规范规范.1,2,r 等价等价.这样一个问题这样一个问题,称为称为正交的单位向量正交的单位向量 1,2,r,使使 1,2,r 与与求求 V 的一个标准正交基的一个标准正

8、交基.也就是要找一组两两也就是要找一组两两x xx xx xx x x xx x4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英取 b1=a1;1112122b,bb,abab.b,bb,abb,bb,abb,bb,ababrrrrrrrrr111122221111容易验证容易验证 b1,br 两两正交两两正交,且且 b1,br 与与 然后只要把它们单位化然后只要把它们单位化,即取即取a1,ar 等价等价.4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英,bb,bb,bbrrr111222111就得就得 V 的一个标准正交基的一个标准正交基.bk 与与 a1,ak 等价

9、等价.等价等价,还满足对任何还满足对任何 k(1 k r),向量组向量组 b1,.它不仅满足它不仅满足 b1,br 与与 a1,ar向量组向量组 b1,br 的过程称为的过程称为施密特施密特(Schimidt上述从线性无关向量组上述从线性无关向量组 a1,ar 导出正交导出正交4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英 综上所述综上所述,求向量空间求向量空间 V 的一个标准正交基的一个标准正交基 的的 一个标准正交基一个标准正交基.步骤步骤 3:把把 正交基正交基 b1,br 单位化即得单位化即得 V正交化正交化,得正交基得正交基 b1,br;步骤步骤 2:用施密特正交化过程

10、把用施密特正交化过程把 a1,ar 步骤步骤 1:求求 V 的任意一个基的任意一个基 a1,ar;可归为以下三步可归为以下三步:4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英 设设,a,a,a014131121321试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英 已知已知R3中两个向量中两个向量,)111(T1,a 求求a3，使得使得a1,a2,a3为为R3的一组正交基，并求与的一组正交基，并求与之等价的标准正交基。之等价的标准正交基。,)121(T2,a4.5 标准正交基与正交矩阵标

11、准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英 已知已知,)111(T1,a 求一组非零向量求一组非零向量a2,a3，使，使 a1,a2,a3 两两正交两两正交.4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英 定义定义 4 设设 A 为为 n 阶实矩阵阶实矩阵,且且 ATA=E,2121021210001,cossinsincos都是正交矩阵都是正交矩阵.例如例如六、正交矩阵六、正交矩阵4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英 2.正交矩阵的性质正交矩阵的性质 (1)若矩阵若矩阵 A 为正交矩阵为正交矩阵,则则 行行(列列)向量组是两两正交的单位向量组向量组是两两正交的单位向量组.定理定理2 实矩阵实矩阵 A 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 A 的的 AT=A-1;(2)实矩阵实矩阵 A 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是|A|=;4.5 标准正交基与正交矩阵标准正交基与正交矩阵黄凤英黄凤英 .xxxPxPxyyyTTTT 设设 y=Px 为正交变换，则有为正交变换，则有.|y|=|x|说明说明经正交变换线段长度保持不变经正交变换线段长度保持不变，