函数的单调性教案

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1、1.31函数的单调性(1) 一、教材分析（一）教材的地位和作用本节是高中数学的必修(1)第一章集合与函数概念中第三节函数基本性质的内容，是高考的重点考查对象之一。函数的单调性是函数的一个重要性质，也是在研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小、对函数的定性分析以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用。通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握函数单调性的概念和证明函数单调性的步骤，又可加深对函数的本质认识。也为今后研究具体函数的性质作了充分准备，起到承上启下的作用。 （二）教学内容对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降，这种由形到

2、数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的教学目标、重点和难点 二、教学目标知识与技能：能用文字语言和符号语言正确表述增函数、减函数、单调性、单调区间的概念；能用图形语言正确表述具有单调性的函数的图象特征，明确掌握利用函数单调性定义证明函数单调性的方法与步骤；并能用定义证明某些简单函数的单调性；过程与方法：培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质。情感、态度与价值观：让学生

3、体验数学的艺术美，养成用辨证唯物主义的观点看问题。三、 教学重难点重点是对函数单调性的有关概念的本质理解。难点是利用函数单调性的概念证明或判断具体函数的单调性。四、教学方法：根据本节课的内容及学生的实际水平，我尝试运用“问题解决”与“多媒体辅助教学”的模式。力图通过提出问题、思考问题、解决问题的过程，让学生主动参与以达到对知识的“发现”与接受，进而完成对知识的内化，使书本知识成为自己知识；同时也培养学生的探索精神。五、学法指导在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终

4、把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。六.教学过程通过设置问题情景、课堂导入、新课讲授及终结阶段的教学中，我力求培养学生的自主学习的能力，以点拨、启发、引导为教师职责。(一) 设置问题情景引例学校准备建造一个矩形花坛，面积设计为16平方米。由于周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米。记花坛受限制的一边长为x米，半周长为y米。(1) 写出y与x的函数表达式；(2) 求(1)中函数的最大值。（用多媒体出示问题，并让学生思考）通过问题情景的设置主要是为了达

5、到以下两个目的：第一问为了复习回顾函数的表达式；通过第二问激发学生对探索研究、学习新知识的热情，为导人新课及顺利完成教学任务做了思想上的准备。(二) 揭示课题，导入新课通过对第二问的分析知，要解决问题只要搞清函数的函数值y随x的变化情况即可。接着用多媒体给出函数的图象,让学生利用初中所学的知识,结合图象观察得出函数值y随x的变化情况,初步概括出增函数与减函数的概念。但仅从图象看显然不过严密，我们必须对它进行系统的、科学的研究。(板书课题)(三) 讲授新课在上述的基础上进一步启发学生，让学生用数学语言归纳出增函数、减函数的概念，教师进行补充，接着用多媒体显示增函数、减函数的定义。紧接着引导学生结

6、合教材中的图29（或用多媒体给出的屏幕）仔细体会定义中的两个简单不等关系“”和“或”，它刻划了函数递增或递减的性质。这就是数学魅力！对定义作了初步分析以后，指导学生再次阅读和分析定义，同时教师提出以下问题：定义中的关键词语是哪些？（学生思索）教师在学生思索过程中进行一次有感情地朗读定义，并在关键词语处加重语气，学生感到困难时，给以适当的提示。（这一环节是学生正确地、深入地理解概念的关键，教师应该启发引导学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力）通过学生的分析讨论得出以下几个关键词语：(1)“定义域内某个区间”（多媒体中对这八个字用红色显示）。这里包含两层意思：第一函数的单调

7、性只能在定义域内讨论；第二函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，否则无法讨论其单调性。（教师举例说明）(2)“任意两个”和“都有”。就是说这里的在给定区间上具有任意性，不能用特殊值来判断函数的单调性（要特别强调），而且只要，则 （或）恒成立。以上两点让学生通过构造反例来进一步说明。（通过学生的积极思维探索，从抽象到具体，并通过反例反衬，使学生对概念有了本质的认识，同时也锻炼了学生的逻辑思维能力）接着教师作以下阐述：反过来，如果我们已知在某个区间上是增函数或减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判断函数值的大小，也可以有函数值的大小去判断自变量的大小，即一般成立则特殊成立，反之不然，这恰

8、是辨证法中一般和特殊的关系。（用辩证法的原理来解释数学知识的同时，用数学知识去理解辩证法的原理，这样分析有助于深入地理解和掌握概念，培养学生自主学习的能力）学生看书了解单调性与单调区间的有关概念。(四) 知识的应用例1：（用多媒体给出书中P59页例1）通过对本例的解答达到以下目的：（1）会根据图象写单调区间；（2）明确区间的端点值不影响函数在这一区间上的单调性。例2：（书P59例2多媒体给出）借助函数的图象看单调性既形象又直观，是一个好办法，但是在理论上不够严密，尤其是不易画出图像的函数，因此我们还必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径。（指出用定义证明的

9、必要性）提问：怎样用定义来证明呢？学生思索并动笔，教师不断点拨启发，最后师生共同完成（教师认真规范地板书证明过程，以对学生起到示范作用）回顾解题过程达到以下要求：(1) 总结归纳出用定义证明函数单调性的步骤（用多媒体给出）。(2) 变式训练：讨论函数（为常数，且）。通过变式训练使学生认识到一次函数的单调性决定于一次项系数，同时训练了学生进行分类讨论的重要数学思想。经过以上两例使学生巩固定义，初步具备解决相关问题的能力。(五) 总结阶段(1) 课堂练习,巩固概念,强化学生对这节课的掌握。练习为书本中P60页第一、二题，其中第一题学生口答，第二题叫一位中等学生板演。教师及时点评。(2) 与学生一起

10、解决引例中的第二问。并作以下变式：求函数的值域。（学生课后思考，为下节课作铺垫）(3) 课堂小结（内容由多媒体给出）通过小结使学生理清本节课的重难点。(4) 布置作业书本P32页第2题,P32页的第5题。通过作业反馈学生对所学知识掌握的效果，以利课后解决学生尚有疑难的地方。六、说课总结：以上是我根据学生的身心特点和认知规律,结合教学内容及要求,本着遵循启发性原则,循序渐进原则,巩固性原则,在教学中贯彻以生为本的教育基本理念而进行的教学设计, 为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施： （1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入（2）在应用概念阶段, 通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤