定积分习题期末

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1、第六章第六章 定积分习题课定积分习题课1定积分的定义：定积分的定义：定积分定义的四要素：分割；近似；求和；取极限定积分定义的四要素：分割；近似；求和；取极限2定积分的几何意义：定积分的几何意义：01()lim()nbiiaifx dxfx badxxfA)(用图表示用图表示:一、定积分的概念与性质一、定积分的概念与性质 xy()yf x0ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 3可积的充分条件可积的充分条件 若若 在区间在区间 上连续，则上连续，则 在在 上可积上可积.()f x ba,()f x ba,若若 在区间在区间 上有界，且只有限个间断点，上有界，且只有限个间断点，则则 在在 上可积上可积

2、.()f x ba,()f x ba,4定积分的性质定积分的性质反号性：反号性：dxxfdxxfabba )()(与积分变量无关性：与积分变量无关性：()()bbaaf x dxf t dt 线性性质：线性性质：1212()()()()bbbaaak f xk g x dxkf x dxkg x dx 区间可加性区间可加性:()()()bcbaacf x dxf x dxf x dx 区间长：区间长：1badxba保号性：如果在区间保号性：如果在区间 上上,，则，则 ba,()0f x ()0 baf x dx 单调性：如果在区间单调性：如果在区间 上上,则则 ba,)()(xgxf()()b

3、baaf x dxg x dx 估值定理：设估值定理：设 和和 分别是函数分别是函数 在区间在区间 上的上的 最大值和最小值，则最大值和最小值，则Mm)(xf ba,baabMdxxfabm)()()()aaf x dx 奇偶对称性：若奇偶对称性：若 在在 上连续，则上连续，则)(xf aa,二、积分上限函数与牛顿二、积分上限函数与牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 1积分上限函数：积分上限函数：xadttfxF)()()(xf是奇函数是奇函数)(xf是偶函数是偶函数02(),af x dx 0，设函数设函数 在区间在区间 上连续，则称上连续，则称)(xf ba,定积分中值定理：如果函数定积分中值定

4、理：如果函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续,则至少存在一点则至少存在一点 ,使下式成立：使下式成立：)(xf ba,(,)a b ()()()baf x dxfba )()(xfdttfdxdxa (1)(2).()()()(xxfdttfdxdxa (3)()()()()()()()xxdf t dtfxxfxxdx 3牛顿牛顿莱布尼兹公式：若函数莱布尼兹公式：若函数 为连续函数为连续函数 在区间在区间 上的个原函数，则上的个原函数，则)(xF)(xf ba,baaFbFdxxf)()()(2积分上限函数的微分积分上限函数的微分三、定积分的计算方法三、定积分的计算方法求定积分的总体原则：先

5、求被积函数求定积分的总体原则：先求被积函数 的原函数的原函数 ,然后利用牛顿然后利用牛顿莱布尼兹公式计算，即莱布尼兹公式计算，即)(xf)(xF baaFbFdxxf)()()(1换元积分法换元积分法（1）凑微分法：）凑微分法：babaxdxfdxxxf)()()()(（2）变量置换法：函数）变量置换法：函数 满足条件：满足条件：)(tx (),a b)(dtttfdxxfbatx)()()()(2分部积分法：分部积分法：bababavduuvudv四、反常积分四、反常积分1无穷限的反常积分无穷限的反常积分()lim()taatf x dxf x dx 00()()()f x dxf x dx

6、f x dx()lim()bbttf x dxf x dx 2无界函数的反常积分无界函数的反常积分设设 为为 的瑕点的瑕点,则则 a)(xf()lim()bbattaf x dxf x dx 设设 为为 的瑕点的瑕点,则则b)(xf()lim()btaatbf x dxf x dx 设设 为为 的瑕点，则有的瑕点，则有)(bcac )(xf()()()bcbaacf x dxf x dxf x dxlim()lim()tbattctcf x dxf x dx 五、典型例题五、典型例题 ()()()()bbaafx dxf xf bf aab badxxf)(解：解：由于由于 在在 上连续上连续

7、,且且 是是 在在 上的一个原函数，故上的一个原函数，故 ba,()fx()fx()f x ba,【例例1】设设 在在 上有连续导数，且上有连续导数，且 是是 在在 上的一个原函数上的一个原函数,求求 ba,()f xabfbaf )(,)()fx ba,)(xf【例例2】求定积分求定积分 01cos2xdx 解：解：2001cos22cos xdxxdx 2022 sin2 sin2 2xx 202 2cos2cosxdxxdx 0 2cos xdx 注：当定积分的被积函数中包含绝对值符号时，必须设法将注：当定积分的被积函数中包含绝对值符号时，必须设法将其去掉，并且要特别注意被积函数的符号其

8、去掉，并且要特别注意被积函数的符号【例例3】设设 ,求求 21,1()1,12xxf xxx 20)(dxxf解解:21220011()(1)2f x dxxdxx dx1223101=26xxx 83【例例4】设设 求求 2,1(),2,1xxf xxx 21)1(dxxf分析：利用变量代换将分析：利用变量代换将 在在 上的定积分上的定积分 化为化为 在在 上的定积分再计算。上的定积分再计算。)1(xf 2,1()f t 3,0解解:设设 ,则则1 xtdxdt 13321011 =2323xxx 13201 =(2)x dxx dx dxxfdttfdxxf 303021)()()1(【例

9、例5】设设 为连续函数，求为连续函数，求 )(xf babadxxbafdxxf)()(解解:令令 ,则则 ,当当 时时,当当 时时,xbat dxdt xa;tb xb.ta 则则()()()baabf abx dxf tdt 故故 babadxxbafdxxf0)()()()bbaaf t dtf x dx 【例例7】求定积分求定积分 411xdx解解:设设 ,则则ux 2,2.xudxudu 4211211dxuduux 212=2ln(1)2 1ln3uu211121uduu 【例例8】计算定积分计算定积分)0(0222 adxxaxa解解:令令 则则sin,xat cos.dxat

10、22222200sincoscosaxax dxat at atdt 44201 sin48416aatt 4201cos442atdt .2t 当当 时时,当当 时时,0 x0;t ax 42220sincosattdt 4220sin 24atdt 【例例9】计算定积分计算定积分 10arctan xdxx解解:101arctan82xx 21100arctanarctan()2xxxdxxd 12212001arctan221xxxdxx 12011(1)821dxx 11(1)82442 【例例10】求定积分求定积分 3434(1arctan)1cos2xxdx 分析：由于积分区间为对

11、称区间，可考虑被积函数是否分析：由于积分区间为对称区间，可考虑被积函数是否具有奇偶性或部分具有奇偶性具有奇偶性或部分具有奇偶性解解:原式原式24022 2cos2 2(cos)4 22xdxx dx 334433441cos2arctan1cos2xdxxxdx 34341cos2xdx 34021cos2xdx 34022 cos x dx 【例例11】设设 求求324,1xxdtut dxdu解：因为解：因为 3241xxdtut 所以所以21283211duxxdxxx 234400 11xxdtdttt 32044011xxdtdttt 【例例17】求反常积分求反常积分 21ln xd

12、xx 解：解：211ln1ln()xdxxdxx 21111ln xdxxx 1ln1limxxxx 10lim11xx【例例18】求积分求积分 2021xdx分析：被积函数分析：被积函数 在积分区间在积分区间 上不是连续的，上不是连续的，211x 2,0牛顿牛顿莱布尼兹公式失效这是一个反常积分。莱布尼兹公式失效这是一个反常积分。1 x该积分的瑕点。该积分的瑕点。解：解：212222001111dxdxdxxxx 因为因为 1021xdx 01011lnxx故该积分发散故该积分发散注：由于定积分与瑕积分的表达式没有区别，在计算积分时注：由于定积分与瑕积分的表达式没有区别，在计算积分时 要特别注

13、意。要特别注意。222001lnln3.11dxxxx 错误在于将反常积分误认为定积分。错误在于将反常积分误认为定积分。在应用牛顿在应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分时，必须注莱布尼兹公式计算定积分时，必须注意其使用条件，即被积函数在积分区间内必须连续意其使用条件，即被积函数在积分区间内必须连续常见的错误做法：常见的错误做法：定积分应用定积分应用一、定积分应用的类型一、定积分应用的类型几何应用几何应用 平面图形的面积平面图形的面积特殊立体的体积特殊立体的体积 旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为平行截面面积为已知立体的体积已知立体的体积二、构造微元的基本思想及解题步骤二、构造微元的基本思想及解题

14、步骤1.构造微元的基本思想构造微元的基本思想元素法的实质是局部上元素法的实质是局部上“以直代曲以直代曲”、“以不变代变以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化以均匀变化代不均匀变化”的方法，其的方法，其“代替代替”的原则必须的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部是无穷小量之间的代替。将局部 上所对上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分定积分 ,badxxx badxxf)(无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。2.在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：在求解定积分应用问题时，

15、主要有四个步骤：选取适当的坐标系；选取适当的坐标系；确定积分变量和变化范围；确定积分变量和变化范围；在在 上求出微元解析式（积分式）。上求出微元解析式（积分式）。,x xdx 把所求的量表示成定积分把所求的量表示成定积分().baf x dx 三、典型例题三、典型例题1.几何应用几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的体积。解决这些问题的关键是确定面积元体积。解决这些问题的关键是确定面积元素、体积元素。素、体积元素。【例例1】求由求由 所围成图形的面积。所围成图形的面积。20,2xyyxx 分析：在直角坐标系下分析：在直角坐标系

16、下,由给定曲线所围成的几何图形由给定曲线所围成的几何图形如图所示。如图所示。如果取如果取 为积分变量为积分变量,则则 x0,3.x 0,3,x 设区间设区间 所对应的曲边梯形面积为所对应的曲边梯形面积为 则面积元则面积元,dxxx 素素 就是在就是在 上以上以“以直代曲以直代曲”所形成的矩形面积。所形成的矩形面积。,A dA,dxxx 解解：(1)确定积分变量和积分区间：确定积分变量和积分区间：的交点为的交点为 和和 ,)0,0()3,3(取取 为积分变量为积分变量,则则x0,3.x xxy22 由于曲线由于曲线 和和0 yx（2）求微元：任取）求微元：任取 0,3,x ,0,3.x xdx

17、如果将图形上方直线的纵坐标记为如果将图形上方直线的纵坐标记为 ,xy 2将图形下方抛物线的纵坐标记为将图形下方抛物线的纵坐标记为 ,xxy221 那么，那么，就是区间就是区间 所对应的矩形的面积。因此所对应的矩形的面积。因此dA,x xdx dxxxdxxxxdxyydA)3()2()(2212 （3）求定积分：所求的几何图形的面积表示为求定积分：所求的几何图形的面积表示为320(3)Axx dx 计算上面的积分得：计算上面的积分得：3209(3).2Axx dx 【例例5】设由曲线设由曲线 ，及及 围成围成xysin(0)2x 1 y0 x平面图形平面图形 绕绕 轴轴,轴旋转而成的旋转体的体

18、积。轴旋转而成的旋转体的体积。Axy分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕 轴旋转时，轴旋转时，x取取 为积分变量为积分变量;绕绕 轴旋转时轴旋转时,取取 为积分变量。为积分变量。xyy设区间设区间对对 或对或对0,2x 0,1,y 或或 所对应的曲边梯形为所对应的曲边梯形为 是以直代曲是以直代曲,dxxx,dyyy,S 所形成的矩形为所形成的矩形为 则绕则绕 轴、轴、轴旋转而成的旋轴旋转而成的旋 1,S xy转体的体积微元转体的体积微元 就是矩形就是矩形 分别绕分别绕 轴、轴、轴轴dV1S xy旋转而成的体积旋转而成的体积.解解:(一一)求求 绕轴旋转而成的

19、旋转体的体积绕轴旋转而成的旋转体的体积 x（1）确定积分变量和积分区间：绕）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图轴旋转如图,x旋转体体积元素旋转体体积元素 是是 对应的矩形绕对应的矩形绕 轴所得的轴所得的旋转体的体积，即旋转体的体积，即 xdV,x xdx xdxxdVx)sin1(22 0,2x ,0,2x xdx （2）求微元：对）求微元：对取取 为积分变量为积分变量,则则x0,.2x （3）求定积分：绕）求定积分：绕 轴旋转而成的旋转体的体积表示为轴旋转而成的旋转体的体积表示为x220(1sin)xVx dx 计算积分得：计算积分得：4cos )sin1(2202202 xdxdxxV

20、x（1）确定积分变量和积分区间：绕）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图轴旋转如图,y取取 为积分变量为积分变量,则则y0,1.y(二二)求绕求绕 轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积y（2）求微元：对）求微元：对0,1,y ,0,1,y ydy 旋转体的体积元素旋转体的体积元素 ydV是是 对应的矩形绕对应的矩形绕 轴所得的旋转体体积轴所得的旋转体体积,即即,y ydy y22(arcsin).ydVx dyy dy （3）求定积分：绕）求定积分：绕 轴所得的旋转体的体积表示为轴所得的旋转体的体积表示为 y120(arcsin)yVydy 120(arcsin)yVydy 12

21、 10201(arcsin)|2(arcsin)1yyyydyy 1220(arcsin1)2(arcsin)(1)y dy 32102 1arcsin2 4yyy 324 计算积分得计算积分得:【例例7】计算底面是半径为计算底面是半径为2 的圆，而垂直于底面上一条固定的圆，而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择 积分变量为积分变量为 ,如果能求出平面如果能求出平面 x 2,2,x xx 所截立体的截面面积所截立体的截面面积

22、那么，那么，(),A x,2,2x xdx 所对应的体积元素为所对应的体积元素为 .()dVA x dx 建立如图所示的坐标系，建立如图所示的坐标系，解解:(1)确定积分变量和积分区间：确定积分变量和积分区间：则底圆方程为则底圆方程为 224.xy 取取 为积分变量为积分变量,所以所以 2,2.x x （2）求微元：因为过点）求微元：因为过点 的截面为等边三角形（如图），的截面为等边三角形（如图），其边长为其边长为 高为高为 x22 4,x 232 4.2x 所以截面积为所以截面积为 22213()2 42 4223(4).A xxxx因此因此,对对 所对应的体积元素为所对应的体积元素为 2,2,x ,2,2x xdx 2()3(4).dVA x dxxdx （3）求定积分：所求立体的体积为求定积分：所求立体的体积为22222()3(4)VA x dxxdx3233 yy