本科经济计量学第2章(自学)(第3版).ppt

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1、第一部分概率论与统计学基础第2章概率与概率分布,2.1一些符号,2.2试验样本空间样本点和事件,2.3随机变量,2.4概率,2.5随机变量及其概率分布,2.6多元随机变量的概率密度函数,2.7总结,2.1一些符号,或,求和符号：,求和符号的性质：,1.若k为常数，则有：,2.若k为常数，则有：,3.,4.若a,b为常数，则有：,2.2试验样本空间样本点事件,1.随机试验（randomexperiment）是指至少有两个可能结果，但不确定哪一个结果会出现的过程。,例2.1：抛一枚硬币掷一颗骰子从一副纸牌中抽取一张牌,？你还有其它的例子吗？抛币100次，正面朝上70次，你会认为该币均匀吗？,2.样

2、本空间或总体（populationorsamplespace）：随机试验所有可能结果的集合。,例2.2：抛两枚同样的均匀硬币。H代表正面朝上，T代表正面朝下。则有四种结果：HH，HT，TH，TT。样本空间（HH，HT，TH，TT）,例2.3：在一种双回合游戏中,O1表示两个回合全部获胜;O2表示第一回合获胜，第二回合失败；O3表示第一回合失败，但第二回合获胜；O4表示两个回合全部失败。样本空间（O1，O2，O3，O4）,3.样本点（samplepoint）样本空间的每一元素，即每一种结果。,4.事件（events）：随机试验的可能结果组成的集合。它是样本空间的一个子集。,例2.4：在例2.2中

3、，若事件A表示一枚硬币正面朝上，一枚硬币正面朝下。则事件A由2个样本点构成：HT、TH。即A=(HT,TH)。若考察事件B：两枚硬币中至少有一枚正面朝上，则B事件由3个样本点构成，即B=(HH，HT，TH)。,！如果两个事件不能同时发生，则两个事件称为互斥的（mutuallyexclusive）。,！如果一个事件的发生与另一个事件发生的可能性相同，则两个事件称为等可能性的（equallylikely）。,！如果可以穷举试验的所有可能结果，事件称为可能性的穷举事件（collectivelyexhaustive）。,2.3随机变量,例2.5：再来看例2.2，若变量X表示抛两枚硬币正面朝上的个数。有

4、如下情况：第一枚硬币第二枚硬币正面朝上的次数TT0TH1HT1HH2,随机变量（stochasticorrandomvariable）：取值由随机试验的结果所决定的变量称为随机变量。,X的取值可能是0，也可能是1或2。其取值与随机试验的结果有关，X是一个随机变量(R.V或r.v)。,返回,随机变量可分为：离散型（discrete）随机变量（随机变量的取值是离散的，只能取有限多个或可列多个）；连续型（continuous）随机变量（随机变量的取值是在连续区间内，可以取在某一区间的任一值），如某年龄的人的身高、体重等随机变量。,2.4概率,此定义有两个特征：*试验的结果有限，且必须互斥*试验的每一

5、个结果等可能发生,1.事件概率的古典定义：如果一个随机试验的n种可能结果是互斥的，且每个结果等可能发生，事件A含有m个基本结果，则事件A发生的概率(probability)，即P(A)就是：,例2.6掷一颗均匀骰子，有6种可能结果：1，2，3，4，5，6。这些结果互斥并且等可能发生（为什么）？因而，根据古典概率定义，任何一个数字朝上的概率为1/6。这里，m=1,n=6,？在一副有52张的扑克中，抽一张为K的概率为多少?,返回,？在此定义中要求试验的结果互斥且等可能发生吗？,2.概率的频率定义（经验定义）：如果在n次试验（或n个观察值）中，m次有利于事件A，假定试验的次数n足够多，那么，事件A发

6、生的频率就很好地测度了事件A发生的概率P(A)。即：,例2.7下表给出200个学生微观经济学的考试成绩分布(频率分布)200个学生微观经济学的考试成绩分布分数区间均值点频数频率0-950010-19150020-2920030-3935100.05040-4945200.10050-595350.17560-6965500.25070-797450.22580-8985300.15090-9995100.050总计2001,重要性质1.事件A的概率满足：0P（A）12.若事件A，B，C，为互斥事件，则P（A+B+C+）=P（A）+P（B）+P（C）+3.若事件A，B，C，为互斥事件，且为一完备

7、事件组，则P（A+B+C+）=P（A）+P（B）+P（C）+=1,例2.8在例2.6中，1，2，3，4，5，6组成一个完备事件组，则P(1+2+3+4+5+6)=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1,3.概率的性质,常用性质1.事件A，B称为相互独立事件，若P（AB）=P（A）P（B）2.若事件A，B不是互斥事件，则有P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）3.对应任一事件A，都有互补事件A，并且，,例2.9：在例2.5中，两枚正面都朝上的概率是多少？令A表示第一枚正面朝上，B表示第二枚正面朝上，因此现在要求概率P（

8、AB）,P（AB）=P（A）P（B）=1/21/2=1/4,？若事件A和B互斥，P（AB）=0？,例2.10从一副扑克中抽取一张，是红心或是皇后的概率是多少？显然，抽红心和抽皇后不是互斥事件(Why？).因而有：,P(红心或是皇后)=P(红心)+P(皇后)-P(既是红心又是皇后)=13/52+4/52-1/52=4/13,4.事件A的条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率。用符号P(A|B)表示。有下列公式：,例2.11会计入门班有500个学生，其中男生300人，女生200人。在这些学生中，100个男生和60个女生计划主修会计学。现在，随机抽取一人，发现该学生计划主修会计学。那么，该学

9、生是男生的概率是多少？,令A表示学生是男生，B表示学生主修会计学，则要求的概率为：P(A|B)。可知：P(AB)=100/500，P(B)=160/500则：P(A|B)=P(AB)/P(B)=5/8,？一般地，P（A|B）是否等于P（A）？何时相等？,2.5随机变量及其概率分布,2.5.1离散型随机变量的概率分布令随机变量X取离散值函数f定义为,称为概率质量函数（probabilitymassfunction,PMF）或简称为概率函数（probabilityfunction,PF）。PMF有如下性质：,例2.13随机变量X表示抛两次硬币正面朝上的次数。X取3个不同的值：0，1，2X012PF

10、1,1/21/4,图2-2“抛两枚硬币正面朝上”的PMF,012,度量连续型随机变量概率分布的函数是概率密度函数。概率密度函数（probabiltitydensityfunction,PDF）度量的是连续随机变量在某一特定范围或区间内的概率。,如X代表一连续随机变量:身高，我们欲求“人的身高”在某一区间内(如6068英寸)的概率，图2-3中的阴影部分即为该区间的概率。,2.5.2连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量的PDF也记为f(x)，有：,PDF具有如下一些性质：,连续随机变量取单点值的概率为0。,2.5.3累积分布函数(cumulativedistributionfunction,C

11、DF)F(x)定义如下：F(x)=P(Xx)其中，P(Xx)表示随机变量X取小于或等于x的概率。,具有如下性质：,例2.15抛一均匀硬币4次，求随机变量X(正面朝上的次数)的PMF和CDF。,PMFCDFXX值f()X值F()001/160x11/16114/161x25/16226/162x311/16334/163x415/16441/164x1,右图为例2.15中随机变量X的累积分布函数,X值F()0x11/161x25/162x311/163x415/164x1,2.6多元概率密度函数,用多个随机变量来描述一个试验的结果，求得的概率密度称为多元概率密度。,若X1,X2,X3,Xn都是随

12、机变量，则(X1,X2,X3,Xn)构成一个n维的随机向量，也称n元随机变量。常见的是二维随机向量。,例2.17一个计算机零售店出售个人电脑和打印机。每天售出的电脑和打印机数量不同，店主记录了过去200天每天的销售状况，见表2-2。,表2-3提供了一个双变量（或联合）概率密度函数，通常用f（X,Y）表示。表中每值均为联合概率。一般地，令X、Y是两个离散型随机变量，那么函数：f(X,Y)=P(X=x,Y=y),独立性,2.6.1边缘概率密度函数边缘概率密度函数：当X取一给定值，而无论Y取值如何时的概率称为X的边缘概率，其概率密度称为X的边缘概率密度函数。下表是例2.14中随机变量X，Y的边缘分布

13、。,00.0800.1110.1210.1620.2420.2330.2430.2740.3240.23总计1.00总计1.00,Xf(X)Yf(Y),表2-4个人电脑售出数量X和打印机售出数量Y的边缘分布,2.6.2条件概率函数（离散型）在给定条件下Y取值的概率称为Y的条件概率密度函数,计算条件概率密度的方法,？在例2.17中，求P(Y=4|X=4)=？,类似地，给出X的条件概率密度函数：,2.6.3统计独立性统计独立性：两个变量X和Y称为统计独立的，当且仅当它们的联合分布密度函数可以表示成其边缘密度函数之积。即,例2.18一个袋子里放着分别写有1，2，3的小球。现从袋中有放回地随机抽取两球。X表示第一次抽取球的数字，Y表示第二次抽取球的数字。表2-5给出X和Y的联合概率密度和边缘概率密度。,表2-5两随机变量的统计独立性,？例2.17中个人电脑和打印机的售出数量是独立随机变量吗？,2.7总结1.样本空间、样本点、事件2.事件的概率3.随机变量4.随机变量的概率分布5.多元概率分布、联合概率分布、边缘概率分布6.条件概率分布、独立性,作业：第2章书后习题：2.9、2.12、2.13、2.14、2.17,