矩阵与变换(12课时学案)

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1、第01课时 矩阵的概念一、 要点讲解1矩阵的概念：2矩阵的相等：二、 知识梳理1在数学中，将形如，这样的_称做矩阵_叫做矩阵的行，_叫做矩阵的列通常称具有i行j列的矩阵为ij矩阵2_称为零矩阵；_称为行矩阵；_称为列矩阵3平面上向量 = (x，y)的坐标和平面上的点P(x，y)看作行矩阵可记为_，看作列矩阵可记为_4当两个矩阵A，B，只有当A，B的_，并且_也分别相等时，才有A = B三、 例题讲解例1 用矩阵表示ABC，其中A(1,0)，B(0，2)，C(2，0)例2 设，若A = B，求x，y，z例3 已知n阶矩阵，其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数(1)写出的值； (2

2、) 写出的计算公式四、 巩固练习1. 画出矩阵所表示的三角形，并求该三角形的面积2. 设，若A = B，求x，y，m，n3. 已知二元一次方程组的系数矩阵为，方程组右边的常数项矩阵为，试写出该方程组4. 设M是一个33的矩阵，且规定其元素，试求M 5. “两个矩阵的行数和列数分别相等”是“两个矩阵相等”的_条件第02课时 二阶矩阵与平面列向量的乘法一、 要点讲解1二阶矩阵与平面列向量在乘法规则：2二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义：二、 知识梳理1行矩阵与列矩阵的乘法规则：=_2二阶矩阵与列向量的乘法规则：=_一般地两个矩阵只有当_时才能进行乘法运算3一个列向量左乘一个22矩阵M后得到_，如果

3、列向量表示一个点P（x，y）,那么列向量左乘矩阵M后的列向量就_4对于平面上的任意一个点（向量）（x，y）,若按照对应法则T，_，则称T为一个变换，简记为：T：或T：5一般地，对于平面向量变换T，如果变换规则为T：=，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T：_的矩阵形式，反之亦然（a、b、c、d）6由矩阵M确定的变换，通常记为TM，根据变换的定义，它是_的一个映射，平面内的一个图形它在TM的作用下得到一个新的图形三、 例题讲解例4 分别计算下列乘法运算的结果（1）（2）（3）（4）例5 (1)已知变换，试将它写成坐标变换的形式(2)已知变换，试将它写成矩阵的乘法形式例6 已知变换T

4、：平面上的点P(2，1)，Q(1，2)分别变换成P1(3，4)，Q1(0，5)，求变换矩阵A四、 巩固练习6(1)已知，试将它写成坐标变换的形式；(2) 已知，试将它写成矩阵乘法的形式6. 求点(x，y)在矩阵对应的变换作用下对应点的坐标7. 已知变换T把平面上的点(2，1)，(0，1)分别变换成点(0，1)，(2，1) ，试求变换T对应的矩阵8. 直线l：x + 2y + 3 = 0在矩阵对应的变换作用下为l，求l 的方程 9. 已知a，b，若所对应的变换TM 把直线l：3x - 2y = 1变换为自身，试求a，b的值第03课时 恒等变换与伸压变换一、 要点讲解1恒等变换：2伸压变换：二、

5、知识梳理1_称为恒等变换，这时称矩阵M为_，二阶单位矩阵一般记为E，平面上任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己2_称为（垂直）伸压变换，这时称矩阵M = 或M = 伸压变换矩阵3当k 1时，伸压变换M =确定的变换，将原来平面图形上的横坐标_，纵坐标_；当0 k 1时，伸压变换M =确定的变换，将原来平面图形上的横坐标_，纵坐标_；当0 k 0时，沿_移动，当ky 0时，沿_移动，当kx 0时，沿_移动，当kx = 0时原地不动此变换下，_为不动点4切变变换有如下性质：(1)某一个坐标轴上的点是_；(2)保持_，点间的距离和夹角大小可以改变且点的运动是沿坐标轴方向进行的切变变

6、换的实质是_三、 例题讲解例18 已知矩形ABCD在变换T的作用下变成平行四边形ABCD，其中A(0,0)，B(1,0)，C(1，2)，D(0，2)，A(0，0)，B(1，1)，C(1，3)，D(0，2)，试求变换T对应的矩阵M例19 求出直线x = 1在矩阵对应的变换作用下变成的图形ABOABxy例20 试问由OAB到OAB的变换对应的矩阵是什么？四、 巩固练习28. 研究矩阵M =所确定的变换作用，并求点(1,1)在M作用下的点的坐标29. 写出将点(x，y)变换成点(x - 3y，y)的变换矩阵M30. 设直线y = 2x在矩阵所确定的变换作用下得到曲线F，求曲线F的解析式31. 设椭圆

7、在(x，y)(x - y，y)对应的切变变换下变成另一个图形F，求图形F的解析式 32. 若曲线x2 + 4xy + 2y2 = 1在矩阵的作用下变换成曲线x2 - 2y2 = 1(1)求a + b的值；(2)矩阵M所对应的变换是什么变换？第08课时 矩阵乘法的概念及简单性质一、 要点讲解1矩阵乘法的规则：2矩阵乘法的简单性质：二、 知识梳理1两个二阶矩阵相乘的乘法法则：_2矩阵乘法MN的几何意义为_3M n =_(n个M相乘)4两个二阶矩阵的乘法满足_，但不满足_和_5两个矩阵乘法的几何意义是_，反过来，_矩阵AB对应的复合变换顺序是_三、 例题讲解例21 (1)已知，计算AB；(2)已知，

8、计算AB，BA；(3)已知，计算AB，AC例22 试求曲线y = sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中例23 已知梯形ABCD，其中A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，D(1，2)，先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M；(2)求点A，B，C，D在TM作用下所得到的点的坐标；(3)在平面直角坐标系内画出两次变换后所对应的几何图形，并验证(2)中的结论四、 巩固练习33. 计算34. 计算35. 求使等式成立的实数a，b，c，d36. 已知矩阵，求抛物线y2 = x经过矩阵AB作用下变换得到的曲线方程 37. 已知矩阵，试

9、求满足方程MX = N的二阶矩阵X38. 已知二阶矩阵M满足，求39. 晴天和阴天的转移矩阵A，及表示今天天气晴、阴的概率分别为，(1)请计算矩阵A2，A3，并说明它们的实际意义是什么；(2)请用矩阵A与向量表示出明天、后天、再后天的天气概率第09课时 逆矩阵的概念一、 要点讲解1二阶逆矩阵的概念：2逆矩阵的求法：二、 知识梳理1对于二阶矩阵，若有_，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵2在六种变换中，_变换一定不存在逆矩阵3一般地，对于二阶可逆矩阵，它的逆矩阵为_4若二阶矩阵A、B均可逆，则AB也可逆，且(AB)1=_5已知A、B、C为二阶矩阵，且AB = AC，若矩阵A存在逆矩阵，则_三、 例

10、题讲解例24 对于下列给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换(先TA后TB)的结果与恒等变换的结果相同？(1)以x为反射轴的反射变换；(2)绕原点逆时针旋转60作旋转变换；(3)横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换；(4)沿y轴方向，向x轴作投影变换；(5)纵坐标y不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足（x，y）（x + 2y，y）例25 用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请求出逆矩阵；若不存在，请说明理由(1)；(2)；(3)；(4)；例26 求矩阵的逆矩阵四、 巩固练习40. 已知矩阵，求满足AXB = C的矩阵X41. 已知矩阵，

11、求矩阵MN的逆矩阵（用两种方法求解）42. 已知矩阵，求圆x2 + y2 = 1在 (AB)1变换作用下的曲线方程43. 已知,求矩阵B 44. 已知矩阵(1)求逆矩阵A -1；(2)若矩阵X满足，试求矩阵X第10课时 二阶矩阵与一元二次方程组一、 要点讲解1二阶行列式的概念：2用二阶行列式求逆矩阵、解方程组：二、 知识梳理1如果矩阵A =是可逆的，则_其中称为二阶行列式，记作，即_，也称为行列式的展开式。符号记为：detA或|A|2方程组写成矩阵的形式为_，对于系数矩阵，当_时，方程组有唯一解；当_时，方程组有无数组解3令，则方程组的解是_三、 例题讲解例27 利用行列式和逆矩阵的知识两种方

12、法解方程组例28 利用行列式求矩阵A = 的逆矩阵四、 巩固练习45. 设A = ，B = (1)计算行列式 | A |，| B |； (2)判断矩阵AB是否可逆，若可逆，求其逆矩阵46. 试从几何变换的角度说明的解的存在性和惟一性47. 已知，求使等式成立的矩阵A48. 已知矩阵,试求曲线y = cosx在矩阵M -1N变换下的函数 第11课时 特征值与特征向量一、 要点讲解1矩阵特征值和特征向量的概念：2矩阵的特征值和特征向量的求法：二、 知识梳理1设矩阵A，如果_，那么称为是矩阵A的一个特征值，而称为_的一个特征向量2如果向量是属于特征值的一个特征向量，那么属于特征值的特征向量有_个，它

13、的一般形式是_,(k且k0)3设A = 是一个二阶矩阵，_称为A的特征多项式4设是二阶矩阵A的特征多项式的两个不相等的实数根，分别为对应的特征向量，则向量的关系一定是_的（填“共线”或“不共线”）5设矩阵A =，是矩阵A的属于特征根的任意一个特征向量，设，则=_三、 例题讲解例29 求出矩阵A = 的特征值和特征向量例30 已知M = ，试计算例31 给定矩阵A = (1)求A的特征值及对应的特征向量； (2)求四、 巩固练习49. 求矩阵的特征值及其对应的所有特征向量50. 已知二阶矩阵A的属于特征值 - 1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A51. 已知矩阵M = ，其

14、中a，若点P(1，- 2)在矩阵M的变换下得到点P ( - 4，0)(1)求实数a的值； (2) 求矩阵M的特征值及其对应的特征向量第12课时 矩阵的复习一、 要点讲解1 理解矩阵与变换的关系，能从几何变换角度解释矩阵运算；2 掌握六个常见的初等变换和初等变换矩阵；3 掌握矩阵的乘法及矩阵乘法的简单性质；4 能熟练求解可逆矩阵的逆矩阵及两个矩阵乘积的逆矩阵；5 会用行列式及逆矩阵的相关知识解二元一次方程组；6 会求二阶矩阵的特征值和特征向量，并能简单运用二、 知识梳理综合前面几课时三、 例题选讲例32 设T1是旋转角为300的旋转变换，T2是以直线l：y = x为轴的反射变换，求复合变换T1T2、T2T1的矩阵例33 设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换 求逆矩阵M -1以及椭圆在M -1的作用下的新曲线的方程例34 已知二阶矩阵M有特征值8和对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换到(2，4)(1) 求矩阵M；(2) 求矩阵M的另一个特征值和特征向量四、 巩固练习52已知A = ，X = ，B = ，AX = B，求X53已知矩阵M = 和向量，(1)求出矩阵M的特征值和特征向量；(2)计算：M 50 ，M 10054曲线在二阶矩阵M = 的作用下变换为曲线，(1)求实数的值；(2)求M 的逆矩阵M -1