江苏省扬州市高三数学第一次模拟考试试题

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1、2020届高三第一次模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分1. 已知集合M2，1，0，N，则MN_2. 已知i是虚数单位，且复数z满足(1i)z2，则_3. 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是_Read xIf x0 Thenysin xElseyx21End IfPrint y 4. 某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_5. 根据如图所示的伪代码，已知输出值y为3，则输入

2、值x为_6. 甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为a，乙抽出的卡片上的数字记为b，则a与b的积为奇数的概率为_7. 若直线l1：x2y40与l2：mx4y30平行，则两平行直线l1，l2间的距离为_8. 已知等比数列的前n项和为Sn，若S37，S663，则a1_9. 已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为x2y0，则该双曲线的离心率为_10. 已知直线l：yx4与圆C：(x2)2(y1)21相交于P，Q两点，则_.11. 已知正实数x，y满足x4yxy0，若xym恒成立，则实数m的取值范围为_

3、12. 设a，b是非零实数，且满足tan，则_13. 已知函数f(x)a3有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_14. 若存在正实数x，y，z满足3y23z210yz，且ln xln z，则的最小值为_二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知函数f(x)cos2x2sin xcos xsin2x，xR.(1) 求函数f(x)的单调增区间；(2) 求方程f(x)0在(0，上的所有解16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B平面ABC，E，F

4、分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点求证：(1) EF平面ABC；(2) BB1AC.17. (本小题满分14分) 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，其中AB3百米，AD百米，且BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形拟修建两条小路AC，BD(路的宽度忽略不计)，设BAD，.(1) 当cos 时，求小路AC的长度；(2) 当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：1(ab0)的离心率为，左、右顶点分别为A、B，线段AB的长为4.点P在椭圆M上且位于第一象限，

5、过点A，B分别作l1PA，l2PB，直线l1，l2交于点C.(1) 若点C的横坐标为1，求点P的坐标；(2) 直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围19. (本小题满分16分) 已知函数f(x)(3x)ex，g(x)xa(aR)(e是自然对数的底数，e2.718)(1) 求函数f(x)的极值；(2) 若函数yf(x)g(x)在区间1，2上单调递增，求实数a的取值范围；(3) 若函数h(x)在区间(0，)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b，求b的最小值20. (本小题满分16分) 记无穷数列的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令bn，数列的前n项和为An，

6、数列的前n项和为Bn.(1) 若数列是首项为2，公比为2的等比数列，求Bn；(2) 若数列是等差数列，试问数列是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；(3) 若bn2n100n，求An.2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. A. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A，满足A，求矩阵A的特征值B. 选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分) 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在极坐标系中(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合)，圆C的极坐标方程为4cos

7、，求直线l被圆C截得的弦长22. (本小题满分10分) 如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD平面CBD，又AE平面ABD.(1) 若AE，求直线DE与直线BC所成的角；(2) 若二面角ABED的大小为，求AE的长度23. (本小题满分10分) 已知直线x2上有一动点Q，过点Q作直线l1垂直于y轴，动点P在l1上，且满足0(O为坐标原点)，记点P的轨迹为曲线C.(1) 求曲线C的方程；(2) 已知定点M，N，A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求MBD的内切圆半径r的取值范围2020届高三年级第一次模拟考试(八

8、)(扬州)数学参考答案1. 22. 3. 4. 105. 26. 7. 8. 19. 10. 011. (，912. 13. 或114. e215. f(x)cos2x2sin xcos xsin2xsin 2xcos 2x2sin. (4分)(1) 由2k2x2k，kZ ，解得kxk，kZ，所以函数f(x)的单调增区间为k，k，kZ.(8分)(2) 由f(x)0得2sin0，解得2xk，即x，kZ.因为x(0，所以x或x.(14分)16. (1) 因为三棱柱ABCA1B1C1，所以四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形因为E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，

9、所以E，F分别是AB1，CB1的中点 ，所以EFAC.(4分)因为EF平面ABC，AC平面ABC，所以EF平面ABC.(8分)(2) 因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1AB.因为平面AA1B1B平面ABC，BB1平面ABB1A1，平面ABB1A1平面ABCAB，所以BB1平面ABC.(12分)因为AC平面ABC，所以BB1AC.(14分) 17. (1) 在ABD中，由BD2AB2AD22ABADcos ，得BD2146cos ，又cos ，所以BD2.(2分)因为，所以 sin .由，得，解得sin ADB.因为BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，所以CDB且CDBD2，所以cos

10、 ADCcossin ADB.(5分)在ACD中，AC2AD2DC22ADDCcos ADC()2(2)22237, 所以AC.(7分)(2) 由(1)得BD2146cos ，SABCDSABDSBCD3sin BD27sin 3cos 7(sin 2cos )7sin ()，此时sin ，cos 且，(10分)当时 ，四边形ABCD的面积最大，即，此时sin ，cos ， 所以BD2146cos 146()26，即BD，(13分)所以当草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为百米. (14分)18. (1) 设直线AP的斜率为k，P(x0，y0)，由题意得2a4，所以a2，c1，b，所以椭

11、圆M的方程为1.因为点P在椭圆M上，且位于第一象限，所以0k，1，直线AP的方程为yk(x2)因为kAPkBP，所以kBP，所以直线BP的方程为y(x2)联立解得即P.因为l1PA，所以kAC，则直线AC的方程为y(x2)因为l2PB，所以kBCk，则直线BC的方程为yk(x2)联立解得即C.(6分)因为点C的横坐标为1，所以1，解得k.因为0k，所以k，所以点P的坐标为.(8分)(2) 设Q(xQ，yQ)，C(xC，yC)，又直线AC的方程为y(x2)联立消去 y，整理得(3k24)x216x1612k20，所以2xQ，解得xQ.因为 ，所以1.(14分)因为0k0，令m(x)x2(1a)x

12、2a3，所以函数yf(x)g(x)在区间1，2上单调递增等价于对任意的x1，2，函数m(x)0恒成立，所以解得a3，(8分)故a的取实范围是3，)(3) 由题意得h(x)，则h(x).令r(x)ex(x23x3)a, 因为h(x)在区间(0，)上既存在极大值又存在极小值，所以h(x)0在区间(0，)上有两个不等的实数根，即r(x)ex(x23x3)a0在区间(0，)上有两个不等的实数根x1，x2(x10，r(x)单调递增；当x(1，)时，r(x)0，r(x)单调递减，则0x11，所以解得3ae，所以reae30.因为r(x)在区间(0，)上连续且r(0)r(1)0，r(1)r0，所以r(x)0

13、在区间(0，1)和区间上各有一个实数根，所以函数h(x)在区间(0，)上既存在极大值又存在极小值时，有3ae，并且在区间(0，1)上存在极小值f(x1)，在区间上存在极大值f(x2)，所以h(x2)，且h(x2)0，所以aex2(x3x23)，所以h(x2)(3x2)ex2x2ex2(x3x23)ex2(2x2)1，(13分)令H(x)ex(2x)，则H(x)ex(1x)，当x(1，)时，H(x)0，H(x)单调递减，因为x2，所以hh(x2)h(1)，即h(x2)，则3e1e10，则必有MnMn1，所以anMnMn1an1，即对n2，nN*都有anan1，所以Mnan，mna1，bnbn1d

14、，所以anan12d，即an为等差数列；当d0时，则必有mnmn1，所以anmnmn1an1，即对n2，nN*都有anan1，所以Mna1，mnan，bnbn1d，所以anan12d，即an为等差数列；当d0时，bnbn1，0，因为MnMn1，mnmn1中必有一个为0，所以根据上式，一个为0，则另一个亦为0，即MnMn1，mnmn1，所以an为常数数列，所以an为等差数列，综上，数列an也一定是等差数列(10分)(3) 因为bn1bn2n1100(n1)2n100n2n100，所以当n7时，bn1bnb2b6b7，当n7时，bn1bn0，即b7b8b9a2a6a7，a7a8a9.当nMn，则M

15、n1an1，mn1mn，则，得bnbn1矛盾，不合题意；所以an1a2a6a7；同理可证：a7a8a9，即n7，nN*时，an7时，a1a2a6a7，且a7a8a90)，则E(0，0，a)因为AD平面ABE, 所以平面ABE的一个法向量为n1(0，1，0)(6分)设平面BDE的法向量为n2(x1，y1，z1)因为(2，0，a)，(2，2，0)，所以n2，n2，所以解得取z12，则x1y1a，所以平面BDE的一个法向量为n2(a，a，2)，(8分)所以cosn1，n2.因为二面角ABED的大小为，所以，解得a，所以AE的长度为.(10分)23. (1) 设点P(x，y)，则Q(2，y)，所以(x，y)，(2，y)因为0，所以2xy20，即y22x.(2分)(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，直线BD与x轴交点为E，直线AB与内切圆的切点为T.设直线AM的方程为yk，则联立方程组得k2x2(k22)x0，所以x1x2且0x1x2，所以x11，所以r在区间(1，)上单调递增，则r，即r的取值范围为(1，)(10分)