函数奇偶性与单调性

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1、学生编号学生姓名年 级高 一辅导学科数 学 授课教师 教材版本沪教版课题名称函数的性质1奇偶性与单调性剩余学时（ ）学时授学时间 年 月 日教学目的1、 掌握奇、偶函数的定义,理解奇偶函数的必要条件,能运用定义判断某些简朴函数的奇偶性;2、 理解和掌握奇、偶函数的图像特性,能运用函数的奇偶性作某些简朴函数的图像;3、掌握函数单调性的定义,掌握单调区间、增减函数、单调函数的概念,理解函数在区间上为单调函数与函数是单调函数的异同点,会运用函数单调性的定义判断某些简朴函数.重点难点函数奇偶性、单调性的鉴定,以及由函数图像研究其性质和由函数性质研究其图像的一般措施.【知识要点】一、函数的奇偶性奇偶性定

2、义:设函数,任取,有,则称函数为偶函数；,则称函数为奇函数.性质:(1)函数的奇偶性是函数的整体性质,是对函数的整个定义域而言;(2)由知,若则,因此,函数的定义域有关原点对称是函数为偶(奇)函数的必要条件(非充足)(3)若,则是为奇函数的必要条件(非充足)(4)常数函数一定是偶函数;若则既是偶函数又是奇函数;函数既是偶函数又是奇函数(,其中是有关原点对称的任何一种非空数集)(5)奇偶函数的图像特性:函数是奇函数函数图像有关原点对称； 函数是偶函数函数图像有关轴对称. (6) 奇偶函数的运算性质:设为奇函数,为偶函数,则在上有:奇奇奇,偶偶偶,奇奇偶,偶偶偶,奇偶奇；(7)多项式函数为奇函数偶

3、次项系数全为0； 多项式函数为偶函数奇次项系数全为0.二、函数的单调性单调性定义(唯一证明措施):对于区间上的函数,在上任取两个若称在区间上是增函数,区间成为函数的单调增区间;若称在区间上是减函数,区间成为函数的单调减区间.性质:(1)函数单调性是函数的局部性质,研究函数的单调性可以在定义域的某个区间(定义域的子集)上进行(而不需要在整个定义域上);函数的定义域可以有若干个增减性不同的单调区间;若函数在整个定义域上单调,则称为单调函数.(2)函数单调性二个等价形式： 在上单调递增(递减);在上单调递增(递减).(3)若在上单调递增,则;若在上单调递减,则_.(4)设则在上是增(减)函数.(5)

4、单调性与奇偶性:若奇函数在区间上单调递增(减),则在区间上单调递增(减);若偶函数在区间上单调递增(减),则在区间上单调递减(增);(6) 复合函数单调性:两个单调函数与复合,不管复合成果是还是,有如下性质:若与单调性相似,同增或同减,则复合成果为增;若与单调性相反,一种增一种减,则复合成果为减;以上性质可记为一句口诀:“同增异减”.单调区间的书写规定:若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,固然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.此外,若函数在其定义内的两个区间、上都是单调增（减）函数,一般不能认简朴地觉得在区间上是增（减）函数.例如在区间上是减函数,

5、在区间上也是减函数,但不能说它在定义域上是减函数.事实上,若取,有.【典型例题】一、函数的奇偶性题型一 判断并证明函数的奇偶性措施:(1)定义法:一方面判断其定义域与否有关原点中心对称.若不对称,则为非奇非偶函数;若对称,则再判断或与否认义域上的恒等式;(2)图象法:观测图像与否符合奇、偶函数的对称性.阐明：(1)分段函数的奇偶性的鉴定和分类讨论思想密切有关,要注意自变量在不同状况下体现式的不同形式以及它们之间的互相运用;(2)判断函数的奇偶性,一方面要考察定义域与否对称;(3)若判断函数不具有奇偶性,只需举出一种反例即可;(4)函数就奇、偶性来划分可以提成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇

6、函数也是偶函数.例1.判断下列函数的奇偶性:(1)； (2) (2) (4) (5)(6)已知函数满足:,且,则函数的奇偶性为_.题型二 运用奇偶性求函数式或函数值例2.完毕下列各题:1.设函数为定义域为R上奇函数,又当时,试求的解析式.2.已知是奇函数,当时,求当时,得解析式.3.设函数是定义域R上的奇函数,当时,求的值.4.设在R上是偶函数,在区间上递增,且有,求的取值范畴.5.已知函数,若,求的值.6.若函数是偶函数,则_.7.已知是偶函数,是奇函数,且,试求的体现式.题型三 逆用函数奇偶性求参数的值例3.1.若函数为偶函数,求实数的值。2.若函数是R上的奇函数,则实数=_.3.已知函数

7、,若为奇函数,求实数的取值。题型四 奇偶函数的图象关系及其运用1.若奇函数在区间上是增函数且最小值为5,则在区间上是( )A.增函数且最小值为;B.增函数且最大值为;C.减函数且最小值为;D.减函数且最大值为2.已知函数在上是增函数,又函数是偶函数,则( )A.; B.;C.; D.3.设是定义在上的偶函数,且在上是增函,已知,那么一定有( )A.;B.; C.; D.4.定义在区间的奇函数为增函数;偶函数在区间上的图象与的图象重叠,设,给出下列不等式:; ; 其中对的的不等式个数为( )A.1；B.2；C.3； D.45.若函数是定义在上的奇函数,且在上是增函数,又,则不等式的解集是_.6.

8、设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为( )A.B.；C.D.7.设都是上的奇函数,则集合=( )A. B.C. D.8.设的定义域是,对于任意均有时,讨论的奇、偶性并加以证明;在上的单调性并加以证明;求在上的最值.二、函数的单调性题型一 判断并证明函数的单调性例1.用定义法证明函数上是减函数.证明:原函数可变形为,设,则上是减函数.题型二 求函数的单调性区间 精确画出函数的图象是求函数单调区间的重要措施之一,特别是如下几种函数:1.对号函数,俗称“双勾函数”(或者“耐克函数”)2.“V函数”(类似二次函数抛物线)3.双曲线型函数4.5.等例2.求下列函数的单调区间 题型三 复合函数的单调

9、性的求法 复合函数的单调性的求法可分如下几步:1.求复合函数的定义域;2.将复合函数分解为两个基本函数,即3.分别求两个基本函数的单调性,运用“同增异减”原理求得原函数的单调性.例3.(1)求函数的单调区间;(2)求函数的单调区间.题型四 已知函数的单调性,求参数的取值范畴 解决该题型的基本措施是:重要措施是运用图像,结合函数的性质求解;也可运用函数的单调性定义法求解.例4.(1)已知在单调递增,求的范畴_;(2)已知在单调递增,求的范畴_;(3)已知在上是减函数,则的范畴是_;(4)已知是上的增函数,那么的取值范畴是_;(5)已知函数,若在区间上是减函数,则实数的取值范畴为_;(6)设函数在

10、上是增函数,则的范畴分别为_.题型五 单调性的应用 单调性的应用重要分为三个方面:1.比较大小;2.求值域;3.解不等式.例5(1)已知定义域为的函数在上为减函数,且满足为偶函数,则( ) (2)比较的大小_.(3)比较的大小_.例6.(1)求在上的值域_;(2)求在上的值域_.例7.(1)定义域为,且对于一切,均有,当时,(i)求(ii)判断单调性并证明;(iii)若,解不等式(2)已知定义域为的函数是奇函数.(i);(ii)若对于任意,不等式恒成立,求的取值范畴.【课后练习】(一)函数奇偶性1.判断下列函数的奇偶性.(非奇非偶) (非奇非偶)(奇函数) (奇函数)(非奇非偶) (既奇又偶)

11、(偶函数) (奇函数)2.若函数是奇函数,则下列各点中,函数图像上的点是 3.设,且,那么.4.设是偶函数,那么.5.若函数为奇函数,则.6.若函数(不恒等于0)与的图像有关原点对称,则考察的奇偶性,可得是偶函数.7.若函数为奇且不是偶函数,则,.8.已知奇函数则其图像与轴也许有几种交点？所有交点的横坐标之和是多少？其图像与直线也许有几种交点？所有交点的横坐标之和是多少？若在处有定义,则有奇数个交点,若没有定义,则有偶数个交点,所有横坐标之和是09.设函数的定义域为,且则是奇函数 既是奇函数又是偶函数偶函数 既非奇函数又非偶函数10.若函数可以表达到一种奇函数与一种偶函数的和,则奇函数可以是.

12、11.函数为偶函数,为奇函数,且求和解析式.12.函数是定义在上的奇函数,当时,求的解析式.13.设是任意一种函数,且定义域有关原点对称,则函数的奇偶性为奇函数.14.已知函数对一切均有求证:是奇函数.提示:先推出再证(二)函数单调性1.函数在和都单调递增,则实数的取值范畴是.2.讨论函数上的单调性,并证明.上单调递减,在上单调递减3.函数在上是增函数的一种充足不必要条件是4.已知函数在上单调递减,求实数的取值范畴.5.已知函数在上单调递增,求实数的取值范畴.6.若函数在上是减函数,则实数的取值范畴是7.若二次函数、使在上单调递减且在上的最大值为,最大值为,写出一种满足条件的.8.试写出一种不

13、是分段函数形式的函数解析式,使该函数在区间和上单调递减,且在区间和上单调递增.(答案不唯一)9.若奇函数在区间上是增函数,且满足,求出一种满足条件的函数的图像;求不等式的解集.例如:,10.设函数的定义域为,且有:,对任意正实数,均有为减函数.(1)求:;(2)求证:当时,;略(3)求证:当时,均有;略(4)解不等式:11.设是定义在上的函数,对任意实数,均有,且当时,(1)求的值;1(2)求证:是上的减函数;(3)如果对任意实数,恒成立,求实数的取值范畴.(三)综合题1.若定义域为的偶函数的一种单调递增区间是,则函数的一种单调递增区间是 .2.已知奇函数在上单调递减,且有则如下结论不对的的是

14、.3.已知函数,且均为实数,则的值(B)(A)一定不小于零;(B)一定不不小于零;(C)一定等于零;(D)也许不小于零,也也许不不小于零4.定义在上的偶函数在上递减,且,则实数的取值范畴为5.若奇函数在上单调递增,且则不等式的解集为6.已知在上是偶函数,且在上为减函数,则不等式的解集为7.若奇函数是定义在上的减函数,且,则实数的取值范畴是 . 8.设是定义在上的奇函数,且对任旨在时,均有.若,试比较和的大小.9.已知是奇函数,求函数的单调区间.单调递增,在和上单调递减.10.有下列命题：(1)若为奇函数,则必有;(2)若是奇函数,则一定为奇函数;(3)若为偶函数,则一定不是偶函数.其中真命题的人数为(A)(A)0;(B)1;(C)2;(D)3*11.判断函数的奇偶性:非奇非偶*12.设是偶,是奇函数,求的值.*13.函数的单调增区间为 .*14.已知在上是减函数,求实数的取值范畴.*15.若函数是减函数,则的取值范畴是.16.已知函数满足,且.(1)求证:是奇函数;*(2)设,求证:方程至少有一种实根;若方程在上有个实根,则必为奇数(1)略(2)略