中考数学二次函数与四边形综合专题

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1、二次函数与四边形综合专题一二次函数与四边形的形状例1. 如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由A解：（1）令y=0，解得或A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入 得y=-3，C（2，-3）直线AC的函数解析式是y=-x

2、-1 （2）设P点的横坐标为x（-1x2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（P点在E点的上方，PE=当时，PE的最大值=（3）存在4个这样的点F，分别是练习1.如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？ 是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由B(0,

3、4)A(6,0)EFOB(0,4)A(6,0)EFO练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为把A、B两点坐标代入上式，得 解之，得故抛物线解析式为，顶点为（2）点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，y0,y表示点E到OA的距离OA是的对角线，因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的取值范围是16根据题意，当S = 24时，即化简，得 解之，得故所求的点E有两个，分别为E1（3，4），E2（4，4）点E1（3，4）满足OE = AE，所以是菱形；点E2（4，4）不满足OE = AE，所以不是菱形 当OAEF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（

4、3，3）而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形练习2.如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为（1）求抛物线的函数关系式；（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？1234554321（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由1234554321练习3. 如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），顶点为，四边形的面积为若点，

5、点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由二二次函数与四边形的面积例1.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下

6、：x-3-212y-4-0图10(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=kDF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.练习1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（8，0），点N的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； （3）截取CE=OF=AG=m

7、，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由BCPODQABPCODQA练习2.如图，正方形的边长为，在对称中心处有一钉子动点，同时从点出发，点沿方向以每秒的速度运动，到点停止，点沿方向以每秒的速度运动，到点停止，两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设秒后橡皮筋扫过的面积为（1）当时，求与之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子

8、时，求值；（3）当时，求与之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时的变化范围；（4）当时，请在给出的直角坐标系中画出与之间的函数图象练习3. 如图，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.(1) 求l2的解析式；(2) 求证：点D一定在l2上；(3) ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.三二次函数与四边形的动态探究例1.

9、如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD、PF重合(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标图1图2例2. 已知抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，

10、与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC）是方程x210x160的两个根，且抛物线的对称轴是直线x2（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EFAC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE的形状；若不存在，请说明理由例3. 如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，将矩形AB

11、CD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重时停止移动平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积（1） S与相等吗？请说明理由（2）设AEx，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？（3）如图11，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形 图10图11练习1.如图12， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4） 点从出发以每秒2个单位长度的速度向运动；点从同时出发，以每秒1个单位长度的速

12、度向运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点作垂直轴于点，连结AC交NP于Q，连结MQ （1）点 （填M或N）能到达终点；（2）求AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由图12练习2. 实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是， ， ；图1图2图3（2）在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点的坐标（点坐标用含的代数式表示）；图4归纳与发现（3）通过

13、对图1，2，3，4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为（如图4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，（其中）问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点坐标参考答案：一二次函数与四边形的形状例1.解：（1）令y=0，解得或A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入得y=-3，C（2，-3）直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1x2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x

14、-1），E（P点在E点的上方，PE=当时，PE的最大值=（3）存在4个这样的点F，分别是B(0,4)A(6,0)EFO练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为把A、B两点坐标代入上式，得 解之，得故抛物线解析式为，顶点为（2）点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，y0,y表示点E到OA的距离OA是的对角线，因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的取值范围是16 根据题意，当S = 24时，即化简，得 解之，得1234554321故所求的点E有两个，分别为E1（3，4），E2（4，4）点E1（3，4）满足OE = AE，所以是菱形；点E2（4，4）不满足OE

15、= AE，所以不是菱形 当OAEF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的 坐标只能是（3，3）而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形练习2.解：（1）由题意知点的坐标为设的函数关系式为又点在抛物线上，解得抛物线的函数关系式为（或）（2）与始终关于轴对称， 与轴平行123554321设点的横坐标为，则其纵坐标为，即当时，解得当时，解得当点运动到或或或时，以点为顶点的四边形是平行四边形（3）满足条件的点不存在理由如下：若存在满足条件的点在上，则，（或），过点作于点，可得，点的坐标为但是，当时，不存在这样的点构成满足条件的直角三角形练习3. 解（1）点，点，点关于原点

16、的对称点分别为， 设抛物线的解析式是，则解得所以所求抛物线的解析式是 （2）由（1）可计算得点 过点作，垂足为当运动到时刻时， 根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形所以所以，四边形的面积 因为运动至点与点重合为止，据题意可知所以，所求关系式是，的取值范围是 （3），（）所以时，有最大值 提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形能形成矩形 由（2）知四边形是平行四边形，对角线是，所以当时四边形是矩形所以所以 所以解之得（舍）所以在运动过程中四边形可以形成矩形，此时 点评本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。二二次函数与四边

17、形的面积例1. 解：（1）解法一：设，任取x,y的三组值代入，求出解析式，令y=0，求出；令x=0，得y=-4， A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4)解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，)可知，抛物线P的对称轴方程为x=-1，又 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .（2）由题意，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，又 ，EF=DG，得BE=4-2m， DE=3m，=DGDE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0m2) .注：也可通过解

18、RtBOC及RtAOC，或依据BOC是等腰直角三角形建立关系求解.(3)SDEFG=12m-6m2 (0m2)，m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 .当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=-，又可求得抛物线P的解析式为：，令=，可求出. 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有=，点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是k且k0.说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.若选择另一问题：(2)，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=

19、2，又， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，=DGFG=6.练习1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC 1分A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3分（写错一个点的坐标扣1分）（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，抛物线过点A（0，4）， 则抛物线关系式为 4分将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得 5AB，垂足为G，则sinFEGsinCAB分解得 6分所求抛物线关系式为： 7分（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m 8分 OA（AB+OC）AFAGOEOFCEOA （ 04） 10分 当时，S的取

20、最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值 12分（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG 14分练习2.解 （1）当时，即 （2）当时，橡皮筋刚好触及钉子， （3）当时，即 作，为垂足当时，即或（4）如图所示：练习3. 解(1) 设l2的解析式为y=ax2+bx+c(a0)，l1与x轴的交点为A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，- 4)，l2与l1关于x轴对称，l2过A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)， a=-1,b=0,c=4，即l2的解析式为y= -x2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)(2) 设点B(m，n)为l1：y=x2-4上任意一点，则

21、n= m2-4 (*). 四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称， B、D关于原点O对称， 点D的坐标为D(-m,-n) .由(*)式可知， -n=-(m2-4)= -(-m)2+4，即点D的坐标满足y= -x2+4， 点D在l2上. (3) ABCD能为矩形. 过点B作BHx轴于H，由点B在l1：y=x2-4上，可设点B的坐标为 (x0，x02-4)，则OH=| x0|，BH=| x02-4| .易知，当且仅当BO= AO=2时，ABCD为矩形.在RtOBH中，由勾股定理得，| x0|2+| x02-4|2=22，(x02-4)( x02-3)=0，x0=2(舍去)、x0=. 所

22、以，当点B坐标为B(，-1)或B(-，-1)时，ABCD为矩形，此时，点D的坐标分别是D(-，1)、D( ，1).因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形ABCD .设直线AB与y轴交于E ，显然，AOEAHB， = ，. EO=4-2 . 由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形ABCD重合部分是菱形，其面积为S=2SACE=2 AC EO =24(4-2)=16 - 8. 三二次函数与四边形的动态探究例1.解：(1) 由已知PB平分APD，PE平分OPF，且PD、PF重合，则BPE=90OPEAPB=90又APBABP=90，OPE=PBARtPOERtBPA即y=(0x4)且当

23、x=2时，y有最大值(2)由已知，PAB、POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)设过此三点的抛物线为y=ax2bxc，则y=(3)由(2)知EPB=90，即点Q与点B重合时满足条件直线PB为y=x1，与y轴交于点(0，1)将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，该直线为y=x1由得Q(5，6)故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件例2.解：（1）解方程x210x160得x12，x281分点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OBOC点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又抛物线yax2bxc的对称轴是直线x2由抛物线的对称性可得点A的

24、坐标为（6，0）4分（2）点C（0，8）在抛物线yax2bxc的图象上，c8，将A（6，0）、B（2，0）代入表达式，得解得所求抛物线的表达式为yx2 x87分（3）依题意，AEm，则BE8m，OA6，OC8，AC10EFACBEFBAC即，EFFG8mSSBCESBFE（8m）8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m10分自变量m的取值范围是0m811分（4）存在理由：Sm24m（m4）28且0，当m4时，S有最大值，S最大值812分m4，点E的坐标为（2，0）BCE为等腰三角形14分（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）例3解: （1）相等。理由是：因为四边形ABCD

25、、EFGH是矩形，所以所以 即：（2）AB3，BC4，AC5，设AEx，则EC5x，所以，即配方得：，所以当时，S有最大值3（3）当AEAB3或AEBE或AE3.6时，是等腰三角形练习1 解：（1）点 M 1分（2）经过t秒时， 则，= 当时，S的值最大 （3）存在设经过t秒时，NB=t，OM=2t 则，= 若，则是等腰Rt底边上的高是底边的中线 点的坐标为（1，0） 若，此时与重合点的坐标为（2，0） 练习2.解：（1），（2）分别过点作轴的垂线，垂足分别为，分别过作于，于点在平行四边形中，又，又，设由，得由，得（3），或，（4）若为平行四边形的对角线，由（3）可得要使在抛物线上，则有，即（

26、舍去），此时若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时综上所述，当时，抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形符合条件的点有，练习3.解：由RtAOBRtCDA得OD=2+1=3,CD=1 C点坐标为(3,1),抛物线经过点C, 1= (3)2 a(3)2，。抛物线的解析式为.在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。以AB边在AB右侧作正方形ABPQ。过P作PEOB于E，QGx轴于G，可证PBEAQGBAO，PEAGBO2，BEQGAO1，P点坐标为（2,1），Q点坐标为（1,1）。由（1）抛物线。

27、当x2时，y1，当x,1时，y1。P、Q在抛物线上。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,1），使四边形ABPQ是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。延长CA交抛物线于Q，过B作BPCA交抛物线于P，连PQ，设直线CA、BP的解析式分别为y=k1x+b1, y=k2x+b2,A（1,0），C（3,1），CA的解析式，同理BP的解析式为，解方程组得Q点坐标为（1,1），同理得P点坐标为（2,1）。由勾股定理得AQBPAB，而BAQ90，四边形ABPQ是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,1），使四边形ABPQ是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。如图，将线段CA沿CA方向平移至AQ，C（3,1）的对应点是A（1,0），A（1,0）的对应点是Q（1,1），再将线段AQ沿AB方向平移至BP，同理可得P（2,1）BAC90，ABAC四边形ABPQ是正方形。经验证P（2,1）、Q（1,1）两点均在抛物线上。结论成立，证明如下：连EF，过F作FMBG交AB的延长线于M，则AMFABG，。由知ABC是等腰直角三角形，1245。AFAE，AEF145。EAF90，EF是O的直径。EBF90。FMBG，MFBEBF90，M245，BFMF，