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1、学时跟踪检测（三） 解三角形的实际应用举例层级一学业水平达标1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A30，则其跨度AB的长为()A12 mB8 mC3 m D4 m解析：选D由题意知，AB30，因此C1803030120，由正弦定理得，即AB4.2一艘船自西向东匀速航行，上午10时达到一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处，下午2时达到这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A. n mile/h B34 n mile/hC. n mile/h D34 n mile/h解析：选A如图所示，在PMN中，MN34，v n mile/h.3.如图，
2、D，C，B三点在地面同始终线上，DCa，从C，D两点测得A点仰角分别是，()，则A点离地面的高度AB等于()A.B.C.D.解析：选A设ABx，则在RtABC中，CB，因此BDa，又由于在RtABD中，BD，因此BDa，从中求得x，故选A.4设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两幢楼的高分别是()A20 m， m B10 m,20 mC10()m,20 m D. m， m解析：选A由题意，知h甲20tan 6020(m)，h乙20tan 6020tan 30(m)5甲船在岛B的正南A处，AB10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航
3、行，同步乙船自岛B出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距近来时，它们的航行时间是()A. min B. hC21.5 min D2.15 h解析：选A由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行t小时后，甲船位于C点，乙船位于D点，如图则BC104t，BD6t，CBD120，此时两船间的距离近来，根据余弦定理得CD2BC2BD22BCBDcos CBD(104t)236t26t(104t)28t220t100，因此当t时，CD2获得最小值，即两船间的距离近来，因此它们的航行时间是 min，故选A.6某人从A处出发，沿北偏东60行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到
4、C处，则A，C两地的距离为_km.解析：如图所示，由题意可知AB3，BC2，ABC150.由余弦定理，得AC2274232cos 15049，AC7.则A，C两地的距离为7 km.答案：77坡度为45的斜坡长为100 m，目前要把坡度改为30，则坡底要伸长_m.解析：如图，BD100，BDA45，BCA30，设CDx，因此(xDA)tan 30DAtan 45，又DABDcos 4510050，因此xDA5050()m.答案：50()8一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕获到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕获到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x_cm.解析：如图所示，
5、设蜘蛛本来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，则AOB60，由正弦定理知：x(cm)答案：9.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟达到A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里，求乙船航行的速度解：如图，连接A1B2，在A1A2B2中，易知A1A2B260，又易求得A1A23010A2B2，A1A2B2为正三角形，A1B210.在A1B1B2中，易知B1A1B245，(B
6、1B2)240020022010200，B1B210，乙船每小时航行30海里10如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登已知ABC120，ADC150，BD1 千米，AC3 千米假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2 千米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B点出发达到C点)解：由ADC150知ADB30，由正弦定理得，因此AD. 在ADC中，由余弦定理得：AC2AD2DC22ADDCcos 150，即32()2DC22DCcos 150，即DC23DC60，解得DC1.3
7、72 (千米)，BC2.372 (千米)，由于2.3722.4，因此两位登山爱好者可以在2个小时内徒步登上山峰. 层级二应试能力达标1.如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是()A240(1)mB180(1)mC120(1)m D30(1)m解析：选C由题意知，在RtADC中，C30，AD60 m，AC120 m在ABC中，BAC753045，ABC1804530105，由正弦定理，得BC120(1)(m)2.如图所示为起重机装置示意图支杆BC10 m，吊杆AC15 m，吊索AB5 m，起吊的货品与岸的距离AD为(
8、)A30 m B. mC15 m D45 m解析：选B在ABC中，AC15 m，AB5 m，BC10 m，由余弦定理得cosACB，sinACB.又ACBACD180，sinACDsinACB.在RtADC中，ADACsinACD15 m.3.如图所示，要测量底部不能达到的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得BCD120，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是()A100 m B400 mC200 m D500 m解析：选D设ABx，在RtABC中，ACB45，BCABx.在RtABD中，ADB30，BDx.
9、在BCD中，BCD120，CD500 m，由余弦定理得(x)2x250022500xcos 120，解得x500 m.4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北(045)的C处，且cos .已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为()A4 海里/小时 B3 海里/小时C2 海里/小时 D4 海里/小时解析：选A由于cos ，045，因此sin ，cos(45)，在ABC中，BC2(20)210222010340，因此BC2，该货船的船速为4海里/小时5.如图，某人在垂直于水平地
10、面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目的点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了精确瞄准目的点P，需计算由点A观测点P的仰角的大小若AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan 的最大值是_(仰角为直线AP与平面ABC所成角) 解析：如图，过点P作POBC于点O，连接AO，则PAO.设COx，则OPx.在RtABC中，AB15，AC25，因此BC20.因此cosBCA.因此AO.故tan .当，即x时，tan 获得最大值为.答案：6甲船在A处观测乙船，乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a n mile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿_方向
11、行驶才干追上乙船；追上时甲船行驶了_n mile.解析：如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BCtv，ACtv，又B120，则由正弦定理，得，sinCAB，CAB30，甲船应沿北偏东30方向行驶又ACB1801203030，BCABa n mile，AC a(n mile)答案：北偏东30a7.如图所示，在社会实践中，小明观测一棵桃树她在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45，往正前方走4 m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75.(1)求BC的长；(2)若小明身高为1.70 m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m，其中1.732)解
12、：(1)在ABC中，CAB45，DBC75，则ACB754530，AB4，由正弦定理得，解得BC4(m)即BC的长为4 m.(2)在CBD中，CDB90，BC4，因此DC4sin 75.由于sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，则DC22.因此CEEDDC1.70223.703.4647.16(m)即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16 m.8.如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一种水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目的P的一种声波信号，8秒后A，C同步接受到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒(1)设A到P的距离为x千米，用x表达B，C到P的距离，并求x的值；(2)求P到海防警戒线AC的距离解：(1)依题意，有PAPCx，PBx1.58x12.在PAB中，AB20，cosPAB，同理在PAC中，AC50，cos PAC.cosPABcosPAC，解得x31.(2)作PDAC于D，在ADP中，由cosPAD，得sinPAD，PDPAsinPAD314千米故静止目的P到海防警戒线AC的距离为4千米
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