高等流体力学课件第二章流体力学的基本方程

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1、高等流体力学高等流体力学电子课件电子课件2.1 连续方程连续方程 方程建立的理论依据：质量守恒定理方程建立的理论依据：质量守恒定理系统的质量守恒：系统的质量守恒：控制体的质量守恒：控制体的质量守恒：在流动过程中，在流动过程中，流体系统流体系统的体积的体积V V的大小和形状可能会发生变化，的大小和形状可能会发生变化，但质量保持不变。但质量保持不变。控制体控制体的质量净流量等于控制体内流体质量的变化量的质量净流量等于控制体内流体质量的变化量2.1 连续方程连续方程 一、连续方程推导方法之一一、连续方程推导方法之一从拉格朗日系下出发，从拉格朗日系下出发，流体系统的质量保持不变。流体系统的质量保持不变

2、。取一个流体系统，其体积为取一个流体系统，其体积为(t),流体系统的质量为：流体系统的质量为：)(tdM故：故：)(0tdDtDDtDM由雷诺输运定理，由雷诺输运定理，0 duDtDdut注意：在使用输运公式时，已经用初始时刻与系统相重合的固定注意：在使用输运公式时，已经用初始时刻与系统相重合的固定体积（控制体）替换了随时间变化的系统的体积体积（控制体）替换了随时间变化的系统的体积(t)2.1 连续方程连续方程 一、连续方程推导方法之一一、连续方程推导方法之一0 duDtDdut上述积分的积分区域上述积分的积分区域相对于整个流动区域来说是任选的，要使积相对于整个流动区域来说是任选的，要使积分恒

3、等于零，只有被积函分恒等于零，只有被积函 数等于零，数等于零，0ut0uDtD或或张量形式：张量形式：0kkuxt0kkxuDtD或或2.1 连续方程连续方程 二、连续方程推导方法之二二、连续方程推导方法之二从欧拉系下出发，从欧拉系下出发，控制体的质量净流入量控制体的质量净流入量 =控制体内流体质量的变化量控制体内流体质量的变化量1.1.笛卡尔坐标系下的连续方程笛卡尔坐标系下的连续方程控制体的选取控制体的选取:边长为边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。的微元平行六面体。yvxvzv),(zyxx轴方向流体质量的流进和流出轴方向流体质量的流进和流出左面微元面积流左面微元面积流入的流体质量：入

4、的流体质量：右面微元面积流出右面微元面积流出的流体质量：的流体质量：dydzdxxvvdxxxx)2)(2(dydzdxxvvdxxxx)2)(2(2.1 连续方程连续方程 二、连续方程推导方法之二二、连续方程推导方法之二yvxvzv),(zyxx轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：dxdydzvxdydzdxxvdxxvdydzdxxvvdxxdydzdxxvvdxxxxxxxxx)()()2)(2()2)(2(1.1.笛卡尔坐标系下的连续方程笛卡尔坐标系下的连续方程y轴方向流体的轴方向流体的净流出量：净流出量：dxdydzvyy)(z轴方向流体的轴方向流体的净流出量：净流出量：dx

5、dydzvzz)(2.1 连续方程连续方程 二、连续方程推导方法之二二、连续方程推导方法之二yvxvzv),(zyx1.1.笛卡尔坐标系下的连续方程笛卡尔坐标系下的连续方程微元六面体内密度变化引起微元六面体内密度变化引起的每秒的流体质量的变化量：的每秒的流体质量的变化量：dxdydztdvtCV故：故：0)()()(dxdydzvzdxdydzvydxdydzvxdxdydztzyx0)()()(zyxvzvyvxt0kkuxt2.1 连续方程连续方程 二、连续方程推导方法之二二、连续方程推导方法之二2.2.正交曲线坐标系下的连续方程正交曲线坐标系下的连续方程333222111dqhdsdqh

6、dsdqhds3213211dqdqdqhhvq321321dqdqdqhhht 控制体的选取控制体的选取:边长为边长为ds1，ds2，ds3的微元平行六面体。的微元平行六面体。3213222dqdqdqhhvq3212133dqdqdqhhvq0)()()(1321321321321321qhhvqhhvqhhvhhht2.1 连续方程连续方程 二、连续方程推导方法之二二、连续方程推导方法之二2.2.正交曲线坐标系下的连续方程正交曲线坐标系下的连续方程0)()()(1zrVzVrrVrrt0)(sin1)sin(sin1)(122VrVrVrrrtr0)()()(zuyuxutzyx圆柱坐标

7、系：圆柱坐标系：球坐标系：球坐标系：笛卡尔坐标系：笛卡尔坐标系：2.1 连续方程连续方程 三、连续方程的物理意义三、连续方程的物理意义0kkuxt0kkxuDtDDtD1流体系统的相对密度变化率流体系统的相对密度变化率uxukk流体系统的相对体积变化率流体系统的相对体积变化率t 单位体积的流体控制体的质量变化率单位体积的流体控制体的质量变化率uuxkk单位体积的流体控制体的质量净流出量单位体积的流体控制体的质量净流出量2.1 连续方程连续方程 四、其他形式的连续方程四、其他形式的连续方程1.1.定常流动定常流动0t0kkux0kkuxt0kkxuDtD2.2.不可压缩流体不可压缩流体0DtD0

8、kkxu注意：不可压流体各点的密度不变，但各点间的密度可能不同，即不要求密度场为均匀场。注意：不可压流体各点的密度不变，但各点间的密度可能不同，即不要求密度场为均匀场。210kx0kkxutDtD但但例：例：密度分层流动密度分层流动const在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。均质不可压缩流体：均质不可压缩流体：2.1 连续方程连续方程 四、其他形式的连续方程四、其他形式的连续方程3.3.有源、汇的连续方程有源、汇的连续方程0kkuxt0kkxuDtDQuxtkk4.积分形式的连续方程积分形式的连续方程0dAudVtcvncv0dAucvn0dA

9、ucvn定常流动：定常流动：不可压缩流体：不可压缩流体：2.2 动量方程动量方程 方程建立的理论依据：牛顿第二定理或动量定理方程建立的理论依据：牛顿第二定理或动量定理系统的牛顿第二定理：系统的牛顿第二定理：在流动过程中，在流动过程中，流体系统流体系统的合外力等于系统质量乘于其加速度。的合外力等于系统质量乘于其加速度。系统的动量定理：系统的动量定理：系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的合外力。系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的合外力。2.2 动量方程动量方程 一、动量方程的推导一、动量方程的推导(t)duk(t)df)(tAndAp)()()(tttAnd fdApduDtDFDt

10、Dk系统的动量定理：系统的动量定理：系统的动量系统的动量:作用在系统上的质量力作用在系统上的质量力:作用在系统上的表面力作用在系统上的表面力:由动量定理得积分形式的动量方程由动量定理得积分形式的动量方程:2.2 动量方程动量方程 一、动量方程的推导一、动量方程的推导)()()(ttAtd fdAnduDtD将应力张量代入得：将应力张量代入得：npn由雷诺输运公式的由雷诺输运公式的简化形式得，简化形式得，注意：在使用输运公式时，已经用初始时刻与系统相重合的固定注意：在使用输运公式时，已经用初始时刻与系统相重合的固定体积（控制体）替换了随时间变化的系统的体积体积（控制体）替换了随时间变化的系统的体

11、积(t)d fdAndDtuDA)(dDtuDduDtDt利用高斯公式得，利用高斯公式得，d fddDtuD 0 dfDtuD2.2 动量方程动量方程 一、动量方程的推导一、动量方程的推导 0 dfDtuD上述积分的积分区域上述积分的积分区域相对于整个流动区域来说是任选的，要使积相对于整个流动区域来说是任选的，要使积分恒等于零，只有被积函分恒等于零，只有被积函 数等于零，数等于零，fDtuD 张量形式张量形式:jiijjfxDtuD fuutu jiijijijfxxuutu 或或守恒形式守恒形式:fuutu jiijijijfxxuutu 或或2.2 动量方程动量方程 二、动量方程的物理意义

12、二、动量方程的物理意义 方程左边表示单位体积流体的动量变化率：第一项是当地加速方程左边表示单位体积流体的动量变化率：第一项是当地加速度项；第二项是对流加速度项，由速度分布的不均匀性引起，即使度项；第二项是对流加速度项，由速度分布的不均匀性引起，即使是定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性的。是定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性的。方程右边第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体方程右边第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体上的表面力；第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。上的表面力；第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。jiijjfxDtuD ji

13、ijijijfxxuutu 2.2 动量方程动量方程 三、三、N-SN-S方程方程ijkkijijijssp2本构方程：本构方程：故：故：ijjiikkjjijjikkijijiiijxuxuxxuxxpxuxuspxx代入动量方代入动量方程后得程后得N-SN-S方程：方程：jijjiikkjjjfxuxuxxuxxpDtDu矢量形式：矢量形式：fSupDtuD2ijjiijxuxus212.2 动量方程动量方程 三、三、N-SN-S方程方程通常，粘性系数通常，粘性系数和和是温度的函数，是温度的函数，若流场中温度变化很小，则可认为二者在流场中是均匀的。若流场中温度变化很小，则可认为二者在流场中

14、是均匀的。故：故：22ijkkjijijiiijjiixuxuxxuxxuxxuxuxjijkkjjjfxuxuxxpDtDu22和和在流场在流场中均匀时：中均匀时：jijjjfxuxpDtDu22再考虑不可压再考虑不可压缩流体时：缩流体时：2.3 能量方程能量方程 方程建立的理论依据：能量转换及守恒定理方程建立的理论依据：能量转换及守恒定理系统的能量转换及守恒定理（热力学第一定律）：系统的能量转换及守恒定理（热力学第一定律）：在流动过程中，在流动过程中，流体系统流体系统的能量增加量等于外界对其做功及传入热的能量增加量等于外界对其做功及传入热量之和。量之和。控制体的能量转换及守恒定理：控制体的

15、能量转换及守恒定理：控制体控制体能量能量的的净加入量等于控制体内流体能量的变化量净加入量等于控制体内流体能量的变化量2.3 能量方程能量方程 一、总能量方程的推导一、总能量方程的推导任取流动系统，体积任取流动系统，体积(t)，外表面，外表面A(t)，t 21tAttAndAqnd fudApuduueDtD根据能量守恒原理得积分形式的能量方程，根据能量守恒原理得积分形式的能量方程，单位质量流体的内能：单位质量流体的内能：质量力作功功率：质量力作功功率：单位质量流体的动能：单位质量流体的动能：euu21 t dfu表面力作功功率：表面力作功功率：)(tAndApu外界传入的热量：外界传入的热量：

16、)(tAdAqn2.3 能量方程能量方程 一、总能量方程的推导一、总能量方程的推导由雷诺输运公式的由雷诺输运公式的简化形式得，简化形式得，)(dDtuDduDtDt duueDtDduueDtDt 21 21 t 21tAttAndAqnd fudApuduueDtD 注意：在使用输运公式后，随时间变化的系统的体积注意：在使用输运公式后，随时间变化的系统的体积(t)已经被已经被初始时刻与系统相重合的固定体积（控制体）替换了。初始时刻与系统相重合的固定体积（控制体）替换了。AAndAqnd fudApuduueDtD 212.3 能量方程能量方程 一、总能量方程的推导一、总能量方程的推导)(dD

17、tuDduDtDt利用高斯公式得，利用高斯公式得，nAAAu p dAundAnu dsu d dqdsAqnA得：得：AAndAqnd fudApuduueDtD 210 21 dqfuuuueDtD上述积分的积分区域上述积分的积分区域相对于整个流动区域来说是任选的，要使积相对于整个流动区域来说是任选的，要使积分恒等于零，只有被积函分恒等于零，只有被积函 数等于零，数等于零，qfuuuueDtD 21故微分形式的总故微分形式的总能量方程为：能量方程为：2.3 能量方程能量方程 一、总能量方程的推导一、总能量方程的推导qfuuuueDtD 21张量形式：张量形式：jjjjjijijjxqfuu

18、xuueDtD21jjjjijijjiijjjxqfuxuuxuueDtD212.3 能量方程能量方程 二、动能方程的推导二、动能方程的推导动量方程动量方程ijijifxDtDu iijijiiifuxuDtDuu iijijiiifuxuuuDtD 21上述方程可看作在上述方程可看作在 i 方向的受力平衡式和速度作点乘，表示力的机械方向的受力平衡式和速度作点乘，表示力的机械功功率，所以上式是机械能守恒方程。功功率，所以上式是机械能守恒方程。两边同乘两边同乘ui ，2.3 能量方程能量方程 二、动能方程的推导二、动能方程的推导iijijiiifuxuuuDtD 21方程左侧是单位体积流体动能的

19、变化率。方程左侧是单位体积流体动能的变化率。方程右侧第一项是表面力对单位流体的做功功率。方程右侧第一项是表面力对单位流体的做功功率。方程右侧第二项是质量力对单位流体的做功功率。方程右侧第二项是质量力对单位流体的做功功率。动能方程表明流体在流动过程中表面力和质量力作功，只动能方程表明流体在流动过程中表面力和质量力作功，只能使流体动能增加，而对内能变化无贡献。能使流体动能增加，而对内能变化无贡献。2.3 能量方程能量方程 三、内能方程的推导三、内能方程的推导内能方程内能方程 =总能量方程总能量方程 动能方程动能方程jjjjijijjiijjjxqfuxuuxuueDtD21iijijiiifuxu

20、uuDtD 21上两式相减得：上两式相减得：iiijijxqxuDtDe上式左侧表示单位体积流体内能的变化率。上式左侧表示单位体积流体内能的变化率。上式右侧第一项表示由于表面力的作用引起的机械能向内能的转换功率，上式右侧第一项表示由于表面力的作用引起的机械能向内能的转换功率，第二项则表示传热功率。第二项则表示传热功率。1.1.内能方程的推导内能方程的推导2.3 能量方程能量方程 三、内能方程的推导三、内能方程的推导iiijijxqxuDtDe由本构方程得，由本构方程得，ijijijpijijijijijijijijxuxupxupxu上式第一项是外部压强所做的压缩功功率，该功率可逆转。上式第一

21、项是外部压强所做的压缩功功率，该功率可逆转。第二项是粘性力所做的功率，该功率不可逆转，称耗损函数，记为第二项是粘性力所做的功率，该功率不可逆转，称耗损函数，记为。ijijxu0ijija2.2.耗损函数耗损函数ijijijijijijijssaxuijxu写成对称张量与反对称张量之和的形式。写成对称张量与反对称张量之和的形式。2.3 能量方程能量方程 三、内能方程的推导三、内能方程的推导由本构方程由本构方程ijjjijijss22.2.耗损函数耗损函数 ijijjjijijjjijijijsssssss222得：得：代入代入sjj和和sij的的具体表达式，具体表达式，22222ijjijjij

22、ijjjxuxuxusss 耗散函数是流体变形时粘性应力的作功功率，它不可逆转地转换成耗散函数是流体变形时粘性应力的作功功率，它不可逆转地转换成为热能，故始终为正值。为热能，故始终为正值。2.3 能量方程能量方程 三、内能方程的推导三、内能方程的推导3.3.传热项的导热形式传热项的导热形式 向流体的传热有多种形式：导热、辐射、化学反应等。向流体的传热有多种形式：导热、辐射、化学反应等。若只考虑导热，若只考虑导热，jixTkqjjkkxTkxxupDtDe)(TkupDtDe2.3 能量方程能量方程 四、其它形式的能量方程四、其它形式的能量方程内能方程内能方程连续方程连续方程)(TkupDtDe

23、热力学关系式，热力学关系式，1 10DtDpDtDpupDtDuuDtD代入得，代入得，TkDtDpDtDe1dpdhpddeTds11DtDpDtDhDtDpDtDeDtDsT112.3 能量方程能量方程 四、其它形式的能量方程四、其它形式的能量方程用用熵和焓表示的能量方程熵和焓表示的能量方程，TkDtDsTTkDtDpDtDhjjxTkxDtDsTjjxTkxDtDpDtDh2.4 牛顿流体的基本方程牛顿流体的基本方程 基本方程组包括基本方程组包括:(1):(1)连续方程，连续方程，(2)(2)N-S N-S 方程，方程，(3)(3)能量方程能量方程，(4)(4)状态方状态方程，程，(5)

24、(5)内能公式内能公式TeeTppxuxuxuxuxTkxxupDtDefxuxuxxuxxpDtDuuxtijijjikkjjkkjijjiikkjjjkk,02(1)7(1)7个未知量个未知量uj,p,e,T，7个个方程，方程封闭。方程，方程封闭。gf(3)(3)通常只考虑重力通常只考虑重力(2)(2),k是是p,T的函数。的函数。(4)(4)对于完全气体，对于完全气体，RTp TCeV2.4 牛顿流体的基本方程牛顿流体的基本方程 当密度当密度为常数时，上述连续方程和为常数时，上述连续方程和N-SN-S方程共方程共4 4个标量方程，未知个标量方程，未知量量u uj j、p p也是也是4 4

25、个，形成一个封闭的方程组。也就是说，压强场和速个，形成一个封闭的方程组。也就是说，压强场和速度场只需求解以上方程组即可得到，然后再求解能量方程得到温度度场只需求解以上方程组即可得到，然后再求解能量方程得到温度场，流体动力学问题和热力学问题可分开求解，能量方程和连续方场，流体动力学问题和热力学问题可分开求解，能量方程和连续方程、程、N-SN-S方程不再耦合在一起，使问题得到简化。方程不再耦合在一起，使问题得到简化。不可压缩流体（不可压缩流体（动力粘性系数动力粘性系数为常数为常数）jiijjjkkfxxuxpDtDuxu 022.5 边界条件边界条件)(),(),(),(0000rptrprutr

26、u)(),(),(),(0000rTtrTrtr 流体力学微分方程组是描述流体运动的普遍适用的方程组，要流体力学微分方程组是描述流体运动的普遍适用的方程组，要确定某种具体的流体运动，也就是要找出方程组的一组确定的解，确定某种具体的流体运动，也就是要找出方程组的一组确定的解，还需要给出还需要给出定解条件定解条件。初始条件和边界条件初始条件和边界条件。1.初始条件初始条件 在流体流动区域边界上方程组的解应该满足的条件。在流体流动区域边界上方程组的解应该满足的条件。一、定解条件一、定解条件定解条件包括：初始条件和边界条件。定解条件包括：初始条件和边界条件。初始时刻流体运动应该满足的初始状态，即初始时

27、刻流体运动应该满足的初始状态，即t=t0时时2.边界条件边界条件2.5 边界条件边界条件 二、曲面上的弯曲压强二、曲面上的弯曲压强 212111RRpp 当液体分界面两边为不同介质时，界面上当液体分界面两边为不同介质时，界面上存在着表面张力，分界面两侧的压强不相等，存在着表面张力，分界面两侧的压强不相等，凹面一侧的压强会大于凸面一侧的压强。凹面一侧的压强会大于凸面一侧的压强。1R2R1p2p2.5 边界条件边界条件 三、液液分界面的边界条件三、液液分界面的边界条件 1.1.动力学边界条件动力学边界条件01121)2()1(nRRnn作用在界面两侧的表面力和表面张力相平衡，作用在界面两侧的表面力

28、和表面张力相平衡，上式中：上式中：(1)n 指向介质指向介质1，(2)(2)R1、R2 的曲率半径中心在的曲率半径中心在n指向一侧时取正值。指向一侧时取正值。(3)(3)(1)、(2)(2)分别是介质分别是介质 1 1、2 2 的应力张量。的应力张量。(4)(4)是表面张力系数是表面张力系数。n介质介质2介质介质12.5 边界条件边界条件 三、液液分界面的边界条件三、液液分界面的边界条件 1.1.动力学边界条件动力学边界条件01121)2()1(RRnnnn)2()1(nn分界面两侧的切向应力总是连续的；分界面两侧的切向应力总是连续的；当界面曲率不为零时，表面张力会导致法向应力的一个突跃。当界

29、面曲率不为零时，表面张力会导致法向应力的一个突跃。n介质介质2介质介质1将上式分解为法向和切向分量，将上式分解为法向和切向分量，01121)2()1(nRRnn2.5 边界条件边界条件 三、液液分界面的边界条件三、液液分界面的边界条件 2.2.运动学、热力学条件运动学、热力学条件运动学条件：运动学条件：)2()1(uu界面两侧介质运动速度相等（无滑移条件、粘附条件）。界面两侧介质运动速度相等（无滑移条件、粘附条件）。n介质2介质1热力学条件：热力学条件：界面两侧温度和热流量相等界面两侧温度和热流量相等)2()1(TT)2()1(nTknTk2.5 边界条件边界条件 四、液固分界面的边界条件四、

30、液固分界面的边界条件 2.2.运动学条件运动学条件)2()1(uu界面两侧介质运动速度相等（无滑移条件、粘附条件）。界面两侧介质运动速度相等（无滑移条件、粘附条件）。3.3.热力学条件热力学条件界面两侧温度和热流量相等界面两侧温度和热流量相等)2()1(TT)2()1(nTknTk1.1.动力学条件动力学条件0流u固壁静止时，固壁静止时，通常，在固体边界上给定的条件是固壁的运动，而不是固体中通常，在固体边界上给定的条件是固壁的运动，而不是固体中的应力，故无动力学条件的应力，故无动力学条件2.5 边界条件边界条件 五、无穷远条件五、无穷远条件 物体在无界区域中运动时，需给出无穷远处的边界条件。物

31、体在无界区域中运动时，需给出无穷远处的边界条件。坐标系取在运动物体上时，坐标系取在运动物体上时，r uu ppTT2.5 边界条件边界条件 六、液气分界面的边界条件六、液气分界面的边界条件 由于气体密度和粘度都很低，它的运动一般不会对液体产生显由于气体密度和粘度都很低，它的运动一般不会对液体产生显著影响。著影响。液气交界面通常称为自由面。液气交界面通常称为自由面。1.1.动力学条件动力学条件0nn液气21011RRpp切向切向法向法向其中其中p0为大气压强，为大气压强，p为液气边界面上的液体侧压强，自为液气边界面上的液体侧压强，自由面曲率中心在气相一侧，液体的粘性可忽略时。由面曲率中心在气相一

32、侧，液体的粘性可忽略时。2.5 边界条件边界条件 五、液气分界面的边界条件五、液气分界面的边界条件 2.2.运动学条件运动学条件 自由面的形状通常是待求的内容。自由面本身是运动和变形的，自由面的形状通常是待求的内容。自由面本身是运动和变形的，设其方程为设其方程为:0),(tzyxF 假定在自由面上的流体质点始终保持在自由面上，则自由面假定在自由面上的流体质点始终保持在自由面上，则自由面流体质点的法向速度，应该等于自由面本身在该点的法向速度。流体质点的法向速度，应该等于自由面本身在该点的法向速度。2.5 边界条件边界条件 五、液气分界面的边界条件五、液气分界面的边界条件 2.2.运动学条件运动学

33、条件0limtnU0limttnrFtFFtFr自由面上自由面上 p 点在点在 t t 时刻的法向速度为时刻的法向速度为:),(,rtFrrttFdF),(),(rtFFrttFrtF0FrttF设自由面上一点设自由面上一点 p 在在t t 时刻的位置矢量为时刻的位置矢量为 ，在该点的法向单位矢，在该点的法向单位矢量为量为 ，经过经过t 时间后，时间后，p 点运动到点点运动到点 ，则，则:rnrrnrtttppFFn/2.5 边界条件边界条件 五、液气分界面的边界条件五、液气分界面的边界条件 2.2.运动学条件运动学条件nUnuFtFFFu0FutF0DtDF 设设t t 时刻在时刻在 p 点的流体质点的速度为点的流体质点的速度为 ，则流体质点的，则流体质点的法向速度，法向速度，自由面的运动学边界条件：自由面的运动学边界条件：流体质点的法向速度等于自由面本身在该点的法向速度，流体质点的法向速度等于自由面本身在该点的法向速度，u