数理统计答案研究生[001]

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1、 第一章 抽样和抽样分布 1.1.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值x1,x2,xn的平均数 为和方差为作变换 ，得到y1,y2,yn,它的平均数为 和方差为 。试证：。x2xsy2ys222,xyxacy sc siixayc解：由变换 ，即 iixayciixayciixacy2222222(),11()()()iiiiiiiyiiixa cy nx na cnyx a cycxxa cya cyyyc snnn x而s12.在五块条件基本相同的田地上种植某种农作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。解：作变换 11100,100

2、,005100iiiiyxayynxay22222222211(8)(6)356 0345xyiissyyn 3.3.设X1,X2,Xn是参数为的泊松分布的母体的一个子样，是子样平均数，试求E 和D 。解：XX111(),()iiiixpExExExnnnn22111()iiiiiDxDxDxDxnnnn4.4.设X1,X2,Xn是区间（-1，1）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。解：21 121(1,1),0,2123xUExDx 11()0111()3iiiiiiExExExExnnDxDxDxnnn5.5.设X1,X2,Xn是分布为的正态母体的一个子样，求 的概率分

3、布。解：2211()niiYX21(,),(0,1),.,iinxXNNYY 则y且之间相互独立22221()()iiiiiixYxy由 分布定义 ，Y服从自由度为n的 分布。22()Yn216.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。又设 。试决定常数C,使得随机变量CY服从 分布。解：22123456()()YXXXXXX21123(0,1),(0,3),XNZXXXN22111(0,1),(1)33ZZN2456ZXXX亦服从N(0,3)且与Z1相互独立，2222(0,1),(1)33ZZN且与 相互独立。由 分布可加性，22

4、222221212111()(2),33333ZZZZYc 7.7.已知 ，求证证明：令()Xt n2(1,)XFn2(),(0,1)/UXt nUNn其中2222(),nUU2且 与独立亦与独立2222,(1,)/UXFXFnn由 分布定义8设母体 ,从中抽取容量n的样本 求（1）n=36时，解：2(40,5)XN(3843)Px25(40,)64xN384040434038435/65/65/6xPxP 2.43.6(3.6)(2.4)(2.4)0.9918PU （2）n=64时，求 401P x25(40,)64xN解：40184015/85/8582()10.89045xP xPp U

5、 第二章 参数估计1.1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度为 f(x)=,00,0 xexx其中 。试用矩法求的估计量。解：f(x)=（）0()xe,00,0 xexx001()xExxf x dxx edx用样本 估计Ex，则有 x11,xx12.设母体X具有几何分布,它的分布列为PX=k=(1-p)k-1p,k=1,2,先用矩法求p的估计量,再求p的最大似然估计.解:(1)矩法估计12111(1)(1)kkkkEXkppppppp1px2111(1)()1(1)iixxxxxx(2)极大似然估计11(1)(1)iiinxnxniLppppln()ln(1)lniiLxnpnpln10,

6、1iinxdLnpdpppx13.设母体X具有在区间a,b上的均匀分布,其分布密度为 f(x)=1,0,axbba其他其中a,b是未知参数,试用矩法求a与b的估计量.解:用 和 分别估计EX和DX得 21,()212abXU a b EXDXbaX2S222()12abXbaS33aXSbXS14.设母体X的分布密度为 f(x)=其中 (1)求 的最大似然估计量;(2)(2)用矩法求 的估计量.解:1,010,xx其他0()xf x 1,010,xx其他0()1最大似然估计 1111nnniiiiLxxlnln(1)lniiLnxlnln0,lniiiidLnnxdx 2矩法估计用 估计EX

7、110()1EXx f x dxxxdx X1XX5.设母体X的密度为试求 的最大似然估计;并问所得估计量是否的无偏估计.解：1(),2xf xex 1111()()22iixxnnniiiLf xeelnln2lniixLnn 2ln0iixdLnd 得 1iixn 0()11222ixxE xE Xx f x dxxedxxedx11()iiiiEExE xnn 是 的无偏估计.6.设母体X具有分布密度 f(x)=其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大似然估计量.解:似然函数 1,0(1)!0,kkxxexk其他11111()()(1)!(1)!iiiknnxxknnkkiiiiLxex

8、ekk11lnln(1)!lnln()nkiiiiLnknkxx ln0,iidLnkkkxdxx或7.设母体X具有均匀分布密度 ,从中抽得容量为6的子样数值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差的最大似然估计量的值.解:，的最大似然估计 1(),0f xx(0,)XUmax2.2ix,1.122EX22221,0.40331212DX8.设母体X的分布密度为 f(x)=(),0,0 xexx试求 的最大似然估计。解：()Xf x(),0,0 xexx似然函数()11()innxiiiLf xelnln(),0iidLLxnd 无解为了使L达到最大，尽可能小，尽

9、可能大，而0iixn(1)1,miniii nxxx 12设母体X服从正态分布 是从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三个估计量（1）12(,1),(,)NXX1122133XX（2）2121344XX（3）3121122XX都是 的无偏估计，并求出每个估计量的方差。问哪一个方差最小？解：11212212121()333333EExxExEx同理：都是 的无偏估计。23和222222123215135111()(),()(),()()339448222DDD3方差最小为有效对形如1,1,niiiiix xxEx且时以 为最有效2Dxn13.设X1,X2,Xn是具有泊松分布 母体的一个子样。试验

10、证：子样方差 是 的无偏估计；并且对任一值也是 的无偏估计，此处 为子样的平均数()P*2S*20,1,(1)XSX解：*2(),XPEXDXEXES*2*2(1)(1)(1)EXSEXES 14.设X1,X2,Xn为母体 的一个子样。试选择适当常数C,使 为 的无偏估计。解：2(,)N 1211()niiiCXX22211221()()()()2()()()iiiiiiiiiiiiixxxxxxxx1()()0iiE xx1122211111()()2()()()nniiiiiiiiiiExxExE xxEx222(1)0(1)2(1)nnn212()1,2(1)2(1)iiixxEcnn

11、18.从一批电子管中抽取100只,若抽取的电子管的平均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%).解:n=100,小时,s=40小时用 估计 ,构造函数1000 x x(0,1)/xuNsn近似给定置信概率 ,有121P uu 即22()1ssP xuxunn 22401000 1.96992.210401000 1.961007.810sunsun置信下限 x 置信上限 x整批电子管的平均寿命置信概率为95%的置信区间为(992.2,1007.8)小时.19.随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长度(单位:cm)为2.14,2.10,2

12、.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。设钉长分布为正态的，试求母体平均数 的置信概率为90%的置信区间：（1）若已知（2）若 未知。解：n=16,(1)若已知 ，构造函数0.01();cm*2.125,0.017xs0.01()cm(0,1)/xuNn给定置信概率90%，有21P uu 即0022()1P xuxunn 02()(2.1250.0041)xun置信区间为为（2）若 未知构造函数*(1)/xTt nSn给定置信概率90%，查得 ，有0.05(15)1.7531t2(1)1p Ttn

13、 母体平均数 的置信概率为90%的置信区间为 ，即（2.1250.0075）*0.05(15)sxtn21.假定每次试验时，出现事件A的概率p相同但未知。如果在60次独立试验中，事件A出现15次，试求概率p的置信区间（给定置信概率为0.95）。解：n=60,m=15,x“0-1”分布，,(1)mmmxsnnn构造函数(0,1)/xpuNsn近似给定置信概率95%，有21P uu 即2211(1)(1)1mmmmmmpupunn nnnn nn 故p的置信概率为95%的置信区间为（0.250.11）22.对于方差 为已知的正态母体，问需抽取容量n为多大的子样，才使母体平均数 的置信概率为 的置信

14、区间的长度不大于L?解：2122(,),XN 已知构造函数(0,1)/xuNn给定置信概率 ，有 ，使12u21P uu 即22()1P xuxunn 置信区间长度 22uLn22224/nuL23.从正态母体中抽取一个容量为n的子样，算得子样标准差 的数值。设（1）n=10,=5.1(2)n=46,=14。试求母体标准差的置信概率为0.99的置信区间。解：（1）n=10,*s*s*s22(,),XN 未知*25.1s用 估计 ,构造函数 给定置信概率 =99%,查表得*2s2*2222(1)(1)nsn1220.0050.995(9)23.589,(9)1.735使2220.9950.005

15、(9)(9)0.99p母体 的置信概率为0.99的置信区间是*2212233(,)(9)ss即(3.150,11.62)(2)n=46,时,所求的置信区间是*14s*2*2220.0050.995(1)(1)(,)(45)(45)nsns即(10.979,19.047)25.设母体X服从正态分布 ,和 是子样X1,X2,Xn的平均数和方差;又设 ,且与X1,X2,Xn独立,试求统计量 的抽样分布.解:2(,)N X2nS21(,)nXN 111nnXXnSn12221()01()(1)nnE XXD XXnn,又 1,nXX服从正态分布,故 ,1(0,1)11nXXNn222(1)nnSn又2

16、nS与1,nXX独立根据t分布定义1122211(1)11(1)nnnnnXXXXUnnTt nnSSnnnSnn26.设X1,X2,Xm和Y1,Y2,Yn分别是从分布为 两个母体中抽取的独立随机子样,分别表示X和Y的子样平均数,和 分别表示X和Y的子样方差.对任意两个固定实数 和 ,试求随机变量2212(,)(,)NN 和XY和*xS*yS122222()()2xyXYYmSnSmnmn的概率分布.解:是正态变量线性组合,仍服从正态分布.XY122221222()()()()()(0,1)EXYDXYmnXYUNmn又222222(1),(1)yxnSmSmn且相互独立由 分布可加性 ,22

17、222(2)xymSnSmn且与XY独立根据t分布定义122222222()()(2)(2)2xyxyXYUTt mnmSnSmSnSmnmnmn27.从正态母体中抽取一个n45的大子样,利用第一章2.2中 分布的性质3,证明方差22的置信区间(给定置信概率为 )是1*2*222(,)221111SSuunn证明:对正态母体 的置信概率为 的置信区间是21*2*222122(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn当n45时,2()2nnnu222(1)(1)2(1)nnnu211222(1)(1)2(1)(1)2(1)nnnunnu(1)代入(1)式,即*2*222(,)221111SSuu

18、nn证毕.29.随机地从A批导线中抽取4根,从B批导线中抽取5根,测得其电阻(单位:欧姆)并计算得:*2*20.1425,30.0000250.1392,40.000021AABBxsxs设测试数据分别具有分布21(,)N 和22(,)N.试求 的置信概率为95%的12置信区间.解:2212(,),(,)ABXNXN ,4,5ABnn*2*20.1425,30.0000250.1392,40.000021AABBxsxs121*(2)(2)11ABABXXTt nnSnn构造函数给定置信概率95%,查得 ,使0.025(7)2.3646t0.025(7)95%P Tt所求置信下限为:*0.02

19、511(7)0.00330.004060.0007645ABxxts 置信上限为:0.0033+0.00406=0.00736 (-0.00076,0.00736)为 的置信概率为95%的置信区间.1231.两台机床加工同一种零件,分别抽取6个和9个零件,测得其长度计算得*2*2120.245,0.357ss假定各台机床零件长度服从正态分布.试求两个母体方差之比 的置信区间(给定置信概率为95%).2122解:*2*211226,0.245;9,0.357nsns构造函数221221*2*212/(1,1)/FF nnSS给定置信概率 ,有195%*22*21112121*22*2122222

20、(1,1)(1,1)1SSP FnnFnnSS 查表0.0250.02511(8,5)6.76,(5,8)4.82FF所求置信区间的置信下限为10.2450.1424.820.357置信上限为0.2456.764.640.35734.从一批某种型号电子管中抽出容量为10的子样,计算得标准差 (小时).设整批电子管服从正态分布.试给出这批管子寿命标准差 的单侧置信上限(置信概率为95%).*45s 解:n=10,(小时)*45s 构造函数*2222(1)(1)nSn给定置信概率95%,查20.95(9)3.325,使221(1)1Pn 即*2220.95(1)0.95(9)nsP故所求 的置信概

21、率为95%的置信上限为29 453 4574.053.3251.823第三章 假设检验1.从已知标准差 的正态母体中,抽取容量为n=16的子样,由它算得子样平均数 .试在显著水平0.05下,检验假设H0:2.556.27x26解:1.建立原假设H0:2.在H0成立前提下,构造统计量26)1,0(/0Nnxu3.给定显著水平 ,有 ,使05.096.12u2uuP即05.096.1/00nxP4.由样本n=16,56.27x代入96.12.14/2.52656.272uu接受H02.从正态母体 中取100个样品,计算得)1,(N32.5x(1)试检验H0:(2)计算上述检验在 时犯第二类错误的概

22、率.5是否成立?)01.0(8.4解:(1)1.建立原假设H0:2.在H0成立前提下,构造统计量5)1,0(/0Nnxu3.给定显著水平 ,有 ,使01.0575.22u2uuP即01.0575.2/00nxP代入575.22.310/1532.5u拒绝H0(2)真实 时,8.4719.0)575.0()575.0()575.4()575.210/18.45()575.210/18.45()/()/(212102102)(002021ununxdenHnx接受域3.某批砂矿的5个样品中的镍含量经测定为 x(%)3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值服从正态分布。问在下 能否接

23、受假设：这批矿砂的(平均)镍含量为3.25。解：设 ，未知，计算 .252，=0.013。（1）建立假设 ：（2）在假设成立的前提下，构造统计量 01.0),(2Nx2x*s0H25.3xu)1(/)(*0nttnsx（3）给定 ,查得 =4.6041（4）由样本计算，=0.34=5p414341243413434125681建立假设 ：母体X的分布律为上述分布律在 成立的前提下，构造统计量给定显著水平 ，查得0H)4(25122iiiinpnpm）（0H)4(22568125681362562725627286492006492003216320016320048505056)4(22222

24、22）（由样本计算，使p02488.9405.760.026.253.094.272.0H接受）（方差分析习题1.为了对一元方差分析表作简化计算，对测定值 作变换 ，其中b、c是常数，且 。试用 表示组内离差和组间离差，并用他们表示F的值。i jx0b ijyijijyb xc解：由第一章习题3可知 组内离差 组间离差 ijijyb xc2221xyssb222211AiiAiijQni xxni yQbby22221111rniEijiijiEijijQxxyyQbb/1/1/AAEEQrQrFFQnrQnr2.有四个厂生产1.5伏的3号电池。现从每个工厂产品中各取一子样，测量其寿命得到数值

25、如下：生产厂 干电池寿命（小时）A24.7，24.3，21.6，19.3，20.3 B30.8，19.0，18.8，29.7 C17.9，30.4，34.9，34.1，15.9 D23.1，33.0，23.0，26.4，18.1，25.1问四个厂干电池寿命有无显著差异（）？5%解：1.建立假设 ：四个水平下母体 2.在 成立前提下构造统计量 3.给定显著水平 ，查 ，使 4.有样本计算列出方差分析表 0H12342,iixN 0H/11,/AEQrFF rnrQnr1,Frnr1,p FFrnr来源离差平方和自由度均方离差F组间r-1=320.230.5366组内n-r=1637.7总和663

26、.924160.7AiiQni xx2411603.2niEijiijQxx3,163.24F F1,接受 ，四个厂的干电池寿命无显著差异0H3.抽查某地区三所小学五年级男学生的身高，得如下数据：小学身高数据（厘米）第一小学128.1，134.1，133.1，138.9，140.8，127.4第二小学150.3，147.9，136.8，126.0，150.7，155.8第三小学140.6，143.1，144.5，143.7，148.5，146.4试问该地区三所小学五年级男学生的平均身高是否有显著差异（）？5%解：，I=1,2,3 1.建立假设 ：2.在 成立前提下构造统计量 3.给定显著水平

27、，查 ，使 4.有样本计算列出方差分析表 2,iixN 0H1230H/11,/AEQrFF rnrQnr1,Frnr1,p FFrnr来源离差平方和自由度均方离差F组间r-1=2233.084.375组内n-r=1553.28总和21466.16rAiiQni xx2799.3EijiijQxx0.052,153.68F ，所以拒绝 ，认为三所小学五年级男生平均身高有显著差异0.052,15FF0H4.在一元方差分析中，而 ，试求 的无偏估计量及其方差。1,2,;1,2,ijiijxjn ir10riiini解：在第i水平下,估计量为 而总的平均 的估计量为 的估计量为 是无偏的 1,2,;

28、1,2,ijiijxjn iriixxiiiixxiiiEExExi211222122222222212221111122iirriijjijjjjriijjjrjjiiiDD xxnD xn xDxDn xnnnnDxnjinnnnnnnnnnnnnn1.通过原点的一元回归的线形模型为 其中各 相互独立，并且都服从正态分布 。试由n组观察值 ，用最小二乘法估计 ，并用矩法估计,1,2,iiiYxini20,N,1,2,iix yin2回归分析习题解：；的矩法估计 ,1,2,iiiYxin20,iN21minniiiQyx22220,iiiiiiiiix yQyx xx 22222222212

29、iiixyyxyxyxynx2.在考察硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同温度观察它在100ml的水中溶解的硝酸钠的重量，获得观察结果如下：从经验和理论知之间有下述关系式 其中各 相互独立，并且都服从正态分布 。使用最小二乘法估计参数，并且用矩法估计 。温度0410152119365168重量66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1ixiy220,Ni,1,2,9iiiYxi解：列表计算066.7004448.9471.01628450411076.31007635821.71580.622512096496.42185.74411799.77344.5299

30、2.98412694.18630.43699.412963578.49880.451113.626015793.61290568125.146268506.815650234811.31014424628.676218.3ixiy2ixiix y2iy矩法估计220.8706iiiiiiiiiinx yxynxx 67.51yx222222110.7476iiiiyyxxnn3.某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（mg/L）与光系数读数的结果如下：已知他们之间有关系式其中 ，且各 相互独立，试求 的最小二乘法估计，并在显著水平0.05下检验是否为38。尿汞含量246810消光系数64138205285360ixiy,1,2,iiiYxin20,iNi,解：1.列表计算,1,2,3,4,5iiiYxi20,iN26441284096413816552190446205361230420258285642280812251036010036001296003010522207790275990ixiy2ixiix y2iy2236.95iiiiiiiiiinx yxynxx 11.3yx 2.建立假设 ：在 成立前提下构造统计量，给定显著水平 ，查 ，使计算|T|=0.846接受 ，0H380H22iiTxxt u22tu22 p Ttu 0.02533.824t0H38