示范教案(3.2.1--古典概型)

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1、3.2 古典概型3.2.1 古典概型整体设计教学分析 本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一学时,是在随机事件的概率之后,几何概型之前,尚未学习排列组合的状况下教学的.古典概型是一种特殊的数学模型,也是一种最基本的概率模型,在概率论中占有相称重要的地位. 学好古典概型可觉得其她概率的学习奠定基本,同步有助于理解概率的概念,有助于计算某些事件的概率,有助于解释生活中的某些问题.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟实验让学生理解古典概型的特性：实验成果的有限性和每一种实验成果浮现的等也许性,观测类比各个实验,归纳总结出古典概型的概率计算公式,体现了化归的重要思想,掌握列举

2、法,学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题. 概率教学的核心问题是让学生理解随机现象与概率的意义,加强与实际生活的联系,以科学的态度评价身边的某些随机现象.合适地增长学生合伙学习交流的机会,尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例.使得学生在体会概率意义的同步,感受与她人合伙的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神.三维目的1.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟实验让学生理解古典概型的特性：实验成果的有限性和每一种实验成果浮现的等也许性,观测类比各个实验,对的理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点,培养学生用随

3、机的观点来理性地理解世界,使得学生在体会概率意义的同步,感受与她人合伙的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神.2.鼓励学生通过观测、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古典概型的概率计算公式,掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P（A）=的使用条件古典概型,体现了化归的重要思想.掌握列举法,学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生数学思维情趣,形成学习数学知识的积极态度.重点难点教学重点：理解古典概型的概念及运用古典概型求解随机事件的概率.教学难点：如何判断一种实验与否是古典概型,分清在一种古典概型中某随机事件涉及的基本领件的个数和实验中基本

4、领件的总数.学时安排 1学时教学过程导入新课思路1(1)掷一枚质地均匀的硬币,成果只有2个,即“正面朝上”或“背面朝上”,它们都是随机事件.(2)一种盒子中有10个完全相似的球,分别标以号码1,2,3,10,从中任取一球,只有10种不同的成果,即标号为1,2,3，,10.思考讨论根据上述状况,你能发现它们有什么共同特点？为此我们学习古典概型,教师板书课题.思路2 将扑克牌（52张）反扣在桌上,先从中任意抽取一张,那么抽到的牌为红心的概率有多大？与否一定要进行大量的反复实验,用“浮现红心”这一事件的频率估计概率？这样工作量较大且不够精确.有更好的解决措施吗？把“抽到红心”记为事件B,那么事件B相

5、称于“抽到红心1”,“抽到红心2”,“抽到红心K”这13种状况,而同样抽到其她牌的共有39种状况；由于是任意抽取的,可以觉得这52种状况的也许性是相等的.因此,当浮现红心时“抽到红心1”,“抽到红心2”,“抽到红心K”这13种情形之一时,事件B就发生,于是P(B)=.为此我们学习古典概型.推动新课新知探究提出问题 实验一：抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“背面朝上”的次数,规定每个数学小组至少完毕20次（最佳是整十数）,最后由学科代表汇总；实验二：抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”的次数,规定每个数学小组至少完毕60次（最佳是整十数

6、）,最后由学科代表汇总.（1）用模拟实验的措施来求某一随机事件的概率好不好？为什么？（2）根据此前的学习,上述两个模拟实验的每个成果之间均有什么特点？（3）什么是基本领件？基本领件具有什么特点？（4）什么是古典概型？它具有什么特点？（5）对于古典概型,应如何计算事件的概率？活动：学生展示模拟实验的操作措施和实验成果,并与同窗交流活动感受,讨论也许浮现的状况,师生共同汇总措施、成果和感受.讨论成果：（1）用模拟实验的措施来求某一随机事件的概率不好,由于需要进行大量的实验,同步我们只是把随机事件浮现的频率近似地觉得随机事件的概率,存在一定的误差.（2）上述实验一的两个成果是“正面朝上”和“背面朝上

7、”,它们都是随机事件,浮现的概率是相等的,都是0.5.上述实验二的6个成果是“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们也都是随机事件,浮现的概率是相等的,都是.（3）根据此前的学习,上述实验一的两个成果“正面朝上”和“背面朝上”,它们都是随机事件；上述实验二的6个成果“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们都是随机事件,像此类随机事件我们称为基本领件（elementary event）；它是实验的每一种也许成果.基本领件具有如下的两个特点：任何两个基本领件是互斥的；任何事件（除不也许事件）都可以表达到基本领件的和.（4）在一种实验中如果实验中所有也许浮现的基本领件

8、只有有限个；（有限性）每个基本领件浮现的也许性相等.（等也许性）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability）,简称古典概型.向一种圆面内随机地投射一种点,如果该点落在圆内任意一点都是等也许的,你觉得这是古典概型吗?为什么？ 由于实验的所有也许成果是圆面内所有的点,实验的所有也许成果数是无限的,虽然每一种实验成果浮现的“也许性相似”,但这个实验不满足古典概型的第一种条件. 如下图,某同窗随机地向一靶心进行射击,这一实验的成果只有有限个：命中10环、命中9环命中5环和不中环.你觉得这是古典概型吗？为什么？ 不是古典概型,由于实验的

9、所有也许成果只有7个,而命中10环、命中9环命中5环和不中环的浮现不是等也许的,即不满足古典概型的第二个条件.（5）古典概型,随机事件的概率计算 对于实验一中,浮现正面朝上的概率与背面朝上的概率相等,即 P（“正面朝上”）=P（“背面朝上”） 由概率的加法公式,得 P（“正面朝上”）+P（“背面朝上”）=P（必然事件）=1. 因此 P（“正面朝上”）=P（“背面朝上”）=. 即P（“浮现正面朝上”)=. 实验二中,浮现各个点的概率相等,即 P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）. 反复运用概率的加法公式,我们有P（“1点”）+P（“2点”

10、）+P（“3点”）+P（“4点”）+P（“5点”）+P（“6点”）=P（必然事件）=1. 因此P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）=. 进一步地,运用加法公式还可以计算这个实验中任何一种事件的概率,例如, P（“浮现偶数点”）=P（“2点”）+P（“4点”）+P（“6点”）=+=. 即P（“浮现偶数点”）=.因此根据上述两则模拟实验,可以概括总结出,古典概型计算任何事件的概率计算公式为：P（A）=.在使用古典概型的概率公式时,应当注意：要判断该概率模型是不是古典概型；要找出随机事件A涉及的基本领件的个数和实验中基本领件的总数.下面我们看

11、它们的应用.应用示例思路1例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的实验中,有哪些基本领件？活动：师生交流或讨论,我们可以按照字典排序的顺序,把所有也许的成果都列出来.解：基本领件共有6个:A=a,b,B=a,c,C=a,d,D=b,c,E=b,d,F=c,d.点评：一般用列举法列出所有基本领件的成果,画树状图是列举法的基本措施.分布完毕的成果(两步以上)可以用树状图进行列举.变式训练 用不同的颜色给下图中的3个矩形随机地涂色,每个矩形只涂一种颜色,求:(1)3个矩形颜色都相似的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率.分析：本题中基本领件比较多,为了更清晰地枚举出所有的基本领件,可以画图

12、枚举如下：（树形图）解：基本领件共有27个.(1)记事件A=“3个矩形涂同一种颜色”,由上图可以懂得事件A涉及的基本领件有13=3个,故P(A)=.(2)记事件B=“3个矩形颜色都不同”,由上图可以懂得事件B涉及的基本领件有23=6个,故P(B)=.答：3个矩形颜色都相似的概率为；3个矩形颜色都不同的概率为.例2 单选题是原则化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一种对的答案.如果考生掌握了考察的内容,她可以选择唯一对的的答案.假设考生不会做,她随机地选择一种答案,问她答对的概率是多少？活动：学生阅读题目,收集信息,交流讨论,教师引导,解决这个问题的核心,即讨论这个问题什么状

13、况下可以当作古典概型.如果学生掌握或者掌握了部分考察内容,这都不满足古典概型的第2个条件等也许性,因此,只有在假定学生不会做,随机地选择了一种答案的状况下,才可以化为古典概型.解：这是一种古典概型,由于实验的也许成果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D,即基本领件共有4个,考生随机地选择一种答案是选择A,B,C,D的也许性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得：P（“答对”）=0.25.点评：古典概型解题环节:（1）阅读题目,收集信息；（2）判断与否是等也许事件,并用字母表达事件；（3）求出基本领件总数n和事件A所涉及的成果数m；（4）用公式P(A)=求出概率并下结论.变式训练1.两枚均

14、匀硬币,求浮现两个正面的概率.解：样本空间：甲正乙正,甲正乙反,甲反乙正,甲反乙反.这里四个基本领件是等也许发生的,故属古典概型.n=4,m=1,P=.2.一次投掷两颗骰子,求浮现的点数之和为奇数的概率.解法一:设表达“浮现点数之和为奇数”,用(i,j)记“第一颗骰子浮现i点, 第二颗骰子浮现j点”,i,j=1,2,6.显然浮现的36个基本领件构成等概样本空间,其中A涉及的基本领件个数为k=33+33=18,故P(A)=.解法二:若把一次实验的所有也许成果取为：（奇,奇）,（奇,偶）,（偶,奇）,（偶,偶）,则它们也构成等概率样本空间.基本领件总数n=4,A涉及的基本领件个数k=2,故P(A)

15、=.解法三:若把一次实验的所有也许成果取为：点数和为奇数,点数和为偶数,也构成等概率样本空间,基本领件总数n=2,A所含基本领件数为1,故P(A)=.注：找出的基本领件组构成的样本空间,必须是等概率的.解法2中倘若解为：（两个奇）,（一奇一偶）,（两个偶）当作基本领件构成样本空间,则得出P(A)=,错的因素就是它不是等概率的.例如P（两个奇）=,而P（一奇一偶）=.本例又告诉我们,同一问题可取不同的样本空间解答.例3 同步掷两个骰子,计算：(1)一共有多少种不同的成果?(2)其中向上的点数之和是5的成果有多少种?(3)向上的点数之和是5的概率是多少?解：(1)掷一种骰子的成果有6种.我们把两个

16、骰子标上记号1,2以便辨别,由于1号骰子的每一种成果都可与2号骰子的任意一种成果配对,构成同步掷两个骰子的一种成果,因此同步掷两个骰子的成果共有36种.(2)在上面的所有成果中,向上的点数之和为5的成果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),其中第一种数表达1号骰子的成果,第二个数表达2号骰子的成果.(3)由于所有36种成果是等也许的,其中向上点数之和为5的成果(记为事件A)有4种,因此,由古典概型的概率计算公式可得P(A)=.例4 假设储蓄卡的密码由4个数字构成,每个数字可以是0,1,2,9十个数字中的任意一种.假设一种人完全忘掉了自己的储蓄卡密码,问她到自动取款机上随机试一次密码

17、就能取到钱的概率是多少?解：一种密码相称于一种基本领件,总共有10 000个基本领件,它们分别是0000,0001,0002,9998,9999.随机地试密码,相称于试到任何一种密码的也许性都是相等的,因此这是一种古典概型.事件“试一次密码就能取到钱”由1个基本领件构成,即由对的的密码构成.因此P(“试一次密码就能取到钱”)=.发生概率为的事件是小概率事件,一般我们觉得这样的事件在一次实验中是几乎不也许发生的,也就是通过随机实验的措施取到储蓄卡中的钱的概率是很小的.但我们懂得,如果实验诸多次,例如100 000次,那么这个小概率事件是也许发生的.因此,为了安全,自动取款机一般容许取款人最多试3

18、次密码,如果第4次键入的号码仍是错误的,那么取款机将“没收”储蓄卡.此外,为了使通过随机实验的措施取到储蓄卡中的钱的概率更小,目前储蓄卡可以使用6位数字作密码. 人们为了以便记忆,一般用自己的生日作为储蓄卡的密码.当钱包里既有身份证又有储蓄卡时,密码泄密的概率很大.因此用身份证上的号码作密码是不安全的.例5 某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,问质检人员从中随机抽出2听,检测出不合格产品的概率有多大?解：我们把每听饮料标上号码,合格的4听分别记作:1,2,3,4,不合格的2听分别记作a,b,只要检测的2听中有1听不合格,就表达查出了不合格产品.依次不放回地从箱中取出2听饮料,得到的两个标

19、记分别记为x和y,则(x,y)表达一次抽取的成果,即基本领件.由于是随机抽取,因此抽取到任何基本领件的概率相等.用A表达“抽出的2听饮料中有不合格产品”,A1表达“仅第一次抽出的是不合格产品”,A2表达“仅第二次抽出的是不合格产品”,A12表达“两次抽出的都是不合格产品”,则A1,A2和A12是互不相容的事件,且A=A1A2A12,从而P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A12). 由于A1中的基本领件的个数为8,A2中的基本领件的个数为8,A12中的基本领件的个数为2,所有基本领件的总数为30,因此P(A)=0.6.思路2例1 一种口袋内装有大小相似的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一

20、次摸出两个球,(1)共有多少个基本领件？(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？活动：可用枚举法找出所有的等也许基本领件.解：(1)分别记白球为1,2,3号,黑球4,5号,从中摸出2只球,有如下基本领件（摸到1,2号球用(1,2)表达）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).因此,共有10个基本领件.（2）上述10个基本领件发生的也许性是相似的,且只有3个基本领件是摸到两个白球（记为事件A）,即(1,2),(1,3),(2,3),故P(A)=.共有10个基本领件,摸到两个白球的概率为.变式训练 将一颗骰子先后抛掷两

21、次,观测向上的点数,问：（1）共有多少种不同的成果？（2）两数的和是3的倍数的成果有多少种？（3）两数和是3的倍数的概率是多少？解析：（1）将骰子抛掷1次,它浮现的点数有1,2,3,4,5,6这6种成果.先后抛掷两次骰子,第一次骰子向上的点数有6种成果,第2次又有6种也许的成果,于是一共有66=36种不同的成果；(2)第1次抛掷,向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一种,第2次抛掷时都可以有两种成果,使向上的点数和为3的倍数（例如：第一次向上的点数为4,则当第2次向上的点数为2或5时,两次的点数的和都为3的倍数）,于是共有62=12种不同的成果；(3)记“向上点数和为3的倍数”为事

22、件A,则事件A的成果有12种,由于抛两次得到的36种成果是等也许浮现的,因此所求的概率为P(A)=.答：先后抛掷2次,共有36种不同的成果；点数的和是3的倍数的成果有12种；点数的和是3的倍数的概率为.阐明：也可以运用图表来数基本领件的个数：例2 从具有两件正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,持续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.活动：学生思考或交流,教师引导,每次取出一种,取后不放回,其一切也许的成果构成的基本领件是等也许发生的,因此可用古典概型解决.解：每次取出一种,取后不放回地持续取两次,其一切也许的成果构成的基本领件有6个,即（a1,a

23、2）和（a1,b2）,（a2,a1）,（a2,b1）,（b1,a1）,（b1,a2）.其中小括号内左边的字母表达第1次取出的产品,右边的字母表达第2次取出的产品用A表达“取出的两种中,正好有一件次品”这一事件,则A=（a1,b1）,（a2,b1）,（b1,a1）,（b1,a2）,事件A由4个基本领件构成,因而,P（A）=. 思考 在上例中,把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其他条件不变,求取出的两件中正好有一件次品的概率. 有放回地持续取出两件,其一切也许的成果有：（a1,a1）,（a1,a2）,（a1,b1）,（a2,a1）,（a2,a2）,（a2,b1）,（b1,a2）

24、,（b1,b1）,由9个基本领件构成,由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以觉得这些基本领件的浮现是等也许的.用B表达“恰有一件次品”这一事件,则B=（a1,b1）,（a2,b1）,（b1,a1）,（b1,a2）, 事件B涉及4个基本领件,因而,P（B）=.点评：（1）在持续两次取出过程中,（a1,b1）与（b1,a1）不是同一种基本领件,由于先后顺序不同.（2）无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的.变式训练 既有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品：（1）如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求持续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取

25、3件,求3件都是正品的概率.分析：（1）为放回抽样；（2）为不放回抽样.解：（1）有放回地抽取3次,按抽取顺序（x,y,z）记录成果,则x,y,z均有10种也许,因此实验成果有101010=103种；设事件A为“持续3次都取正品”,则涉及的基本领件共有888=83种,因此,P(A)=0.512.（2）解法1：可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本领件不同,按抽取顺序记录（x,y,z）,则x有10种也许,y有9种也许,z有8种也许,因此实验的所有成果为1098=720种.设事件B为“3件都是正品”,则事件B涉及的基本领件总数为876=336,因此P(B)=0.467.解法2：可以看作不放回3次无

26、顺序抽样,先按抽取顺序（x,y,z）记录成果,则x有10种也许,y有9种也许,z有8种也许,但（x,y,z）,（x,z,y）,（y,x,z）,（y,z,x）,（z,x,y）,（z,y,x）是相似的,因此实验的所有成果有10986=120,按同样的措施,事件B涉及的基本领件个数为8766=56,因此P(B)=0.467.点评：有关不放回抽样,计算基本领件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其成果是同样的,但不管选择哪一种方式,观测的角度必须一致,否则会导致错误.知能训练 本节练习1、2、3.拓展提高 一种各面都涂有色彩的正方体,被锯成1 000个同样大小的小正方体,将这些正方体混

27、合后,从中任取一种小正方体,求：（1）有一面涂有色彩的概率；（2）有两面涂有色彩的概率；（3）有三面涂有色彩的概率.解：在1 000个小正方体中,一面涂有色彩的有826个,两面涂有色彩的有812个,三面涂有色彩的有8个,（1）有一面涂有色彩的概率为P1=0.384；（2）有两面涂有色彩的概率为P2=0.096；（3）有三面涂有色彩的概率为P3=0.008.答：（1）一面涂有色彩的概率为0.384；（2）有两面涂有色彩的概率为0.096；（3）有三面涂有色彩的概率为0.008.课堂小结1.古典概型 我们将具有（1）实验中所有也许浮现的基本领件只有有限个；（有限性）（2）每个基本领件浮现的也许性相

28、等.（等也许性）这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型.2.古典概型计算任何事件的概率计算公式P（A）=.3.求某个随机事件A涉及的基本领件的个数和实验中基本领件的总数的常用措施是列举法（画树状图和列表）,应做到不重不漏.作业 习题3.2 A组1、2、3、4.设计感想 本节课的教学通过提出问题,引导学生发现问题,经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念,由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观测类比推导出古典概型的概率计算公式.这一过程可以培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力. 在解决概率的计算上,教师鼓励学生尝试列表和画出树状图,让学生感受求基本领件个数的一般措施,从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑.由此,整个教学设计可以在教师的期盼中实行.