激光雷达回波过程的稳定分析反演

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1、激光雷达回波过程的稳定分析反演摘要：文章中提出一种简单的分析方法，这种方法给出了在不均一的大气环境下从单通 道单波长的激光雷达系统提取衰减和后向散射系数的应用方面的潜力。这种方法首先假 定了单一散射激光雷达公式和散射和衰减之间呈指数关系的正确性。对于光学厚度大于 统一的反演方法原则上可以只使用包含在信号本身的信息。和传统的分析反演相比，新 的反演解的形式在有信号扰动，假设后向散射和衰减之间的假定关系和假定或估计的边 界值的情况下很稳定。1刖言激光雷达早期和现今持续的研究目的是设计出一种反演方法能快速准确的从单通 道单波长的激光雷达系统的回波信号中反演做出一些光学参数的廓线，例如：在不均一 大气

2、中的衰减系数和后向散射系数。这是一个领域的问题，正如Collis和Russell在一篇 杰出的综述文章中表述的那样：激光雷达早期的期望还没有实现。在这一过程中遇到很 多问题是由于激光雷达本身的限制和与之相关的数据处理技术，还有就是理论对于反演 过程准确性的约束。这篇文章表明了关于后者一类问题，并且特别展示出基于一种大家 所熟知且新的分析方式的反演方法。2回顾斜率反演方法和反演的解对于单通道单波长的激光雷达而言，单一散射的激光雷达假定方程表达式：P r = P0丝Aexp 2 0o r dr(1)公式中P r是在时间t时接收到的瞬时功率，Po是在时间t0时刻的发射功率，c是光速， t脉冲持续时间

3、，A是有效的系统接收面积，r = c(t t0)/2是距离范围，p r和ar 大气的体积的后向散射和衰减系数。更方便的信号变量是距离矫正信号，定义为：S r = In r2P r (2)考虑到S = S r并且S0 = S(r0),在这里r0是已知的参考常数范围，公式(1)表达是与系 统无关的形式：S S = In。一 2 Fdr在公式中场=P % 。0 与000和公式(3)相应的微分方程的形式：dS = 1 解一 2。 (4)dr & dr要求解上式，在耶d 0时，显然需要知道或者假定B和。之间的关系。另一方面，当气象条件均一时，邓 姑=0衰减系数可以用信号的斜率来表示:叫彻=-2节（5），

4、 这是斜率法反演的基础，在通常的最小二乘法直线拟合到曲线S = S（r）的斜率被用来 作dS/dr超过其中S本身似乎是接近直线的任何间隔的最佳估计。更进一步，我们常常假定在明显的不均匀的大气环境中，连续的信号的微小间隔可 以使用斜率法做一级近似可以得到。=ar。公式（4）明显的表明至少对于大多数S 曲线相当于一个推测：耶dr 2“不幸的是，这种假设在我们感兴趣的一些情 形下显得不是很合理，例如，多云，雾，烟和灰尘的天气条件。有时候甚至是在相对稳 定的但是有流行性雾，或者是当地标志性非匀质天气发生的条件下。例如，空间雾滴的 浓度变化范围非常大，最大为2个数量级为一定大小的类别。在激光雷达光路上这

5、些微 结构的变化可以导致d# dr的相对波动。因此利用斜率法是无效的。因此，比率和slice 反演法同样是备受质疑的，因为它们仅仅是应用在连续间隔斜率法的变体。（另外，在 最近发表的Kohl和Brown的文章中讨论了斜率法和比率法的优点。）一些发表的观察和学术研究表明，颗粒物的后向散射在一个相对宽泛的环境中受大 气中气体成分的影响（例如，大致有灰霾，云，或者雾通常的还有红外线），根据幂指函数的形式，B和a大致的关系为：B = cons切* （6）公式中k值取决于激光雷达的波长 和模糊气溶胶复杂的属性。据报道指数的大概取值范围是0.67 k 1。如果假设这样 一个关系，公式（4）可以变形为# =

6、 籍-2。（7）尽管上面的微分方程是非线性的，但他有一个基本结构，也就是所谓的伯努利或者 齐黎卡提方程。很长一段时间（将近有300年）就为大家熟知的引入新的即原来的倒数 可以将这种类型的方程转化为一阶线性微分方程的形式。方程的解通常可以简单的写成:-1 = exp /- r 1 芟如 x /C- 2绯/ 1 益 如 （8）k dr1kk dr公式中C是积分常数。如果k被当做常数，这似乎不是过分限制并且应该简明的假定，就可以得到一个很典型的解a =exp s-s。k （9）/ %1-2 r0 eXP S-S0 k dr，在公式中气=ar0。该公式（9）和与之相关的遥感文献的第一次出现是1954年

7、用雷 达在衰减波长范围内降雨强度的测量。它已经重新出现在解释激光雷达测量结果的几篇 文章。尽管公式（9）比斜率法具有理论优势（公式7中，相应的k值取k=1）,后一种方 法使用的比较多。这是由于公式（9）往往容易产生较好的边际效果，并且在实际应用 中公式（9）往往会成为问题的来源，而不是分析雷达或激光雷达回波信号的有效工具。 例如，在1954年Hitschfled和Borden在他们的文章中指出，可能会不可能较为精确地 校准激光雷达的系统，以期达到使用上述解的目的。在不经由溶液校正衰减雨量测量是 在许多情况下比校正后的值更精确。还有更糟糕的，有些人指出，这个解可能会导致“数 值荒谬的大，无线或者

8、成负值”并且“没有物理意义”的结果。一些人为了避免出现这 种情况，就采用不真实的偏大k值。在文章中你会很惊奇的发觉很少有关于公式（9）缺陷的原因评论。这似乎在一定 程度上归因于交叉散射的影响。然而，由于斜率法同样存在不足，但显然少的严重的后 果，这样的结果并没有说服力。不幸的是，很少有关于多重散射重要性的研究可以参看。在Viezee等人的其中的一 项研究中，在浓雾条件下比较使用斜率法测得的激光雷达和透射测量的结果要比激光雷 达派生的能见度值高10-45%。他们推测这种偏差是由于远期响，并且提出了在浑浊气 象条件下使用经验校正的斜率法。另一方面，他们也指出，多重散射的理论可用的描述 无法解释的激

9、光雷达和透射数据的观察不符。以后，Monte Carlo在均匀浓雾条件下模 拟二阶和三阶的多重散射得出结论：在100m量级的能见度多重散射辐射会导致斜率法 产生至少10%的误差。研究表明，对于密集色散，用公式（1）和（9）的时候，多重散射辐射会产生关键 不同的影响。因此，尽管它可能是公式（1）的理想替代公式，原因是因为它是一种包 含高的散射近似的新的形式（例如，可能会沿着最近萨莫赫瓦洛夫概述的线），目前似 乎没有理由在明显的不均匀大气环境条件下把多重散射辐射当作激光雷达信号反演的 必要条件。单纯的从数学的角度出发，很容易发现公式（9）存在的问题。由于消光衰减，在的 范围之外信号的平均值会衰减。

10、a值是有两个量的比值决定的，这两个值都会随着距离 r的增大而逐渐减小。而且，分母在趋近于零的时候必须和分子具有相同的趋近于零的 速度，它的表达式通常为两个相对较大数值的差。这样的结构通常不稳定并且0达不到 一定的精度，而一定的精度往往是避免奇点甚至是无噪声信号的必要条件。考虑到由于气的误差导致的a的微小波动的增长，上面的这些描述定量地说明了气 的决定因素。对于相同的信号，让a作为相应的解，而。 =a + 6作为与 = % + %相 应的解。公式（7）的积分形式如下S -Sn = kln- 2 r adr = kin 八一2 r odr （10）0%r00r0这意味着：1 + 8 a = 1 +

11、 80 % exp 2 J 8dr （11）考虑简化对于均匀大气有a =气。然后对公式（11）进行微分可以得到：d2 2T = T %。2 1dr k 0上式中2 = 1 + 5 %。像公式（7）一样，这是齐黎卡提方程，下面给出了解得形式：1 + 1 = 1 - % 1 + 4 1 eXp 20 r-r （12）从表达式可以看出，a的值偏低，当r 8时，导致6t-%。在另一方面，气的值偏高 在有限的距离范围内，a 8时有r =上知1 +电（13）例如：如果气= 10km-L k = 1,并且扁 = 10-2，方程的解就会在下一个231m产生 奇点；也或者对于r %+ 尸方程的解会产生负值。这个

12、例子在图一中给出，长度范围 内沿横坐标作图的单元已被设置为等于0.003公里，并且纵坐标是按每公里衰减。（在 本文中所有关于。=ar的理论曲线都是采用相同的单位。相应的S-S0 r-r0的曲线 使用相同的间隔范围，理所当然S - S0是无量纲量。）图一所示的倾向是有较大的 k值 （低能见度）和较大的扁值（不能很好地确定）决定。最后，把公式（12）带入公式（10）再现原始信号，S-S0 = 2% r-r0，对于 独立的扁的值。因此，关于最后的结果需要强调的有两点：（1）公式（9）的构建是存 在诟病的（虽然一般在比较复杂的情况下，就像是专业术语中的随意套用），在选择不 同的边界值气值的时候，小的的

13、差异并不能保证相应的解与 %相关。（2）从解的角 度重构a，S。曲线和原始曲线S的接近程度并不能充分的保证解的合理性。（在之已经 用这种接近性来检验解的正确性。）由于这种原因像预期的那样，经验表明，公式（9） 本身的实用性很小。3. 新的解的形式很幸运我们可以很容易地选择一种比公式（9）不同更合理的解得形式。为了是产 生的解适合在r %而不是r %的条件，并且考虑的参考范围，我们只需要估计公 式（8）中的积分常数C。对于常数k结果是：a r =S-Sm , （14）（%1 +2 E exp S-Sf k dr公式中有= s %和 = f。这个公式是公式（9）的变形看起来是无害的，并 且和之前的

14、解产生很大的不同。由于r从开始减小，a的值是有这两个数值的比例决定 的，并且每个值都逐渐的增大，所以很容易维持解的稳定性和精确性。这种解的形式的 分母也表明解中的随着r的减小而减小。图2中列举出了公式（9）和公式（14）的对比图。在这幅图和接下来的几幅图中， 展示了对于给定的a值利用公式（10 ）对信号进行反演结果公式（9）和（14）的解。 在计算中令k = 1除非在其他地方指明了 k的值。（只要在反演信号的过程中使用相同 的数值，那么k的取值就变得无关紧要。）图2 （a）给出了与图2 （b）中的a相对应 的信号的关系图。图2 （b）中也展示了给定边界值的条件下利用公式（9）反演原始信 号的廓

15、线图，其中误差在1%。图2 （c）展示了对于给定边界值用公式（14）反演的 廓线图，其误差为50%。用公式（14 ）估计的不精确的边界值所带来的相对较小的影 响就很明显了。图3展示了在含有模拟信号噪声的反演能力的类似差异。图3 （a）给出了首先对 P r ,然后对结果S r添加一个背景级别的噪声而产生的噪声污染信号。从公式Q）可 以看出由于衰减Pr随着距离而减小，P在弱背景下将显露自己作为S中随着距离而 迅速增加的噪声。选择背景噪声的幅度，可以提供在实际瞬时数字转换器的动态范围的 限制的近似模拟。（审阅者P.B.Russell为这个特殊的例子提供了灵感。）因此，对于一 个12位的数字转换器的理

16、想条件下的操作时，当PP0 = 2-12 = 2x 10-4时位错误成为100%。从公式（2）中我们可以看到当尸=%时由于位误差引起的相应的波动将 会是5S = 8P P = 0 1 ,并且S总的减少量（S可以在信号完全恶化之前保持不变）在 rm = 3r这个特殊的条件下大约是：S Sc = 2ln r r + In P r r 2In r r 8 6。对于恒定的衰减分布特m 0m 0m 0m 0征，在图3中所示。=10km-1时，这对应于300米的总范围的时间间隔。图3（b）和（c）给出了噪声信号的反演。在图3（b）中在获取正确边界值的条件 下使用公式（9）计算在处的衰减。所示的两条反演曲线

17、表明使用公式（9）可能会 得到两种不稳定的检索结果：如果在处噪声对于S的贡献是为正值（5S00），则反 演曲线会不切实际地趋向于衰减为零；另一方面，如果5，00，反演曲线范围不切实 际的上升超出了噪声点遇到甚至可能发散到无穷大。（为了获取这些结果，仅仅改变5S0 的标志，它的幅度，SS0 = 2 X 10-2，在图3（a）很少能够检测到它的范围。）对于 图3（c），在已知准确的边界值的条件下使用公式（14）计算在处的衰减。反演曲线 说明公式（14）可以从靶场遇到大信号错误中恢复的倾向。结果是否可以忽略取决于5S0 的符号。在图4中给出了不正确k值得影响，其中再次计算是基于图2中所示的衰减的平台

18、 状分布，且k=1是用来产生信号的（图2（a）中所示）。从图4（a）中可以看出，只 要信号的斜率不同，把k值带入计算，基于公式（9）的反演是失败的。图4（b）说明 公式（14）所带来的影响是很微弱的，这就表明没有必要获得精确的k值。总之，这些例子表明公式（14）对于影响真实信号反演结果的误差是相对不敏感的。 尤其令人鼓舞的是方程（14）倾向与接近正确解曲线，尽管边界值是不精确的估计。 这就提出了一个希望：可能没有必要精确激光雷的校准或一个参考点的一些光学参数 的独立测量，至少对那些感兴趣的应用程序。在下一部分，如何从单纯的信号使的合 理自足估计问题进行了简要的考虑。4. %值得估计，斜率法泛化

19、鉴于以下的情况，取得良好的估计值似乎是一个相对简单的事情：假定激光雷 达公式（1）的合理性和公式（6）的本构关系，并且假定。在特定的间隔（，rb ）上 呈线性变化，考虑到一定间隔上的信号，独自的表达。是可能的。这里可以直接的从公 式（9）和公式（14）在区间，rb ）上的积分直接得到并且有S0 tS = S ra和S tSb = s* :rb adr = ln1 练 rb exp k ras s ak dr，(15)ra2rb odr=- In1 + 2 rb expS Shk dr,，(16)ra2krab公式中 = o ra和 = a rb。由于假定。在区间（ra，rb呈线性变化，在间隔上

20、。的平 均值是。=气+% 2。因此公式（15）和公式（16）或许可以用来预测6气和气的 值。例如，6的值可以从下面的公式的解中获得Q = 1e叩-Q + exp Q 1 ），在公式中 Q = 2o YTk （18），I =2顷 2必b aabr7 r1rb exp S S kdr（19）， L =r7r1rb exp S S,k dr=ba r raba b a r rbaay exp Sa Sb k （20）。因为根据假设随着间隔的减小6的线性会更好，在原则上应用公式（17） - （20）在过小的间隔连接的应用程序将构成激光雷达的信号，在反演中除了需要信号本身之外其他不需要任何信息。然而，实

21、际上，对于信号本身的结构了解的不是很充分从而保证这种方法的正确性。例如，在Q 1间隔Ar k 2。的情况下，通过考虑公式（17）-（20）解得形式可以看的出来。通过扩张I沥和Iba为包括术语的*成正比，就可以得到。的解： = -3号林 X 1+ 1 -一16一/S2 + S2 + k（S + S：） 1 2， （21）公式中169/S/a +Sb 2 a ba bS =（dSdr） , S= dS dr , S = d2S dr2 ,S= d2S dr2，。公式（5）所表a brb ara b弓示的斜率法的结果的泛化在考虑到当地几何信号会更加严格。然而，不幸的是，新的术 语信号的曲率是很难估计

22、的，因此，逐点应用公式（17）-（20）或者公式（21）可以 预计对于斜率法很难有实质性的改进。鉴于这些困难，我们将在这里求助于。的很简单的坡型估计，换言之也即是：（ 2 S-Sm （22）这个表达式的效用会随光学厚度而增加T,使得信号的变化主要是由于衰减的幅度的变化， 而不是通过改变衰减的分数梯度引起的（公式7中的第一项和第二项）。在非常干净的空气中往往希望调用一些额外的校准程序或其他独立方法来估计和的值。对于浑浊的大气，如果它是已知的衰减在近常数。除以总范围/%，rm内的一些子 区间心 rm，通过在公式（14）中设定。 = %，它可以比公式（22）更好地估计(23)。求解。得）-exp s

23、b-sm k-1m m 2 尸 exp s-sm k dr/5. 反演的例子和讨论根据公式（9）和（14）举了一些反演的例子，对于指定的分布和各种组合中的 %或, S, k的误差示于图5-7。在通过公式（22）或（23）求得后利用公式（14） 可以获得图5 （b）的反演廓线。通过检查图5 （a）中的信号我们或许可以期望在r的 范围在（80, 100）之间时，公式（23）比公式（22）可以更好地估计。这可以由图 5 （b）展示的结果来证明。在整个范围内的输入衰减分布的平均值是。力=9.7km-1, 然而使用公式（22）反演得到的是aout = 10.7km-1，使用公式（23）得到的是 孔=9钦

24、妇。在图5（c）中展示了含噪声的原始信号，噪声污染以致完全按照前面描述的图3（a） 相同的方式。在图5 （d）中给出了通过公式（14）和（22）反演的结果，从图中可以看 出该输入分布的特征在r-r0 60时反演结果很好。在这种条件下消光系数的平均值是 %ut = 11.1km-1。在图5 （e）中相应的给出了基于公式（9）的反演结果，在公式9） 中假定了精确地气值（假定气 = %使用公式22得到的结果看起来很糟糕）；正如前面 所讨论的，反演出现发散和腐烂的形式依赖于5S。正如所期望的，即使的值很精确， 在的附近几乎没有噪声，在反演中对输入分布提供比较差的检索。对于这个糟糕的案 例，消光系数的平

25、均值是aout = 6.0km-1。接下来我们给出了关于假定后向散射系数和消光系数的关系所带来的额外误差的 影响的例子。再一次考虑图5 （b）中给出的消光系数的输入分布。在前面使用公式（6） 且k=1尝试检索此分布。现在假设后向上散射系数实际上取决于更敏感的。的大小。这 种行为的另一种表述是假设一个变量k,这背离了。小数偏差与其平均值的比例单位 。= 9.7km-i，例如，让k = 0.5 1 + a a。对于求解图5 （b）中的。力的k值在图6 （a） 中给出。这些结果带入公式（10）和之前加入噪声，最终信号出来显示在方程6（b）。 在图6（c）给出了方程（6），方程（14），方程（22）在

26、k=1时的信号反演图。可以 看出输入信号的分布特点相对平稳，除了在极端的噪声的靶场区域。这种情况下消光系 数的平均值aout = 11.3km-i。在图6（d）中给出了基于k=1时的方程6,方程9并且 假设的估计值没有误差的相应的反演结果。正如前面的例子，方程9的不稳定性会导致糟糕的结果。忽略在处的噪声信号，由于假定的B和。之间关系存在的误差，这里 新形式的反演结果都偏大。图7中的例子是在相对较高能见度的大气中考虑到把。当做一个常数。在图7（d） 中很好地展现出。的输入分布。就像在前面的例子中有关k的有效误差的建模，由于。的 相对较小的变化，我们在这个案例中设置k = 5 （。- 0.8，a

27、= 0.57km-1。图7（a） 中展示了变量k值的结果。在图7（b）中给出了相应的信号，像之前一样信号中包含有 噪声污染。由于在我们所感兴趣的距离范围内S的微小变化，在这篇文章中所模拟的噪 声的影响相对来说不是很重要。在图7（c）中展示了借助k=1时的公式（6），方程（14）， 方程（22）的信号反演结果。图7 （d）给出相应的反演结果，在反演过程中假定方程（6） 的k=1，方程（22）有气=气“。基于方程（14）的反演的消光系数的平均值气或=0.59km-1， 基于方程（9）的值吼=0.63km-1。在高能见度的情况下，上面所举例的结果都是正确的，也即是，在这种情况下没有 必要考虑是选择方

28、程（9）或者方程（14）。很显然的，对于光学厚度较小的条件下方 程（9）相对比较稳定。相反的，小的光学厚度会提升在边界点基于方程（14）的反 演长度的错位趋势。图7（c）中的例子并不能很好地揭示这种作用，因为通过方程（22） 在特定的情况下得到的的估计值和真实值很接近。然而，一般来说，斜率法在大气高 能见度条件下对的估计值往往不精确。特别的是当a的分数发生大的变化。正如之前 所表示的，在这种情况下，除了包含相对信号的信息之外，还需要提供d的比值。尸一尸0作为最后一个例子，在图8中给出了在雾霾天气条件下激光雷达真实回波反演。激 光发射的脉冲为6纳秒，波长为1.06 Mm，平均为10豪焦，和一个2

29、0MHz的采样率瞬 态记录器产生的间隔为7.5米的回波采样点。在图8给出的激光雷达信号在最开始升高 是由于a的增加，而并不是由于发射器和接收器字段不完全重叠所导致的。图8 （b）给 出了当k值为1和0.67时基于方程（14）和（22）的反演结果。对于雾霾天气k值最好 取1，但是在反演的时候正如前面所说的不要再很大程度上依赖于对k值得选择。对于 任一个K值，消光系数的平均值a = 13.0km-1。这个结果可以和通过透射试验测得的 可见性进行比较。透射可见度u是0.2km，基于0.05的对比阈值。则相应的激光雷达反 演值是u = 0.23km。该约定可预期的一样好，而其不确定性和实验数据有关。图8 （b）也给出了基于方程（9）和（22）反演的比较（令 = %）。对于k的 任一值的反演快速就产生奇点。从上面借助方程（14）得到的。的值，可以看出方程 （9）在这种情况下由于的过高估计而使其失败，气的值是由斜率法求得的平均值（方 程 22）。