大学物理课件：刚体力学

《大学物理课件：刚体力学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理课件：刚体力学（124页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、返回第二章 刚体定轴转动 本章将要介绍一种特殊的质点系刚体所遵从的力学规律。刚体可以看成由许多质点组成。在外力的作用下各质元之间的相对位置保持不变。因此，刚体是固体物件的理想化模型。音乐花径不曾缘客扫，蓬门今始为君开。名句赏析 内内 容容 提提 要要 刚体定轴转动运动学 转动定律 刚体定轴转动能定理，功能关系 角动量原理 角动量守恒定律水平面刚体水平面刚体第一节 刚体的两种基本运动形式刚体的两种基本运动形式一 平动 结论：刚体在平动运动中，连接体内的直线在空间的指向总保持不变，各点具有相同的速度,相同加速度。可按质点力学的规律处理。aMFciVMddtFc合外固定轴刚体二 定轴转动特点：刚体上

2、各点绕轴在与轴垂直的平面内做圆周运动。各质点的速度，加速度一般不同,可按前面的质点运动学处理.三 刚体更复杂的运动形式：平面平行运动，定点转动，举例说明（略讲)。一 刚体定轴转动的运动方程第 二 节 刚体定轴转动运动学固定轴刚体 如图，一刚体定轴转动，如何确定该刚体的位置。在固定轴上固结轴。oxox与 的夹角 不断设想在刚体上有一直线 ，在刚opop体转动中，ox变化，是时间 的函数，一定，则刚体的位置确定（或曰刚体上的所有质点的位置确定），变化，说明刚体的位置变化。因而，用 t可确定刚体的位置。为刚体定轴转动的运动方程。如同质点一维运动时的 txx t t t t tpt二 角速度 tt t

3、tt设 ttt称为角位移，代数量。t则固定轴刚体ox tp平均角速度t瞬时角速度 tttlim0dtd即对运动方程求一阶导数。单位秒弧度或srad矢量性角速度 可以定义为矢量，以 表示，它的方向规定为沿轴的方向。其指向用右手法则确定。在定轴转动中，因为角速度仅有两个方向，故可用代数量来表示其矢量性。具体做法是：规定一转动方向为正方向，当角速度与其同向时，取正；反之取负，详见后面例题分析。刚体三 角加速度固定轴刚体ox tp加速转动减速转动 若 是变化的，同理得瞬时角加速度.dtddtd22单位秒弧度2或srad2或由运动方程 可得 ，t,均为代数量。矢量式为dtd同样，在定轴转动中，角加速度仅

4、两个方向，当角加速度与其同向时，取正；反之取负，详见后面例题分析。对匀变速转动的特殊情形恒量t0tt20212202若则有质点直线运动与刚体定轴转动运动规律比较运动方程 txx 速度dtdxV 加速度dtdVa atVV0saVV2202attVs2021其他关系式运动方程 t角速度dtd角加速度dtdt02202tt2021其他关系式 固定轴四 角量和线量的关系 如图示，刚体上一点绕轴在与刚体的轴相垂直的平面内做圆周运动，P半径为 。rpr加速度法向加速度切向加速度rdtdrdtrddtdVatrrVan22aatanaaant22例题V该点速度为rV 例 21 刚体定轴转动的运动方程为 ，

5、求:t 4231 时的 和 ；st2 2 时，处的 ，和 。st2mr1.0anata解：tdtd122tdtd241st2srad48srad2482smrV8.4smran22103.22smrat28.4saaatn103.32222时*矢量关系矢量式rVrooVRVrdtrdrdtdrdtddtVda大小RrVsin方向向内:刚体上一质点的速度r沿 方向.刚体上一质点的加速度第二节 刚体定轴转动定律 问题的提出：mFa 当质点运动或刚体平动时，是运动状态，是运动状态的变化，原因是 即合力 是产生加速度 的原因。FaVa 在刚体定轴转动中，转动状态，转动状态变化，角加速度 产生的原因是什

6、么呢?本节回答此问题。rFM oFr定轴o一 力矩力的作用线在轴垂直的平面内,力对水平轴 的力矩为刚体rFM 1，力对水平轴 的力矩oFr定轴oF1F2分解力Fr，则力矩可记为sinrFM 矢量式FrM方向：沿轴，与 和 均垂直。rFM 若力的作用线不在与轴垂直的平面内，则把力沿轴与轴垂直的方向分解：作用线沿轴的分力对轴不产生力矩；而作用线在与轴垂直的平面内的力的力矩可用以上方法来分析与计算。二 刚体定轴转动定律 设一刚体定轴转动中，研究力矩 与角加速度 间的定量关系。M在刚体上取一小块，miri质量为 ，到轴的垂直距离为 。mirifiFifiFi内力外力据牛二律amfFiiii法向分量式：

7、rmamfFiiiniinin2切向分量式：rmamfFiiitiitit 1 2 为简单其见，设二力的作用线在与轴垂直的平面内。由于本题的讨论中心是角加速度与力矩的关系，而第二式含有 ，故仅讨论第二式。mirfitFit ri2得rmrfrFiiiitiit2对整个刚体求和rmrfrFiNiiiNiitiNiit2111因01rfiNiit解释原因则rmrmrFiNiiiNiiiNiit21211令rFMiNiit1合外力矩rmIiNii21 例 131 如图，体系开始静止，当摆线由水平摆到竖直时，车及球的速度。lMm光滑水平面车解：体系机械能守恒。体系水平方向动量守恒。0mvMVvmVMm

8、gl222121glmMMv2vMmV解得如何求物体到达最低点时绳中得张力。例 132 一质量为 的木块置于光滑的水平面上，其上有一半径为 的光滑圆弧，如图示。当质量为 的小球沿圆弧由 运动到圆弧的底部 时，二者的速度。MRmBAMmRAB 解：本题的特点是,作用中，体系沿水平方向动量守恒，取向左为正方向。在最底点时，设大木块及球对地均向左运动，则有021 MVmVmgRMVmV22212121解（略）过程中，对体系，仅重力作功，故机械能守恒，则V2 *物体系在竖直方向的动量是否守恒，为什么?的动能来自何方?哪些力对 做功；与 间的一对内力功之和为多少?MmmM结论IM 合外式中 称为转动惯量

9、。为刚体受外力矩的代数和。IM合上式表示的内容为转动定律。说明：1 该式具有瞬时性（解释）。2 矢量式为IMMi合外 具体用法是：规定一转动方向为正方向，当力矩与规定正方向一致时，取正；反之取负；当角加速度与规定正方向同向时，取正；反之取负；通常选择转动的方向（角速度方向）为规定正方向，这样得到了转动定律的代数式。祥见后面例题分析。也为刚体受的外力，但对轴的力矩为零。Ngm,如图示，规定力 的力矩方向为正方向时，则有FRFRM12外oRF1F2NgmF2三 转动惯量1 物理意义牛二律知mFa mIM由转动定律M 由比较知，当合外力矩 一定时，转动惯量 越大，越小，刚体的转动状态即角速度 越难以

10、改变，即刚体维持原有运动状态的能力强；反之则弱。因此，转动惯量是刚体转动惯性的量度。I在力 一定时，越大，则加速度 越小，表示物体维持原来运动状态的能力越强；反之亦然。称为物体平动惯性的量度。简言之，质量越大，其状态越难以改变。Fma2 计算转动惯量rmIiNii21，如图所示。mirim1m2r1r2定轴oo 其物理意义为：各质元的质量与到轴的垂直距离的平方之积的和。考虑到刚体是质量分布的连续体，则dmrI2 1 求均质圆环对中心轴的转动惯量。oRm例 22解：dmrmRdmRdmrI222可见，转动惯量与质量的大小有关。2 求均质圆盘对中心轴的转动惯量。mR解：利用上题的结果为基础，取一圆

11、环。ordrrrdrRmdI222mRdII221由上可知，转动惯量与质量的分布有关。此结果也适合圆柱体。解：1 轴过端点。例 23 求均匀直杆的转动惯量。1 轴过端点。2 轴过质心。olmdmrmldrlmrdIIl203122 轴过质心。olmdmrmldrlmrdIIl22012122可见，刚体的转动惯量与轴的位置有关。coICIOdm*平行轴定理简介mdIICO2解释:Ic对过质心轴的转动惯量:Io对与过质心轴相平行轴的转动惯量:d二轴间的距离（证明略）例 均质杆codlmlmIc2121dmlmI220121 yxmrmIiiiiic222 yxmrmIiiiii2220又xxiiz

12、ziidyyiidyxmIiiio 22刚体对 轴和 轴的转动惯量为czzo mi*平行轴定理证明xzzyymidririco取刚体上的cz过刚体的质心c为刚体的质心mrrdiii,在同一水平面内。它们ymdmdyxmiiiiii 2222myymcii c刚体的质心0yc所以mdImdyxmIciiiio2222 *垂直轴定理简介薄板yzIIIyxz*垂直轴定理简介证明薄板xyzomixiyixmIiiy2ox对 轴的转动惯量oz对 轴的转动惯量oy对 轴的转动惯量ymIiix2yxmIiiiz22则有IIIyxzx结论：转动惯量2 与质量的分布有关,1 与质量有关,3 与轴的位置有关。例

13、2-4求由杆与球组成的体系对轴的转动惯量。lmMROo1解：转动惯量具有叠加性。IIIo球杆m1m2oBA 例 25 如图，半径为 ，质量为 的 均质圆盘可绕通过质心的水平轴自由转动。盘上绕一段绳，绳的两端分别系二物体 和 ，如图所示。求盘的角加速度，二物的加速度及绳内的张力。设物体运动中，绳与轮间无相对运动，而且 。Rmmm21AB 解：解题思路：本题似曾相识。在高中阶段如何求解此题?轮质量不计。仅研究 和 二物体，绳仅为连接体。则有m2T2gm2am1T1gm1aABTT21 然而，此处要考虑轮（因给出了质量和半径）-刚体。此为一刚体和二质点组成的物体系。如何求解：用隔离体法，分析各物体受

14、力。m1m2oBAomNT1T2gmm2T2gm2am1T1gm1a 此处，因 和 质量不等，二者会加速运动，它们的加速度大小与轮的边缘处的切向加速度的大小同值，故按转动定律，轮所受的合外力矩定不为零，故 。A BTT21TT21omNT1T2gmm2T2gm2am1T1gm1aR转动的正方向xyAB轮投影式：对轮，运用转动定律，则RmRTRT22121对二物体 和 ，运用牛二律，则（1）AABBamTgm111（2）amgmT222（3）Ra（4）联立可得 （略）。aTT,21tmFtmFtV0tmFtdtddtdVa01002tmtFtmF由运动学得加速度的表达式能否用牛二律得加速度的表达

15、式？mVtmVdFdt00mVFt 速度的表达式 另一种解法：对车，沿水平方向运用微分形式的动量定理，有FmVdFdt 注意：车的质量 是随时间变化的，故必在括号内。m积分上式，有mVtmVdFdt00mVFt tmFtmFtV0得有同样得加速度的表达式。若使车保持匀速前进，求拉力。dmmVt0:Vdmmdtt:dmVmVVdmmFdtVdtdmVF车在光滑的水平面上匀速运动,为何还需外力拉动？FV 例 29 一半径为 ，质量为 的均质圆盘置于水平桌面上，设盘在桌面上转动的初角速度为 ，盘和桌面间的摩擦系数为 ，盘经多长时间停止转动。Rm0解：阻力矩为rdrgrmrrdfdM22Rrdrgrm

16、rdfrdMM022tIMt 0MIt0略去数值例题Rm1m2o 例 26 如图，半径为 ，质量为 的 均质圆盘可绕通过质心 的水平轴自由转动。盘上绕一长绳，绳另一端系一质量为 的物体，求绳中的张力 及 .Rm1,aom2TTRmTRm21121:amTgmm222:Ra 三式联立求解得Ta,运动学联系m1R解：力图Ngm1Tm2gm2ax设转动正方向(略)Rm1m2本题的转动定律又可写为RmRgm21221本题的转动定律又可写为RmRmRgm2221221oRm1m2讨论 1 系统从静止开时，经时间t物体下落的高度及轮转过的角度。ath221t221 2 若轮转动时，轴处的摩擦阻力矩为 （恒

17、力矩），结果如何?M0解：轮：RNTgm1RmMTR21021Tgm2物：amTgm22aM0 x转动正方向Ra oRm1m2 3 若阻力矩为 ，为恒量，求轮的角速度的表达式。kMrkTgm1dtdRmkTRMTRr2121物：Tgm2dtdRmdtdVmamTgm2222a解：轮：RN二式联立，消去 ，在利用分离变量法，积分求得。（略）T例 27 在外力矩的作用下，物体以速度 上升，撤去外力矩后，物体上升多高时开始下落。并求轮的角加速度。V0oRm1m20V0解：oRm1Tm2gm2TaV减速运动y设转动正方向HaV220RV00RmTR2121amgmT22Ra 联立求解，得0,0a联立求

18、解。解：oRm1Tm2gm2TaV减速运动y设转动正方向aHV220RV00RmTR2121amTgm22Ra 联立求解，得0,0a联立求解。m1m2mmRR例 28 求,a.Tmm21mmRRm1m2TTT1T2T1T2gm1gm2a解：RmRTRT2121RmRTRT2221amTgm1111amgmT2222Raaa21例2-9 如图为一榔头击打物体时的情形.相关说明如下:ocmm21,分别为锤柄与锤头的质量;为系统的质心;手握锤柄处;b手握锤柄处与锤头中心的距离;rc手握锤柄处与质心中心的距离;L锤柄长,即锤柄端到锤头中心之距.F2ocF1brcm2m1LF2被击物对锤头的作用力.求打

19、击时的质心加速度及锤柄对手的切向力 .F1F1解 设打击时手对柄的切向力为 ,由质心运动定理,有ammFFc2112(1)以 为轴,由转动定律,有oIbFo2(2)由角量与线量的关系,有racc(3)据质心定义,有mmLbmbmrc21122(4)ammFFc2112(1)oIbF2(2)racc(3)mmLbmbmrc21122(4)ocF1brcm2m1L对 的转动惯量为2121212122LbmLmbmIIIO锤柄锤头(5)以上五式联立,解得IFbracc02ammFFc2121(详见教材讨论,略)olm解：杆受力如图。gmc2lN0lgmllmgIM233122432glat02ran

20、43gaat1 例 29 如图示，一长为 质量为 的均质杆可绕过一端的水平轴 自由转动，开始时，杆水平。若杆突然释放，求:1 释放后瞬时（杆仍水平）的 ，atana2 当杆转到与水平成 时的上述值。0 质心处的 .lmoamgmNcNgm由质心运动定理，有mamgNcmggmmgmamgmamgNtc4143c解得 2当杆转到与水平成某一角 时,由转动定律,有ogmcos2lcmlmglIM231cos2cos23lg显然,杆做变角加速度转动.越来越小.22lan2lataaant22ddIdddtdIdtdIIM000cos2dIdlmgMd结果可得 。质心的求 用积分转动定律。如何求杆转到

21、 时的角加速度与角速度.0lgmllmgIM2cos331cos2020dIMd得2203121sin2mllmg或积分如何正确地运用转动定律7 运用运动学条件。转动定律是刚体定轴转动时的规律。运用时：1 选定刚体（盘，柱，杆等）及定轴；2 分析刚体受力，并找出各力的力矩；3 求各力的力矩的代数和；4 写出 的具体表述；5 该式具有瞬时性，与刚体的运动状态（的大小和方向）无关;6 运用隔离体法,对质点运用牛二律;IMi一 力矩的功Fpo 设一刚体绕轴 转动。一力作用在 点,为简单起见，设力的作用线在与轴垂直的平面内，如图示。为 点到轴的垂直距离。roprp 该力的作用点 的轨迹为半径为 的圆，

22、故该力的元功为prdlFl dFdWcosdMdrFtFtl dd第三节 力矩的功 转动动能 功能关系则dMW 由以上看出，功的定义不变，只是用力矩来计算刚体转动中力的功简单，当然，仍可用力的功。若力矩是转角的函数，用上式积分；若是恒力矩。则上式为是转角。MW二 转动动能mi 在定轴转动刚体上取一质量为 质元,其动能为2222212121rmrmVmEiiiiiiki整个刚体的动能为IrmEEiiikk2222121其中rmIii2转动惯量IEk221转动动能rimioo 若刚体定轴转动时仅有保守力(或保守力的力矩)做功，则机械能守恒。三 动能定理 机械能守恒律ddIdddtdIdddtdId

23、tdIIMIdMd2212122212121212IIIdMdW即合外力矩的功等与转动动能的增量。IIW21222121和外力矩的功2 杆转到与水平成 时的角加速度；例 2 9 如图示。1 杆水平时的角加速度；3 杆竖直时的角速度；oml解：cgm1lmmgl23122lmmgl231cos23 利用动能定理021cos2220IdmglMd2212Ilmgogm 例 2 9 如图示,杆长为 ,质量为 ,求杆由水平位置(静止)转到竖直位置时的角速度.lmo水平位置(静止)解法 2 用动能定理求解.0212IMd即223121cos220mldlmg解得lg3gm竖直位置c某瞬时位置解法 3 考

24、虑到仅重力做功,用机械守恒律求解.o水平位置(静止)竖直位置cc零势能面机械能01E22231212mllmgEE2E1EE12得lg3或利用机械能守恒定律。lmoc零势能面c2l如何求杆上各点的速度和加速度?01EmglIE22122EE21E2 例 2-16 如图，求杆由水平释放后（仍水平）时,杆的 和 及杆转到竖直位置时的 ，。,acacmm21m1m2o2l轴l解：（学生自己做）。例 2-18 求杆的角加速度，及转到水平位置时的角速度。lmo解：（学生自己做）。例 2-19 推证转动的动能定理。第 四 节 角动量定理 角动量守恒定律 一 角动量定理 转动定律IM dtdI瞬时性。则Id

25、IdMdt过程性。该式的物理意义是:瞬时力矩 对微小时间 累积 引起物理量 的变化 。MdtIdIMdt(与 类比)mVdFdt 在一段时间内IIIdMdttt122121(与 类比 )mVmVFdt12定义 冲量矩ttMdt21角动量ILIIdtM12合 角动量定理：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量。实质讲的力矩的时间累积及效果间的关系。若合外力矩是恒力矩，则上式简化为IIttM1212 说明 1 角动量是矢量，表示为IL，方向与 同。不过，在定轴转动中，沿轴，仅有两个方向，若规定一方向为正，则另一方向为负，因而，在定轴转动中，角动量为代数量既可。LL角动量定理矢量式:IIdtM

26、12合转动方向 物理意义：为质元 的动量与质元到轴的垂直距离的积，称为其动量矩（与力矩比较）。L为组成刚体的各质点动量矩的代数和。rVmiiimi故rVmILiiNii1又称动量矩。角动量定理又称动量矩定理。2 动量矩rmILii2rVmiiNii1rrmrmiiii2rimiVi3 质点的动量矩(角动量)mVrL 0Vmro质点动量矩(角动量)的普遍定义式大小sinmVrLo矢量式动量在矢径垂直方向的投影与矢径大小的积。方向 右手螺旋法则。VmrL0定点矢径rVm轨迹o例 求一沿直线运动的质点的角动量.VmrmVdmVrLosinVmrL0od大小:方向:垂直平面向外解（合力）质点的角动量定

27、理 质点动量的变化率由质点受的合力决定。质点角动量的变化率由什么决定呢？质点角动量对时间的变化率VmdtrddtVmdrVmrdtddtLd0VmVVmdtrd则FrdtVmdrdtLd式中的 称为质点所受合力对此固定点的力矩。MFr力矩为矢量:方向，右手螺旋法则。大小rFsinrFM 定点矢径rVm轨迹oFLddtMo0且式中的 为质点受外力对定 点的力矩。为动量矩或角动量的增量MOo或LLLddtMooOO12称为质点的角动量定理.形式同刚体的角动量定理.质点系的角动量定理形式同刚体的角动量定理,因刚体本身为质点系.Ld0oRm1m2例 210 体系从静止开时，经 秒后轮的角速度。tRmV

28、mtTgm222解：轮：物：RmITRt2121动量矩定理动量定理二式联立得结果或RmRmRtgmMt2221221另一方法M 例 29 一半径为 ，质量为 的均质圆盘置于水平桌面上，设盘在桌面上转动的初角速度为 ，盘和桌面间的摩擦系数为 ，盘经多长时间停止转动。Rm0解：阻力矩为rdrgrmrrdfdM22RrdrgrmrdfrdMM022tIMt 0MIt0略去数值例题另一解法RrdrgrmrdfrdMM022RrdrgrmrdfrdMM022IMt0 二 角动量守恒定律II21称为角动量（或动量矩）守恒律。0M合外对质点,因则三 角动量守恒的应用 虽然角动量守恒定律由单一刚体绕定轴转动时

29、导出的，然而确有更广泛的应用范围，归纳如下。对定轴转动刚体,因IIdtM12合若LLLddtMOO10200Mo质点受合外力矩为零时,即LL2010则称为质点的角动量（或动量矩）守恒律。1 单一质点 在很多情形下，一质点绕一固定点运动，质点受合力的作用线恒过此固定点，即合力的力矩为零，则质点对该固定点的动量矩(角动量)守恒。如r1r2rF近日点远日点太阳地球V1V2V动量不守恒!但机械能守恒。0FrMo据动量矩(角动量)守恒定律,地球对太阳处的角动量恒定;rVmrVm2211CostVmrLO还有电子在原子核的场中运动等。rmMGVmrmMGVm222212112121因 与 共线,对 即太阳

30、处力矩为零,即rF如在地球环绕太阳做椭圆轨道运动时oo对近日点与远日点,有而且,机械能守恒 例 一倔强系数为 ，原长为 的弹性绳一端固定，另一端系一质量为 的小球，整个系统在光滑的水平面上，如图示。开始 时 ，如图。求物体与O点的最近距离。0tkl0mV0l0lll0o0t 解：分析：物体绕O运动时，受合力恒指向O点，故对O点动量矩守恒。当物体运动到B点时，弹性绳恢复到原长，但不是最近距离，此后，物体惯性运动，到C点时，为最近距离。BdVVC2 角动量守恒1 机械能守恒mVdlmV0mVmVllk2202212121演示演示032角动量守恒定律T向下拉特点：小球在绳的作用下运动，不断靠近绳穿过

31、的孔。此过程中，角动量守恒，动能不守恒，机械能不守恒，动量不守恒。小孔o2 物体系如图为一定轴转动的刚体，角动量守恒。I恒量0M外 想象把此刚体分为若干块，它们为一物体系（为一些刚体，或刚体与质点的组合），则体系受合外力矩仍为零，体系内各物体间有内力和内力矩，但对体系的总角动量无影响。由此推出：当一物体系在相互作用时（即有内力和内力矩），而体系所受合外力矩为零，则体系的角动量守恒。这样，把动量矩守恒律推广到物体系。niiiniiiLL110作用后作用前内力矩使体系内各物体间的角动量交换。作用中，是否机械能守恒或动量守恒，视是否满足二者的条件而定。（代数和）2 刚体系 例 如图示，若轮B沿轴移向

32、A轮，当二者接触后，二者因摩擦最后以相同的角速度转动，求其值，设 。2112I1I2I1I212 解：当二轮接触后，因有轮间的内摩擦力矩，A轮转速减慢，而B轮加快。最后，二者以相同的转速转动。12 作用过程中仅内力矩做功，故体系的角动量守恒。作用前作用后 据此得到IIII212211 作用过程中，机械能不守恒，为什么?AB 例 212 如图示，质量为 半径为 的均质盘（砂轮）绕定轴自由转动，某瞬时，其边缘处爆列，一质量为 的一小块向上飞去，求余下的盘的角速度。MROO0MROOMRm 解：小块飞出时，此小块与余下的盘部分为一物体系，体系的合外力矩为零，故此过程中，体系的角动量守恒。作用前作用后

33、RV0RmRmRMRMR0220221210RmRRmMMR02022121是经常犯的错误!3 刚体与质点系一均质杆自由悬挂，处于静止的状态。一子弹水平的射向杆。lMoVm0Vm0Vm0d当子弹击中杆后，嵌入杆内，使体系获的角速度。m 作用中，系统的外力矩为零（包括重力矩和轴处约束力）为零，体系的角动量守恒mdMldmV22031lMoVm0作用前作用后杆静止子弹运动，对轴有动量矩杆与子弹一起转动但作用中动量不守恒，机械能也不守恒!此后如何运动,遵守什麽守恒率.轴对杆有作用力子弹Vmdmtf000阻冲量矩定理动量定理dVmddmtdf000阻杆0312lmtdf阻角动量原理 推导设子弹击中杆后

34、与杆的共同角速度为设二者的作用时间为tff阻阻，内力二式相加，整理得dmlmdVm2023100补：设轴处的水平作用力为 f2lmmVtffC阻解释：杆的动量定理 例 如图，均质杆可绕过质心自由转动的轴在水平面内转动。杆静止。一刚球垂直射向杆，与杆做完全弹性碰撞。求作用后杆的角速度。l2loMVm作用前解：角动量守恒212122lVmMllmV机械能守恒2222121212121mlVmmVl2loM作用后Vm 动量不守恒：作用中体系所受的外力为轴对体系的作用力LMLVmmVL2312解释 作用中，体系的机械能不守恒，动量不守恒。在何处有外力，请考虑其计算。例 如图所示，均匀细棒OA可绕过端点

35、的轴在水平面内转动，开始棒静止，速率为V的子弹从棒端穿过后的速率为 ，则该棒的角速度为2V A B D COALMmmV2VMLmVMLmV23MLmV35MLmV47 例如图所示，均匀细棒AB长 ,质量为 可绕过质心 的竖直轴在水平面内转动，开始棒静止，速度为 的子弹在棒端击中杆,并嵌于其中,则杆的角速度为lmoVlo2lmVm.2121222lmmllmVlV2339演示演示角动量守恒定律RMm人相对盘静止，随盘一起转动0VrVr刚体，质点系人相对盘沿盘缘跑动过程中，体系的角动量守恒VRRmRMRmRMr22221210Vr为人相对盘的速度 解：设轮的半径为 ，RRVVmRVmr000 设

36、人向上爬时，物对地速度为 ，体系受合外力矩为零，V020VVr人对地的速度为20VVVrr二者速度大小相同，故同时到达。gmgm01LRVVmRVmLr002作用前，体系的动量矩为作用前，体系的动量矩为据动量矩守恒定律则有V0mmVro 例 214 如图，人与物同质量 ，开始体系静止。当人以相对速度 向上爬动时，求二者对地的速度及人与物谁先到达轮处。并讨论计论的半径和质量时，及二者质量不同时的情形。Vrm*计轮的质量时，由角动量守恒律得0212VVRmRVRmVRmr轮*若人质量为 ，而物体为 。m2m 体系的合外力矩为2mgRM 外体系的角动量为VVRmRVRmVRmLr221轮由角动量原理

37、（或动量矩定理)得dLdtM外或dtdLM 外即dtVVRmRVRmVRmmgRr2212轮注意到 ，得0dtdVr0dtdV此时人和物作加速运动。Vr 人向圆心跑动中，体系的角动量守恒。4 轴位置不变,转动中无外力矩作用,但质量分布变化 当体系在无外力矩的情形下，对轴的角动量 守恒，若体系的质量分布变化，其转动惯量 相应的改变，因而，角速度 变化。如：花样滑冰；跳水；跳马；巴蕾舞等。II（物体在无外力矩的存在下，因内力而使质量分布改变)角动量角动量在广泛的领域内的应用：天体间，星体的公转与自转的动量矩。以及微观体系内粒子的角动量，如电子轨道运动角动量，电子，中子及其它粒子的自旋角动量等。而且

38、，据近代物理理论，微观粒子的角动量是量子化的，自旋及自旋角动量是微观粒子的基本属性。*用角动量守恒律解释科里奥利力ABm当球在光滑的盘面由A向B运动时，其角动量守恒。在A点时mrLAA2球在向外运动时，增大，故对地的角速度减小，因而，球相对盘面有一与 相反的转动 （球越向外运动，其值越大），r mrL2LLA球相对盘面的轨迹为曲线。横向力为科氏力。如何正确地运用角动量守恒定律 关键分析出体系（或物体）在作用中，对轴（或一定点）的合外力矩为零（而不是合外力为零）。注意动量守恒律和角动量守恒律的区别。切无混淆。动力学内容比较质点一维运动刚体的定轴转动牛一律0Fi牛二律maFi转动定律IMi0Mi力

39、矩平衡功FdxWMdW动能定理mVmVW21222121合动能定理IIW21222121合功动量定理角动量原理（冲量矩定理）mVmVFdt12IIMdt12对物体系守恒律条件0F合外0M合外第 五 节 滚动（略讲)一 刚体的平面平行运动:运动学设一圆柱体在地面上滚动ocVcVc 质心对地速度:rVr 轮上某点相对质心的速度:轮上某点相对地面的速度为rVVcprRVccop轮纯滚动:由于圆柱体与平面间无相对滑动。质心平动，而轮上各点绕质心转动运动学规律 在轮纯滚动时，轮缘上的一点P转过角 时，轮的质心C移动距离为 ，轮的质心速度大小为RsRdtdRdtdsVc二 轮纯滚动:运动学RVc即Rac为

40、纯滚动的运动学条件。据速度叠加，轮缘上各点的速度为VVVrcp 不难得出，轮缘上与地面接触点 的速度为RVccop瞬心质心平动，而轮上各点绕质心转动。运动学规律该点称为转动瞬心。o0RRRVVco而轮上不同点速度各异。三 动力学规律acFFr静摩擦力瞬心oc质心运动规律amFFcrmRRFr221动能222121ImVEcck如图绕质心转动规律 轮做纯滚动，与地接触点速度为零，可取为瞬时转动中心，可以此为瞬轴，写出转动定律。推广amFci外maFcxix外maFcyiy外cciIM外联合解题。ccOimRIM2外amNgmFcr例 讨论圆柱体沿斜面的纯滚动，质心运动规律NFrgmcoac解：为

41、何有 ，无 能否纯滚动。FrFr分量式：yxomaFmgcrsin0cosmgNNFrgmcoac绕质心转动规律RamRmRRFcr222121联立解得sin32gacsin31mgFrcosmgN 柱与斜面间的最大静摩擦力为cosmaxmgNF若 FFrmax即sin31cosmgmg或3tg 则圆柱体不可能在斜面纯滚动了。因此，圆柱体在斜面上纯滚动的条件为3tg功能关系为VmIsmgcc222121sinFr不做功，为什麽演示012圆柱形刚体静摩擦力纯滚动纯滚动为质心平动和绕质心的转动的合运动静摩擦力产生对质心的力矩重力分力对瞬心产生力矩oc质心轨迹amFciNfrgm第六节 进 动 类比

42、法是学习和研究物理的一种基本方法。质点dtPddtVmddtVdmamF 与 平行，物体做直线运动,被加速或减速；动量的方向不变，仅改变大小。与 垂直时，此时，力仅改变动量的方向，而大小不变，如匀速率圆周运动。FPFPopppFFF合力与动量垂直，动量绕 点匀速转动，而动量的增量与力同向。pFoo 刚体dtLddtIddtdIIM 在定轴转动中，和 皆 沿轴，角动量的增量 与力矩 的方向相同。当 与 的方向一致时，刚体加速转动；反之减速转动。MLMLLdM 若 与 垂直，刚体做何种运动呢?此时的刚体不可能再做定轴转动运动。由物理的规律的表达式MLIdLddtMM可知，角动量的增量 仍是与力矩

43、的方向相同，但与角动量 本身的方向垂直，此时，力矩 只会改变角动量 的方向，而不改变其大小。结果，使角动量在空间转动，刚体绕一点进动。如同匀速率圆周运动中的动量 在空中转动一样。LdMLLpLIrgmdtLdgmrM解释IdLddtM+MML垂直于!LLd的增量 与力矩 同方向MMdtLdIMLMdtd00LtdtMLdLdLddtt 陀螺陀螺gm00IL角动量 绕定点转动。即进动。应用炮弹运行飞机，舰艇急转弯自行车转弯陀螺定向进动应用1 飞机，军舰行进中的快速转动。轴承压力的形成。2 定向。子弹运行。3 电子轨道在外磁场中的进动。4 双原子分子轨道角动量在绕核间轴的进动。5 自行车的进动。V

44、Rgmc进飞行的子弹进动图（阻力）HLPm（磁矩）进自电子的轨道运动在外磁场中进动示意图本 章 小 结物理学物理学本章的重点与难点转动定律角动量原理角动量守恒律一 运动学1 运动方程（运动规律）t2 角速度3 角加速度dtddtd匀变速时t02202tt20214 角量和线量的关系rV ratran2aaatn22二 转动定律IMMNii1合力矩瞬时性。代数和转动惯量的意义三 功与能力矩的功MdW恒力矩的功 MW12 转动动能221IEk3 功能关系IIW21222121合 如图示，系统静止，弹簧处于原长处，不计摩擦，求物体下滑 的速度。l光滑mkoMr零势能面ImVmglkl2222121s

45、in2104 若仅保守力的力矩做功，则机械能守恒。四 角动量原理 角动量守恒定律 1 角动量原理 IIdtM12合外2 角动量守恒定律 0M合外体系角动量守恒。这个定律的应用有一定的难度，关健是有哪些物体构成物体系，作用过程中，系统的外力矩为零。该过程中，合力可能不为零，动量不守恒；机械能也可不守恒。角动量IL VmrLmVdL 质点刚体下一章返回清明清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂。借问酒家何处有，牧童遥指杏花村。（唐）杜牧 例 131 如图，体系开始静止，当摆线由水平摆到竖直时，车及球的速度。lMm光滑水平面车解：体系机械能守恒。体系水平方向动量守恒。0mvMVvmVMmgl222121gl

46、mMMv2vMmV解得如何求物体到达最低点时绳中得张力。例 132 一质量为 的木块置于光滑的水平面上，其上有一半径为 的光滑圆弧，如图示。当质量为 的小球沿圆弧由 运动到圆弧的底部 时，二者的速度。MRmBAMmRAB 解：本题的特点是,作用中，体系沿水平方向动量守恒，取向左为正方向。在最底点时，设大木块及球对地均向左运动，则有021 MVmVmgRMVmV22212121解（略）过程中，对体系，仅重力作功，故机械能守恒，则V2 *物体系在竖直方向的动量是否守恒，为什么?的动能来自何方?哪些力对 做功；与 间的一对内力功之和为多少?MmmMoRm1m2例 210 体系从静止开时，经 秒后轮的

47、角速度。tRmVmtTgm222解：轮：物：RmITRt2121动量矩定理动量定理二式联立得结果或RmRmRtgmMt2221221另一方法M 例 29 一半径为 ，质量为 的均质圆盘置于水平桌面上，设盘在桌面上转动的初角速度为 ，盘和桌面间的摩擦系数为 ，盘经多长时间停止转动。Rm0解：阻力矩为rdrgrmrrdfdM22RrdrgrmrdfrdMM022tIMt 0MIt0略去数值例题另一解法RrdrgrmrdfrdMM022RrdrgrmrdfrdMM022IMt0 例 一倔强系数为 ，原长为 的弹性绳一端固定，另一端系一质量为 的小球，整个系统在光滑的水平面上，如图示。开始 时 ，如图

48、。求物体与O点的最近距离。0tkl0mV0l0lll0o0t 解：分析：物体绕O运动时，受合力恒指向O点，故对O点动量矩守恒。当物体运动到B点时，弹性绳恢复到原长，但不是最近距离，此后，物体惯性运动，到C点时，为最近距离。BdVVC2 角动量守恒1 机械能守恒mVdlmV0mVmVdlk2202212121 例 一倔强系数为 ，原长为 的弹性绳一端固定，另一端系一质量为 的小球，整个系统在光滑的水平面上，如图示。开始 时 ，如图。求物体与O点的最近距离。0tkl0mV0l0lll0o0t 解：分析：物体绕O运动时，受合力恒指向O点，故对O点动量矩守恒。当物体运动到B点时，弹性绳恢复到原长，但不

49、是最近距离，此后，物体惯性运动，到C点时，为最近距离。BdVVC2 角动量守恒1 机械能守恒mVdlmV0mVmVllk2202212121 例 212 如图示，质量为 半径为 的均质盘（砂轮）绕定轴自由转动，某瞬时，其边缘处爆列，一质量为 的一小块向上飞去，求余下的盘的角速度。MROO0MROOMRm 解：小块飞出时，此小块与余下的盘部分为一物体系，体系的合外力矩为零，故此过程中，体系的角动量守恒。作用前作用后RV0RmRmRMRMR0220221210RmRRmMMR02022121是经常犯的错误!解：设轮的半径为 ，RRVVmRVmr000 设人向上爬时，物对地速度为 ，体系受合外力矩为

50、零，V020VVr人对地的速度为20VVVrr二者速度大小相同，故同时到达。gmgm01LRVVmRVmLr002作用前，体系的动量矩为作用后，体系的动量矩为据动量矩守恒定律则有V0mmVro 例 214 如图，人与物同质量 ，开始体系静止。当人以相对速度 向上爬动时，求二者对地的速度及人与物谁先到达轮处。并讨论计论的半径和质量时，及二者质量不同时的情形。Vrm*计轮的质量时，由角动量守恒律得0212VVRmRVRmVRmr轮*若人质量为 ，而物体为 。m2m 体系的合外力矩为2mgRM 外体系的角动量为VVRmRVRmVRmLr221轮由角动量原理（或动量矩定理)得dLdtM外或dtdLM 外即dtVVRmRVRmVRmmgRr2212轮注意到 ，得0dtdVr0dtdV此时人和物作加速运动。