数学建模数码相机定位

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1、高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（涉及电话、电子邮件、网上征询等）与队外的任何人（涉及指引教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们懂得，抄袭别人的成果是违背竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其她公开的资料（涉及网上查到的资料），必须按照规定的参照文献的表述方式在正文引用处和参照文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违背竞赛规则的行为，我们将受到严肃解决。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设立报名号的话）

2、： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指引教师或指引教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅迈进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅迈进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅迈进行编号）：数码相机定位摘 要数码相机的定位在现实生活中有着广泛的应用，从小的方面，它协助人们记录下美好的东西；从大的方面，它帮忙监管着交通秩序，合理的定位可以得到及时有效的信息。目前，对于它

3、的定位研究大都处在摄像机定位研究阶段，虽然原理存在着诸多相似之处，并且对摄像机定位的研究日益成熟，但毕竟随着信息化时代的迅猛发展，数码相机的许多新功能对其定位研究有着更深远的影响，对数码相机的定位研究也有着更深层的意义。本文针对数码相机的特性，基于目前相对成熟的摄像机定位研究，一方面对数码相机的工作原理、成像原理做了初步的简介，使读者对数码相机及其成像有大体的理解。在简介成像原理时，我们引进了目前最广泛所知的四大坐标系，在下面的分析中，针对四大坐标系间的坐标转换，尝试着找到定位相机的合理坐标系建立和求解，建立了以模型5.3.1为基本简化的模型5.3.2从空间点到像点的线性转换模型，只考虑由于相

4、机的旋转和平移变换，使得成像后的图形发生形变，从而可以根据此转换模型找到原图像特性点相应的像的特性点。由于线性转换模型可行的前提是求得旋转和平移的某些参数。为此，我们在此模型理论的基本上，通过待定系数法，先将已有的靶标的像和其原像分离开来考虑，通过椭圆中心提取法（详见5.2.2），先将图像通过Matlab读入并二值化，并设计了一种相对较大的程序，各自提取出了图像上的每个图形的中心坐标。运用这些已知中心坐标，选用四个角点A，C，D，E，通过将四点任意三点全排列的形式，将所求成果均值化，以减小误差拟定系数。并通过这两种不同措施求得的中心坐标作比较，分析了其措施的精度和稳定性。在此过程中得到了问题二

5、的以相机光学中心为坐标原点的成果，如下：A点B点C点D点E点中心坐标（单位：像素）（-68，71）（-32，70）（46，65）（26，-45）（-84，-42）第四部分是对前三问的推广，由单相机到双相机的转变。采用的思想是运用一物体通过空间上的两点总可以通过平移和旋转来实现，将一种相机的位置通过另一相机的平移和旋转距离来表达，从而得到两相机相对的位置关系，然后对相机的摆放位置进行了大体的分析，得到一种较好的摆放方式。核心字：相机定标 线性变换 椭圆中心提取 双目定位 一、问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片拟定物体表面某些

6、特性点的位置。最常用的定位措施是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一种特性点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要懂得两部相机精确的相对位置，就可用几何的措施得到该特性点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即拟定了特性点的位置。于是对双目定位，精确地拟定两部相机的相对位置就是核心，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同步用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，运用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画

7、若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，因此必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 问题：（1）建立数学模型和算法以拟定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光心，x-y平面平行于像平面；（2）有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（相应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图1所示。按顺时针方向标记各圆点为A、B、C、D和E。用一位置固定的数码相机摄得其像，如图2所示。根据给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面

8、上的像坐标, 该相机的像距（即光心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机辨别率为1024768。（3）设计一种措施检查所求得的模型，并对措施的精度和稳定性进行讨论；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和措施。 图1 靶标示意图 图2靶标的像二、基本假设2.1 在没有畸变差的状况下，一条直线通过透视变换之后在影像上的成像还是直线，不存在直线成像的不直性。2.2 当对数字照相测量而言, 标志影像至少要覆盖3 个像素才干获得子像元量测精度,实际应用中选用5 个或更多种像素三、符号阐明及概念引进3.1、符号阐明：图象矩阵中行数为i，列数为j的元素的像

9、素R：旋转矩阵T：平移矢量：一阶径向畸变系数：阈值其他符号所代表的含义具体参照下文中该符号的出处解释。3.2、透镜相光概念3.2.1光心主轴跟透镜的两面各有一种交点，对于薄透镜来说，这两个交点可以看作是重叠在一起的，这一点叫做透镜的光心用O来表达，通过薄透镜光心的光线，传播方向不发生变化3.2.2焦点平行于主轴的光线，通过凸透镜后会聚于主轴上的一点，这个点叫做凸透镜的焦点用F、F来表达 3.2.3焦距从透镜的焦点到光心的距离，叫透镜的焦距，用f来表达透镜两侧各有一种焦点，只要透镜两侧的介质相似，两个焦点对光心是对称的，两个焦距相等3.2.4物距物到镜心的距离叫物距，用u来表达3.2.5像距像到

10、镜心的距离叫像距，用v来表达四、问题分析及背景简介数码相机突破了老式光学照相暗房解决的束缚，实现了所见即所得，以电子存储设备作为摄像记录载体,也就是说，影像光线通过数码相机的镜头、光圈和快门后，并非达到胶片，而是达到这些会感光的晶片上，晶片上感到强弱的光线后，就会相应地产生不同限度的电压，并记录在可转换的硬卡上。具体的解决流程见图41。图41 数码相机中的信号解决流程CCDDSP存储器视频接口数字接口LCD主透镜光图像相机摄入的图像中的每一点在图像上的位置，和空间物体表面相应点的几何位置有关，这些位置的互相关系，由相机成像几何模型所决定，该几何模型的参数称为相机参数。这些参数必须由实验和计算决

11、定，实验和计算的过程称为相机标定。目前对数码相机标定的研究已经相称成熟，重要是在照相测量界和计算机视觉界两个研究领域。国内外许多照相测量和计算机视觉专家也提出了多种各样的行之有效的标定措施。但多种标定措施一般很难在精度、以便性和实用性上获取一套两全其美的标定措施，其中冯文灏提出的室内三维控制场标定法具有高精度性、张正友提出的基于平面格网标定措施又是最以便的。然而，还没有一种措施可以用于所有应用，不同的用途、不同的环境就也许要采用不同的标定措施。为了进一步理解相机标定，我们先来理解某些它的标定种类和典型措施，如下所示：问题一和问题二、三波及的模型是基于单个相机的标定问题。三个问题是紧密相连的，通

12、过第二问的实际分析和思想，我们可以进行推广，应用同样的思想到第一问以建立模型；而建立出的模型又可以通过某些已知数据对第二问作进一步求解，验证。而对验证的分析就是第三问的工作，对所得到的成果和在前两问中建立的模型作分析。问题四波及的模型是基于两个相机的标定问题，即双目定位法，根据两相机的标定推出相机之间的相对位置。它可以看作是单个相机标定模型的推广，可以借用前面对单个相机定位模型的分析和思想，建立一种针对双目定位的模型。五、模型的建立求解51预备知识和成像原理511坐标系的简介相机的标定将及到三个坐标系：图像坐标系、相机坐标系和世界坐标系。为了更好的论述标定模型，下面先简介这些所需的坐标系：1、

13、世界坐标系 (w为世界在英文中“world”的首字母）由于数码相机可以放在环境中的任何位置，因此还需要在环境中选择一种基准坐标系来描述数码相机的位置，并用它来描述环境中的任何物体的位置，这个叫做世界坐标系，记为。该坐标系是将被测量物体和数码相机作为一种整体来考虑的，反映的是一种三维空间的立体直观概念。坐标用来表达。2、相机坐标系 (c为中心在英文中“center”的首字母）相机坐标系是固定在数码相机上的直角坐标系，也称光心坐标系。以相机的光心O为坐标原点，轴、轴分别平行于 CCD 平面的两条垂直边，轴与相机的光轴重叠，坐标用来表达。3、CCD(图像像素)坐标系数码相机采集的图像以原则电视信号的

14、形式输入计算机，为数字图像。每幅数字图像在计算机内可以存储为数组，数组中的每一种元素像素的值即是图像点的亮度或称为灰度。若为彩色图像，则图像的像素亮度将由红、绿、蓝三种颜色的亮度表达。在该图像上定义直角坐标系，坐标原点 O在 CCD 图像平面的左上角，U 轴、V 轴分别平行于图像坐标系的 X 轴、Y 轴，坐标用（u，v）来表达，该坐标值为离散的整数值。坐标系中的每一种像素的坐标，分别是该像素在数组中的列数与行数。因此，图像像素坐标系是以像素为单位的。4、图象（成像平面）坐标系（X,Y）由于图像像素坐标系，只表达像素位于数组中的列数和行数，并没有用物理单位表达出该像素在图像中的位置，因此需要再建

15、立以物理单位如毫米表达图像坐标，如成像平面坐标系，即感光面所在的坐标系。坐标原点 在相机光轴与 CCD 图像平面的交点，X 轴、Y 轴分别平行于 CCD 平面的两条垂直边，坐标用（x，y）来表达，以毫米为单位。坐标系中，原点定义在相机光轴与图像平面的交点，该点一般位于图像中心处，但由于相机制作的因素，也会有些偏差。图51各坐标系成像平面（成像平面坐标系）Z镜头平面（相机坐标系）实物平面像素平面（像素坐标系）512成像原理物体上的一种点在由相机所捕获的图像位置，是由相机的成像原理及其距离相机的远近决定的。三维空间中的物体到像平面的投影关系称为成像模型。其模型有针孔成像模型和透镜成像模型。(1)针

16、孔成像模型针孔成像模型是抱负的投影成像模型，属于中心投影，重要由光心、成像面和光轴构成。图52是针成像原理示意图。图52 抱负针孔模型原理图像点针孔实物点虚像其中焦距等于光心到像面的距离，物距等于光心到物面的距离。它的缺陷也是显而易见，由于透光量太小，需要很长时间的曝光，并且很难得到清晰的图像。因此实际中一般使用透镜或透镜组，能汇集光线，并且可以透过大量的光线，使感光介质在很短时间内曝光，获得清晰图像，较好的解决小孔成像模型的缺陷。(2)透镜成像模型图53 透镜成像模型原理图像距v物距u焦距fOFFBA透镜成像与针孔成像的焦距不是同样的概念，在针孔成像中焦距等于像距，而在透镜成像中，焦距并不等

17、于像距。但是两者的成像关系的一致的，即像点是物点和光心的连线与图像平面的交点。因此一般我们都用针孔模型作为相机成像模型。线性成像模型，即不考虑成像畸变的影响，用最简朴的线性模型抱负针孔相机模型。(3)非线性成像模型（畸变模型）抱负的透镜成像是针孔模型，但实际中透镜并不完全满足这个条件，由于相机还存在光学系统的加工误差和装配误差，由于数码相机的成像面四由CCD感光单元拼合而成的，因此CCD成像面的不平性和不规则性对测量精度势必存在一定影响，实际成像与抱负的针孔成像之间存在光学畸变误差。实际照相测量中往往采用非线性模型来描述成像关系。抱负的针孔相机模型仅仅只是简朴地表达了抱负图像坐标与物体特性点空

18、间坐标之间的关系，在规定精度高的视觉系统中不能满足规定，重要的畸变误差分为三类：径向畸变、偏心畸变和薄棱镜畸变。因而常常要对相机镜头的非线性畸变进行修正。相机的畸变模型是以抱负的针孔模型为基本的，该模型与线性模型基本相似，只是在第二环节后添加了一步从抱负的成像平面到实际的成像平面间的转换，从而对畸变进行了修正，这一步可根据具体所选择的畸变模型来表达，如果选择了一阶径向畸变模型，则由公式一可得抱负的成像平面坐标系与实际的成像平面坐标系之间的转换关系为其中，为一阶径向畸变系数。但畸变波及的影响因素有诸多，且存在着不拟定性，本文只在不考虑畸变的状况下，建立线性模型，在这里就不对畸变模型展开讨论了。5

19、2 特性点提取由于在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，因此必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。521图象的读取一方面我们运用imread语句将图片读入MATLAB中，在Matlab中图象是保存在一种矩阵中的，矩阵中的每一种元素代表一种象素点。其数据范畴为0,255。矩阵的每一种元素代表不同的亮度或灰度级，其中，亮度为0，表达黑色，亮度为1，则代表白色。为了使图像的特性点更为明显，针对本题的圆形特性点，我们可以先将图像二值化，简化本来的像素矩阵。图像二值化

20、是指将图像转化为只涉及黑、白两个灰度的二值图像，即0和1两个值，即其中为阈值，阈值可以简朴的理解为将像素元素01化的一种临界值。即若元素的像素不小于该阈值，则将该元素转化为0，反之转化为1。目前阈值的选用技术重要有如下几种:(1)全局阈值法;(2)局部阈值法;(3)动态阈值法。在Matlab中，可以直接调用二值化语句I1=im2bw(I);将其转换为二值图像，具体程序为：I = imread (E:101babiao.jpg);%读入图象bw = rgb2gray (I);%将图象转化为灰度图象bw=im2bw(I,0.5);%将图象二值化，0.5代表二值化限度imshow(bw);%输出图象

21、为了更直观的便于理解，我们特意截取了靶标的像中的具有E点的部分二值图和二值化限度为0.5的靶标像图，详见附录中的图54.1和图54.2。521椭圆的假设证明圆点的像一般会变形，我们主观上假设此时的图形为椭圆。椭圆的两种定义：1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值不小于两点间距离，一般称为2a）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）；2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为不不小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。我们可采用“圆锥截面”的思想进行论证，进一步使得假设更为合理性，为了更直观的展示“圆锥截面”

22、的思想，可见下图55。图55 圆锥截面圆锥椭圆522椭圆中心提取法圆点中心的精确提取对相机标定具有非常重要的影响，因此波及一套可行的精确提取算法将会大大提高标定的精度。具体实现椭圆中心提取法的思想：第一步：图像的读取将图像通过Matlab中imread命令将图像读入Matlab中，以以便进一步量化；第二步：图像二值化运用Matlab中im2bw命令，通过测试，我们可以合理的选择合适的参数（这里选择0.5），将图像二值化，二值化的原理见521图象的读取；第三步：边界点的查找二值化将图像简朴的转化为了只含0-1的矩阵。由于我们在讨论一种物体时常常将物体看作一种特性点来看待，另一方面，特性点可以觉得

23、是一种物体存在的形式，所觉得了研究的以便，将其点化是合理的，而这里我们将一种物体的中心点作为其特性点来研究，故后来提到的特性点或中心点是同一意思。假定0的区域代表了所要寻找物体图形的区域，要找到这块区域的中心就一方面得找到其所在的区域。即要找出你所要提取中心的区域。第四步：筛选找到区域后，很也许在你查找的过程中查找到其她块区域，因此要进行合适的分组筛选。以保证所提取区域的精确性。第五步：中心点的寻找筛选后的工作是找到长短轴，由于椭圆中心提取法的思想是近似的觉得要提取中心的图形为椭球形，因此找到椭圆的中心在几何上是长短轴交汇的点。又由基本知识可以懂得，一种图形的直径是其边沿两端点连线最长的一条定

24、义为直径，而长短轴从某种意义上说是直径，根据这样的知识，我们想通过边界点，从一种边界点出发，遍历所有其她边界点，与其连接最长的，觉得是从该点出发得到的一条直径。同样的，每个边界点均如此作为一种起始点找到属于它的直径，再从直径中找到最长的和最短的直径，作为长短轴，然后根据其起始点在矩阵中的位置，连接后交汇点所在的位置即为所求中心点。见附录中图54。为本题目靶标中其中一种图形的中心提取，两条线交汇的点所在最接近的位置为所求此图形中心。（附录中附上了对参照题中靶标图形进行了编程，有一定的推广性）主函数：clearI = imread (E:全国大学生数学建模竞赛资料图像clip_image002.j

25、pg);bw1=im2bw(I,0.5); find_bianjiedian;fenzu;diameter;select;%查找下一种靶标上原的坐标则调用fenzu diameter select文本文献即可%如求下一种靶标上圆的像坐标，则输入如下程序fenzu;diameter;select;为了更为直观，我们作了如下图及简要阐明。图56 椭圆两轴“正交”DCBAO如上图所示，将边沿点集中每个点与其他点的最大距离归到最大距离集中，其中点AB表达边沿点最大距离集中的最大值，CD表达边沿点最大距离集中的最小值。为了更直观的体现出中心算法的解决思想，我们作了单个椭圆点和整个图象椭圆点的精确提取算法

26、流程图，见图57。图57：单个特性点的精确提取算法流程图预测椭圆点初始位置截取涉及圆点的灰度矩阵数据运用椭圆特性进行圆边界跟踪根据边沿坐标和中心算法，从而获取精确的椭圆中心离散椭圆边界，在原始影像中精确提取每个边界点根据以上算法思想，懂得靶标的像的图片大小为281375，我们以像的几何中心为原点O，X轴正半轴为水平向右，Y轴正半轴为垂直向上建立坐标系。我们在Matlab环境中编程，得到了如下成果，如表51所示：表51针对靶标的像的中心提取成果针对靶标的像的中心提取成果上界下界长轴短轴中心坐标点号行数列数行数列数起点坐标终点坐标起点坐标终点坐标A8610457134(-56,80)(-82,63

27、)(-72,85)(-66,57)(-69,71)B8314155170（-24,81)(-42,57)(-34,82)(-28,55)(-31,71)C7622249248(56,74)(39,51)(37,69)(58,56)(47,63)D-32202-55226(37,-36)(16,-52)(20,-35)(30,-54)(25,-45)E-3091-55119(-69,-39)(-97,-46)(-79,-54)(-87,-31)(-83,42)我们也可以将该算法应用到圆点的提取上，针对靶标的示意图，我们以该图的左上角点为圆点，AE方向为X正半轴，AC方向为Y正半轴，我们得到有关靶

28、标的中心提取成果，如表52所示。表52针对靶标中心提取成果（靶标图形为320361）针对靶标中心提取成果（靶标图形为320361）上界下界长轴短轴中心坐标点号行数列数行数列数起点坐标终点坐标起点坐标终点坐标A14296987（40，41）（29,87)(14,69)(58,53)(41,56)B1310168158(35,45)(158,101)(68,13)(129,135)(40,132)C1427069327(36,46)(327,270)(14,69)(298,304)(41,301)D246270302327(273,281)(270,327)(247,302)(298,304)(2

29、77,301)E2473030387(269,280)(87,30)(248,303)(61,57)(274,59)523椭圆二次曲线拟合提取法有关椭圆中心的提取，除了上述的中心算法提取外，我们还可以通过拟合来求出椭圆的方程，再求得各参数后直接代入椭圆中心计算公式，以此求得圆心。(1)椭圆一般采用二次曲线方程: 根据二次曲线的性质有如下几种公式:二次曲线不变量 , , S=1+C 上面三式代表二次曲线的不变量,换言之,通过坐标变换后,这些量是不变的.(2)椭圆中心计算公式:当时,二次曲线存在唯一中心,并且当且仅当,和时,二次曲线为椭圆,其相应中心为: 过边界一点的法向量方程为: 上式可以简化为

30、一般方程的形式: ,其中 , , 5.3 坐标变换5.3.1线性模型下的坐标变换先讨论CCD坐标系和图象坐标系之间的关系。由于在数码相机中形成的是数字图象，也就是说以数字信号存在的，在向计算机传播的过程中，会自动先转化为模拟波形，由计算机中的电路重新采样，从而会得到一种二维数组矩阵的形式存储在内存中。设CCD坐标系的原点在UV坐标系中的坐标为（U，V），每一种像素在，轴方向上的物理长度为、，则从下图得到图象中的任一像素在两个坐标系中的关系如下： 在这里，应注意到CCD坐标系原点O在CCD阵列中心处，但由于也许会由于某些相机制造上的技术问题，总会存在误差，O点将偏离中心处。但不管误差大小，上式都

31、是成立的。用齐次坐标和矩阵形式将上式转化为： 由逆关系得： 从相机坐标系和CCD坐标系的关系可以看出，平面平行于平面，这一点是可以保证的，但是由于某些因素，轴不会完全垂直于平面，多少会存在某些误差的，此问题稍后考虑。接着再来拟定像点和物点的位置关系。空间任一点P，在CCD阵列（二维）上的成像位置可以用针孔模型表达，这个针孔模型的理论根据是透视投影（即中心投影）。如图 示，空间任一点P在CCD阵列上的投影点，是光心C（投影中心）与P点连线CP与CCD阵列的交点，这就是透视投影。由三角形的相似关系可以懂得： 其中是投影点（像点）在CCD坐标系上的坐标，是物点P的相机坐标系坐标，是相机主距。把上式用

32、齐次坐标和矩阵表达为： 上式是CCD坐标系和相机坐标系之间的转化关系，最后再来讨论相机坐标系和世界坐标系之间的关系。世界坐标系是描述环境中任意物体位置的基准坐标系。从相机坐标系到世界坐标系的转换是通过旋转变换和平移变换两步来实现的，相应的我们也可以用旋转矩阵和平移向量表达出来，如下： （5）在上面的式子中，若令是旋转矩阵，是物点P在相机坐标系中的坐标；是物点P在世界坐标系中的坐标。则上式可用齐次坐标表达为： （6）上式中，R，分别是旋转矩阵和平移向量。这里先补充一下对于旋转矩阵R所具有的某些性质：R是正交矩阵，它的转置矩阵等于它的逆矩阵，即。正交矩阵的行列式等于+1或-1。当新旧坐标系同是右（

33、或左）手系时，或者说同位时，矩阵的行列式等于+1，相应的矩阵称为正常正交矩阵，它表达一种坐标系的旋转，因此也称旋转矩阵。当新旧坐标系中的一种是右手系，另一种为左手系时，换句话说是异位时，矩阵的行列式等于-1，这样的矩阵称为非正常正交矩阵，它表达反射变换，或者是旋转与反射的乘积，也称旋转-反射矩阵。正交矩阵各元素之间的关系：任何一行（列）各元素的平方和等于1；任何两行（列）相应元素乘积的和等于零；各元素等于它的代数余子式或余子式的相反数。即： （7） （8）对于旋转矩阵，上面（8）式子前的符号取正号时，那么旋转-反射矩阵取负号。式（7）为正交条件，通过它们之间的互相代换，最后得到三个独立的参数，

34、即九个系数取决于三个独立参数，其中这三个独立参数可以有不同的选择。将（2）和（6）式带入（4）式中，就得到物点P在世界坐标系中的坐标与像点 在图象坐标系中的坐标关系： （9） 描述了光轴，CCD阵列平面，投影中心的互相关系，它们涉及了六个外参数（R-旋转矩阵，平移矢量），若考虑相机物理像元的比例尺不一致性以及两坐标的不垂直性，则相机的内参数有五个。在这个拟定相机内外参数的过程，叫做相机的标定。式（9）也可写成： （10）基于上述的理论，为了更直观理解标定模型中的二维点和三维点的转化，我们作出坐标系关系示意图，如图58所示。图58坐标系关系示意图世界坐标系P()P()P(u,v)YXVUO成像平

35、面坐标系相机坐标系图象像素坐标系P(x,y)5.3.2 简化的线性转换模型由模型5.3.1可以看到这样的模型对于实际的操作过于复杂，因此我们必须对其作合适的简化。借用模型5.3.1的原理，我们类似的建立一种有关坐标间的转换，不同的是我们将相机坐标系和像平面坐标在合适的时候看作为同一坐标系，这样合适的时刻是在考虑与空间（即世界）坐标系转换关系的时候。但是对于参数变换，还需分开来看待。同模型5.3.1我们有如下矩阵关系：其中，I分别为像坐标系下和物坐标系（也可以作空间坐标系，不同的是一种是二维的，一种是三维的）的相应特性点的坐标。对P，是一种两者间的投影矩阵，其可分解为：P=KTG=其中G是世界坐

36、标到相机坐标的变换，涉及了六个方位参数（R：旋转矩阵，t：平移矢量 ）；T是从到的投影;K是相机标定矩阵，是从相机坐标到像坐标的映射。如果觉得相机的成像是存在线形不变性的，即不考虑存在些物理像元比例尺不一致等非线性状况，那么K就可以简朴表达为：其中，f 见下图为投影中心（即可看作光学中心）到相平面的距离，即像距。为相平面的原点坐标，在题中靶标图及其像图中，若以相机光学中心为原心建立坐标（见下图510）：那么f=1577，（单位：像素）。图510 坐标线性转换图空间点IYXOf相机坐标系世界坐标系像平面像点通过这样的简化变换，就可以大体通过此变换由原图像上的特性点找到相应像图上的特性点了。532

37、非线性模型下的坐标转换同上所述，影响畸变的因素有很所，且带有不拟定性，我们只是大体给出非线性模型下的坐标转换框，如图59所示。图5-9 非线性模型下坐标转换图世界坐标系环节一：从世界坐标系到相机坐标的变换 待定参数：R，T环节二：基于针孔相机模型的透射变换待标定参数：f环节三：抱负的与实际的成像平面坐标间的转换，待标定参数：径向畸变系数环节四：实际的成像平面坐标与图像坐标的线性变换，待标定参数：实际的成像平面坐标系（ouv）54标定模型由模型5.3.1可以看到，忽视了相机自身畸变等其她外界或内部因素，单单只考虑因相机的拍摄角度所引起的图像的变形，即只是由于简朴的像坐标面（或者说是相机坐标面）与

38、空间坐标面（或说世界坐标面）的线性变换而导致的图像的变形。从模型中所论述的原理可以看到，要想通过原图像的特性点得到像的特性点就必须懂得这样的线性变换下的必备六个外方位参数（三个旋转参数，三个平移参数），它们描述了相机所在的方位和角度。只有懂得它们，才干拟定出相机所在的位置，才干得到在这样的位置下的坐标间的变换，才干由原图拟定像图的信息。因此如何求得这六个参数，以及求得后对原图定位像图的精确度是我们下面解决的问题：事实上，这六个参数我们在建立模型5.3.1，想通过此模型的建立求得像坐标时，我们已经默认参数已知，在这样的前提下可求得像坐标。但是，它是未知的，我们规定出它，必须通过某些已知的相应特性

39、点来待定系数求得。这里所谓的相应特性点是指原图与其相应的像图上相应图像的中心点。规定这样的相应特性点，由上面椭圆中心提取法可以完全实现。目前为了求得参数，我们采用已知的靶标示意图及其像图（图2 和图3）中相应的5个圆点中的4个点，选定A，C，D，E 四点。选定这四个点是由于它们特殊的位置（处在角点），无论相机从何处照相，它们的位置能对求得参数时产生的误差相对减小，从而更为精确。我们采用椭圆中心提取法得到了这样的四个点的中心点（特性点）。由模型5.3.2（事实上是模型5.3.1的简化），我们将I，用四个点的中心坐标构成矩阵的形式带入，我们将模型中的矩阵展开，得到如下一般化方程：xa=r11*f*

40、Xa+x0*r31*Xa+f*r12*Ya+x0*r32*Ya+f*r13*Za+x0*r33*Za+f*tx+x0*tz;xc=r11*f*Xc+x0*r31*Xc+f*r12*Yc+x0*r32*Yc+f*r13*Zc+x0*r33*Zc+f*tx+x0*tz;. . ya=r21*f*Xa+y0*r31*Xa+f*r22*Ya+y0*r32*Ya+f*r23*Za+y0*r33*Za+f*ty+y0*tz;yc=r21*f*Xc+y0*r31*Xc+f*r22*Yc+y0*r32*Yc+f*r23*Zc+y0*r33*Zc+f*ty+y0*tz;. . za=r31*Xa+r32*Ya+

41、Za*r33+tz;zc=r31*Xc+r32*Yc+Zc*r33+tz;*r112+r122+r132=1; . . r21*r31+r22*r32+r23*r33=0;其中xa,xc,ya,zaze为像图上相应A，C，D，E点的中心坐标；Xa，Ze为原图像上相应四点的中心坐标，注意这里的坐标是三维的；r ij（i，j=1，2，3）为旋转矩阵中相应的参数，tx,ty,tz为平移矢量中的参数，*线如下的是旋转矩阵参数间的内部关系（详见模型3.5.1中的解释）。我们将除参数（这里总共九个参数）以外的变量用数值代入，通过Matlab的solve命令，试图通过其求得参数的解，但是无法得到成果。分析因

42、素，是由于其方程过多以及变量的某些限制存在着某些冲突，因此我们尝试减少方程，重要通过两个方面：第一 减少点数：通过从四个点的带入减少到三个点；第二 减少限制：减少旋转矩阵参数内部关系的限制。很显然，这样的做法，尽管可以求得解但不合理。因此我们作了改善，方向不变，但是在具体措施上作了调节。对减少点数，我们采用四点中任意三点组合的形式，对这样的全体组合均作一次求解参数的过程。然后对求得的成果作异常点的剔除和平均化，使得所求参数的成果更为合理。通过上述的措施和思想，得到如下参数显示表，具体程序见附录2中的程序2：表53 分组参数求解成果显示表通过原像中的点求参求参组r11r12r13r21A，C，D

43、组-15.30476 0.00030 -0.00444 -0.00029 A，C，E组-0.00004 0.00030 1.00000 -0.00031 A，D，E组-0.00004 0.00028 1.00000 -0.00031 C，D，E组-0.00006 0.00028 1.00000 -0.00029 均值-0.00005 0.00029 0.74889 -0.00030 求参组r22r23r31r32A，C，D组-0.00002 1.00000 0.00000 0.00000 A，C，E组-0.00002 1.00000 0.00000 0.00000 A，D，E组0.00000

44、1.00000 0.00000 0.00000 C，D，E组0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 均值-0.00001 1.00000 0.00000 0.00000 求参组r33txtytzA，C，D组1.00000 627.43463 0.05808 0.00000 A，C，E组1.00000 -0.05885 0.05878 0.00000 A，D，E组1.00000 -0.05792 0.05786 0.00000 C，D，E组1.00000 -0.05317 0.05313 0.00000 均值1.00000 -0.05665 0.05696 0.00000

45、 可以看到，上图A，C，D组中的r11和tx为异常值，除去后来对各参数求均值，得到如上的参数。目前我们回过头，对剩余的B点进行检查，将参数带回模型5.3.2中，为了使得检查更具权威性，我们对所有的点均与本来所求得的中心坐标作对比，得如下表54（程序见附录2中程序3）：表5-4针对靶标的像的中心对比表(281375)针对靶标的像的中心对比表(281375)点号原像照相后的中心坐标原始中点坐标横坐标对比率纵坐标对比率横坐标纵坐标横坐标纵坐标A点-6770-69710.73%0.39%B点-3269-31710.40%0.58%C点456647630.68%0.72%D点26-4625-450.53

46、%0.26%E点-84-41-83-420.34%0.34%从上表可以看到，误差范畴在0.26%0.73%，阐明这样求得的参数是较为合理的，而这些参数就代表了相机所在的位置。为了得到在此求得的参数下的线性变换模型的稳定性，我们将代表相机的参数作了相应的范畴波动，取在0.1的波动范畴内，然后运营程序发现，变动这些参数后所得到的点的中心坐标没有大的变化，有的甚至没有变化。这些波动都是以一种参数（如r11变化，其他不变）变化的状况下，得出的结论；至于如果多种参数一起变动，对其点的中心坐标的影响就没有通过测试了。还需要更多的理论根据和数据进行进一步证明。55 双目定位模型 一部相机所摄得的图象无法精确

47、表达出物点在空间中的精确位置。如果对物体上一种特性点，用两部固定于不同位置的相机拍摄物体，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要懂得两部相机精确的相对位置，就可用几何的措施得到该特性点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即拟定了特性点的位置。我们给出了系统标定的流程图，见图511。图511 系统标定框图数码相机1数码相机2获取3维物体的2维图象相机标定相机标定特性点提取特性点提取对物体上的同一标记点进行匹配标记点的三维空间坐标重建空间物体位置的拟定55 双CCD551双CCD标定模型由于在空间中任一种物体都可以通过旋转变换和水平移动从一种坐标位置移动到另一种坐标上去，基于此思想，可以把一种相机

48、通过旋转和平移的运动达到另一种相机的位置上去，同步对于两部相机分别建立空间坐标系。 如图512所示，假设左边的相机为主相机，相应所建立的坐标系（O-XYZ）为主坐标系；右边的CCD为辅摄象机，相应的坐标系为辅坐标系。这样辅坐标系可以通过主坐标系的的平移、旋转（和缩放进行拟定。图512 一般双目立体模型ZPOXY根据照相测量知识可以懂得，两部固定CCD所涉及的绝对定向（空间相似变换）可以描述成如下式子： 其中， ；表达辅坐标原点相对于主坐标原点的平移量；是辅坐标下平面网格点的坐标（）；是由辅坐标系相对于主坐标系的三个旋转角度所构成的九个方向余弦；为辅坐标系相对于主坐标系的比例尺缩放因子。将上式化

49、简如下：由于在坐标轴下控制点相应的不考虑畸变差的共线方程为：那么，若将式5.51代入式5.52就可以得到辅坐标系在主坐标轴下的共线方程：由上式以及有关文献可以推出相应的线性化方程： 在上式中影像外参数、相机参数以及控制点坐标相应的系数都可以查看有关文献。通过对上述模型的求解，即可得到有关参数。552相机摆放方式的讨论如图513所示，辅相机与主相机之间以V字形摆放，夹角不小于120度，这种摆放方式如常用的某些三维控制场，实验证明这种摆放方式是可行的，但是由于要保要拍摄的像具有较大交会角度，在拍摄时势必导致一种摄象机的拍摄角度与它的法向量夹角（称为控制点入射角）过大。如下图对S2而言，辅相机最大的

50、控制点入射角要比主相机上的最大控制点入射角大的多，因此S2上的控制点成相质量要相对较差某些，基于这些因素的考虑。双摄象机的此外一种摆放方式如下右图，让两摄象机近似平行放置，但是辅相机对主相机在Z轴上存在一定的高度差，即避免两摄象机在同一平面上，这种摆放方式可以在两个摄象机之间获得成像光线入射角的平衡。图513 双CCD的两种不同摆放方式S2S1L2L1L2L1S2S1基于双CCD的拍摄措施和单CCD的的拍摄方式一致，根据双CCD的特点可以懂得，事实上只有主CCD才是真正的位置控制点，而辅CCD的控制点仅是相对控制条件，基于这种考虑，只要主CCD位置拟定，它们之间的相对位置也就拟定了。六、模型的

51、评价及改善方向6.1 椭圆中心提取法的思想容易理解，但其层次的逻辑性比较强，因此计算量时候要小心、谨慎。 6.2 简化了原本复杂的模型5.3.1，该为实用性较强，操作性更便捷的模型5.3.2。6.3 能运用Matlab编程 ，运用椭圆中心提取法求得的中心坐标，采用待定系数的简朴措施，用已知原像与像的中心坐标相应关系，求得了模型5.3.2中的参数，以得到了一种具体的线性转换模型。6.4 本文的理论性太强，没有过多的实际操作和结论进行对比。6.5 在稳定性和精度方面的分析不够透彻，进一步。改善方向：以上考虑的均是线性，即不考虑畸变的模型，故可合适考虑畸变的非线性模型七、模型的推广及应用相机的标定技

52、术，作为一种非接触的测量手段，通过计算机图像解决和射影几何获取被摄物体几何以及纹理信息也成为了数学照相测量与计算机视觉的研究热点之一。重要应用及推广涉及：（1） 工程测量（2） 古建筑及文物重建（3） 医学重建（4） 指纹和脸部辨认（5） 机器视觉检测（6） 电子监控八、参照文献1冯文灏、李建松、闫利，基于二维直接线性变换的数字相机畸变模型的建立，武汉大学学报信息科学版，第29卷第3期，3月。2蔡健荣、赵杰文，双目立体视觉系统摄像机标定，江苏大学学报(自然科学版)，第27卷第1期，1月。3 刘文彬、周宏甫、蒋梁中，基于双目立体视觉系统的精确标定算法，自动测量与控制，第27卷第6期，3月。4周广

53、芬、李鹏、杨久义，运用MATLAB 图像解决工具箱进行，河北科技大学学报，第26卷第4期，12 月。5卞铭、金施群，视觉测量中的一种线性摄像机标定措施,黑龙江科技学院学报,第16卷第3期,5月6 蒋金山、余英林，中心投影变换及其在二值图像检索中的应用，计算机应用与软件，第22 卷第2 期， 年2月。7傅其凤、崔彦平，双目视觉摄像机神经网络标定措施，工程图学学报，第6期。8管业鹏、童林夙、陈娜，基于双目立体视觉的偏转线圈测量措施研究，电子学报，第9 期，9月。9段发阶、张健新、叶声华，摄象机参数高精度求解措施，光电工程，第25卷第1期，1998 年2月。10微由晓龙、全厚德，一种基于MATLAB

54、的摄象机标定措施的实现，微计算机信息测控自动化，第20卷第2期，。附录1图54.1二值化 （参数0.5）图54.2 含E的部分二值图111111111100000000011111111111111000000000000011111111111000000000000000111111110000000000000000001111110000000000000000000011110000000000000000000001111000000000000000000000011000000000000000000000001000000000000000000000000100000000000000000000000010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000