泰勒公式开题报告

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1、学号：211307本科生毕业论文（设计）开题报告题目：泰勒公式及其应用 院 （系） 数学系 专 业 班 级数学与应用数学09级2班学 生 姓 名 王瑜 指引教师（职称） 胡纪华（副专家） 提 交 时 间 1 月 安康学院 数学 院（系） 数学与应用数学 专业 本科生毕业论文（设计）开题报告姓 名王瑜学 号论文(设计)题目泰勒公式及其应用选题的意义：在初等函数中，多项式函数是最简朴的函数，由于多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似替代，而误差又能满足规定，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算均有重要意义。泰勒公式是数学分析

2、这门课中最基本最重要的内容之一，它是将某些复杂函数近似地表达为简朴的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其她数学问题的有力杠杆，是我们学习数学分析的必备知识，固然也是必须要牢固掌握的。通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是微积分学中的重要内容，在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明等方面，泰勒公式是解决其她数学问题的有利工具。. 我的研究将着眼于泰勒公式的及其几种常用的展开式，针对公式的应用讨论几种问题，使我们对泰勒公式及其应用有一种总体结识，协助我们更好的应用泰勒公式解决有关问题，从而学好数学分析这门课。研究综述（前人的研究现状及进展

3、状况,应不少于1000字）：在数学史上，泰勒公式来源于牛顿插值的有限差分法。17泰勒出版了增量法及其逆一书，在这本书中载有目前微积分教程中以她的名字命名的一元函数的幂级数展开公式，当时她是通过对格雷戈里牛顿插值公式求极限而得到的。一百近年后，柯西对无穷级数的收敛性给出了一种严格的证明。1755年，欧拉把泰勒级数用于她的“微分学”时才结识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基本，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位。泰勒也已函数的泰勒展开而闻名于后世。 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选用 点将原式进行泰勒展开，如何选用 使得泰勒展开后，计算的成果在误差容许的范畴内，并且使计算

4、尽量简朴、明了。泰勒公式是一元微积分的一种重要内容，不仅在理论上有重要的地位，并且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 国内外同类课题研究现状及发展趋势： 泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说始终具有强大的吸引力， 许多研究者已在此领域获得许多研究成果. 例如： 1.天津中德职业技术学院的张雅琴在文章中着重论述了泰勒公式在近似计算、极限运算、级数与观后以及分的敛散性判断等方面的具体应用措施； 2.湖南科技学院数学系的唐仁献 在文章泰勒公式的新证明及其推广中在推广了罗尔定理的基本上重新证明了 泰勒公式； 3. 洛阳工业高等专

5、科校计算机系王素芳、 陶容、 张永胜在所著的文章 泰 勒公式在计算及证明中的应用中研究了泰勒公式在极限运算、等式及不等式证 明中的应用，解决了用其他措施较难解决的问题; 4.湖北师范学院数学系的蔡泽林、陈琴的定积分不等式的几种典型证法和潍坊高等 专科学校的陈晓萌所著的泰勒公式在不等式中的应用也都解决了用其她措施较难解决的问题。在十年的时间范畴内，以“泰勒公式”和“泰勒公式的应用”为核心词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章。 在这些文献中作者在不等式或者等式的证明或者计算时都充足运用了泰勒 公式的定理和性质，但措施新颖又恰到好处，值得借鉴和学习。 泰勒公式的应用是非常广泛的，

6、对于泰勒公式的研究还在进行中，我相信通过此后的不断研究，泰勒公式还能发挥出更多的作用。研究内容（应不少于800字）：题目的论述： 简介泰勒公式及其几种常用函数的展开式，针对泰勒公式的应用讨论了6个问题 运用泰勒公式求极限，运用泰勒公式证明不等式，运用泰勒公式证明中值公式，运用泰勒公式判断某些级数的敛散性，运用泰勒公式求某些微分方程的解，泰勒公式在近似计算中的应用。 问题一：运用泰勒公式求极限对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简朴的，因此，对某些较复杂的函数可以根据泰勒公式将本来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题。满足下列状况时可考虑用泰勒公式求极限：用洛比达法

7、则时，次数较多，且求导及化简过程较繁； （1）分子或分母中有无穷小的差，且此差不容易转化为等价无穷小替代形式； （2）所遇到的函数展开为泰勒公式不难. 当拟定了要用泰勒公式求极限时，核心是拟定展开的阶数。如果分母（或分子）是n阶无穷小的阶数，就将分子（或分母）展开为同阶麦克劳林公式。如果分子、分母都需要展开，可分别展开到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数。 问题二：运用泰勒公式证明不等式 （1）有关一般不等式的证明针对类型：合用于题设中函数具有二阶和二阶以上的导数，且最高阶导数的大小或上下界可知的命题。证明思路：写出比最高阶导数低一阶的泰勒公式； 根据所给的最高阶导数的大小或

8、上下界对展开式进行缩放。 （2）有关定积分不等式的证明 针对类型：已知被积函数二阶和二阶以上可导，且又知最高阶导数的符号。证题思路：直接写出被积函数的泰勒展开式，然后根据题意对展开式进行缩放。 （3）有关定积分等式的证明针对类型：合用于被积函数具有二阶或二阶以上持续导数的命题。证明思路：作辅助函数，将在所需点处进行泰勒展开并对泰勒余项作合适解决。 问题三：泰勒公式在近似计算中的应用运用泰勒公式求极限时，宜将函数用带佩亚诺余项的泰勒公式表达；若用于近似计算，则应将余项以拉格朗日型体现，以便于误差的估计。问题四：运用泰勒公式证明中值公式问题五：运用泰勒公式判断某些级数的敛散性当级数的通项体现式是不

9、同类型函数是构成的繁难形式时，往往运用泰勒公式将级数通项简化成统一形式。 问题六：运用泰勒公式求某些微分方程的解微分方程的解也许是初等函数或非初等函数,因而解此类方程我们可以设想其解表达到泰勒级数的形式，我们大胆设想可以表达到更为一般的幂级数形式，从而得出理解此类方程的一种重要措施。完毕论文的条件及拟采用的研究措施和技术路线（途径）：1 翻阅有关书籍，资料2 通过网络查阅资料3 采用归纳法进行总结并找出规律从而引起猜想运用数学归纳法对猜想进行证明前期准备状况:在中国期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群查找有关论文的刊登日期、刊名、作者，到图书馆过刊室查找有关文献，到电子阅览室查找有关期刊. 从

10、图书馆借阅有关书籍，仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，教师的指引、改正，做好了毕业论文初期的准备工作. 具体采用了归纳法、分析法、反证法、演绎法等措施.研究工作进度安排及各阶段预期达到的目的：-02-20-10-20 为论文做前期准备-10-20-12-01 完毕论文选题-12-01-12-07 完毕论文开题报告，拟定论文提纲-12-07-03-20 完毕论文草稿-03-20-04-10 指引教师修改论文草稿-04-10-04-20 完毕论文第二稿，指引教师审视-04-21-04-30 论文定稿-05-01-05-15 论文答辩重要参照文献：1 华东师范大学数学续编.数学分析（上册，第三版）M.北京：高等教育出版社，.2 张自兰、崔福荫.高等数学证题措施M.西安：陕西科学出版社，1985.3 周民强.数学分析习题演习（第一册）M.北京：科学出版社，4 裴文礼.数学分析中的典型问题和措施M.北京：高等教育出版社，19985 王向东.数学分析的概念和措施M.上海：上海科学技术出版社，1989指引教师意见：（对本课题的深度、广度及工作量的意见和对论文（设计）成果的预测）签 名： 年月日教研室主任意见：签 名： 年月日