6第6章 离散时间模型

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1、第六章离散时间和连续时间模型的仿真 1状态变量6.1.1状态变量的基本概念1）状态变量集计算机仿真中必须搞清楚实体相互关系的规则。计算机记录描述 变量的过去值，根据相互关系规则，可计算描述变量的未来值。状态变量集是所有描述变量的一个子集，只要知道这些变量的现 在值和输入变量值，就可计算模型的所有描述变量未来值。2）模型完全描述完全描述模型：假设模型具有描述变量2, , n，如果在任一时间t，变量的 值为V变量2的值为y2，若实体的相互关系规则对任一未来时 间t（大于t）确定了值y,y, ,y的唯一集，那么该模型是完全12n描述的。模型完全描述的充要条件：如果各描述变量的各个值只在任一时间t唯一

2、确定所有这些变量 在任一未来时间t 的值，就说描述变量集的某个子集是状态变量集。如果模型是完全描述的，2, , n或它的真子集便是状态变量集。模型是完全描述的充要条件是该模型的描述变量中存在状态变量集 例：二辆汽车面对而驶，V1、V26.1.2状态变量的仿真性质1）程序预置假设程序给出计算t 时的y，,y，y，的任务。则仅需预置 12n（也即是初始化）那些与状态变量有关的存储单元。2）重复操作假设给定t时的y,y, ,y值之后，因为丢失了第一次仿12n真操作的记录，要重复计算t时的y，,y, ,y，值，只要与状12n态变量有关的单元，预置y,y, ,y的相同值，则在不同计算 12n机和不同时间

3、作两次操作，结果仍然相同。3）程序中断和重新起动设计算t时的y，,y，y，值之后，安排中断程序。在 12n某时间之后可以重新起动。4）程序恢复假设计算机在执行程序时发生事故，修复正常时，重新预 置肯定将最终产生相同结果，但比从中断点重新起动要花费 更多的时间。4）离散时间仿真的定义对于时间tt.，给出t的状态值yi yi ,由程序根据分量1111 m相互关系能计算t.+1的唯一描述值yi1 yi1，也就是对于任何时间对1 11m偶（q, ti+1）均成立，称集 q, t2为计算时刻，若时间是步长h 的逐次倍数ti+1- t.=h,整个仿真称离散时间仿真。又假设分量相互关 系规则不依赖于时间，仅

4、仅与状态值yym有关，模型就称时不变 模型。 6.2离散时间模型仿真6.2.时不变离散时间模型的仿真过程1) 仿真过程给定t时的状态值yym,求t1的描述变量值的问题。设t=t和 t1=tM+N，计算时刻集匕，tm，飞在七和七1之间，仿真过程： 步1预置状态变量1m的值分别为y1, y2，ym步2预置时标为匕步3根据相互关系规则和状态变量现值，产生状态变量的新内容， 并使其它剩余描述变量产生新的内容步4 t=t+h推进时标步5 t t Nh，停止计算；否则，返回步32) 仿真基本特性(1) 计算模型描述值的采样时刻，由t t+h序列组成(2) 迭代次数但t)/h，h越小，迭代次数越少(3) 步

5、3体现模型的相互关系规则，是关键6.2.2离散时间模型的形式规范1.范式下面讨论离散时间仿真步3假设共n个变量，其中m个为状态变量，并假设无输入变量。它的输入:状态值输出:描述值.可假设有映献f(y ,y , ,y ) (y1, ,y1 ,y1 , y1)12m1m m 1 n把f分成二个部分(y , y ) (y1, , y1)1m1m(y ,y),(y1, y1)(y1, y1, y1)1 m 1m1mn即71,，1若不依赖y1,yn，则(u, y ) (y1, y1) 1m1m(y：, ,y：) (y：, y;)f(y , ,y ) (y , ,y ) 1m1m映射称为状态转移函数一它取

6、一列时间的模型状态变量值，并产生一列时间ti+1的模型状态变量值。上面的筒式称范式。2. 离散时间系统的组成和形式化描述状态、输出、转移函数假设DES.var是描述变量集，state.v和output.va分别为状态变量和 输出变量集， state. v的范围集.用RANGRE. 0j表示，这样状态集可 用下式笛卡尔积表示STATES (y , , y , ) y RANGE . , statevarR A N G E1 R A N G E2RANGE s t avtae r同样，可用集合论来描述输出集OUTPUTS对于时不变和离散时间步长为h的离散时间仿真模型，就可给出 它的形式描述：:ST

7、ATES STATES 和:STATES OUTPUTShS (STATE) STATES (STATE) OUTPUTSh若STATE是q时刻的模型状态变量，h(STATE)则q+h时刻状态， (STATE)则是q的输出。上述四元组STATES , OUTPUTS , h, 是离散时间系统规范 例：线性同余发生器的离散时间系统规范M=Q, Y, , ,Q为状态集0, m, Y是输出集0, 1是转移函数，：Q Q,q Q, (q)等于aq+c关于m的模，是 输出函数，：Q X (q)=q/m6.2.3离散时间模型的结构与行为假设仿真时间区间为t, t把它称为观察区间，计算时刻序列为 卜，匕+N

8、h，设序列qM，qM+N，分别为计算时刻匕，匕+Nh的状 态，同样输出变量序列()，q+N)把这二个序列分别称为状态 轨迹和输出轨迹。1)行为系统的行为包括模型的状态行为和模型的轨迹行为状态行为是所有状态轨迹的集qq)%+hq f+1(cu)qq f+N(q m+n)输出行为是所有输出轨迹的集状态转移函数：qM .h(qM .)i 1, ,N2)结构6.2.4非自治离散时间模型DES var INPUT var non.INPUT. varSTATE. var non.INPUT. var OUTPVT. var non.INPUT. var非自治时不变离散时间系统规范可用如下五元组形式表示，

9、其中 INPUTS , STATES , OUTPUTS 分别是 INPUT.V ARIABLES , STATE.V ARIABLES 和 OUTPUT.V ARIABLES 的范围集叉积的子 集；6为状态转移函数6 : STATES INPUTS f STATES而久是输出函数久：STATES INPUTS f OUTPUTS具有输入变量系统的行为状态行为:它是输入状态轨迹 输入输出行为:它是输入输出轨迹5.3连续时间模型仿真6.3.1微分方程系统规范特点：微分方程系统不能直接规定下次状态，而是根据所提供 的状态变化信息来计算下次状态值。微分方程系统的规范的五元组形式表示,其中 INPUT

10、S , STATES , OUTPUTS 分别是 INPUT VARIABLES ,STATE VARIABLES 和 OUTPUT VARIABLES的范围集叉积的子集；f为导数函数f: STATES INPUTS STATES而久是输出函数A : STATES INPUTS OUTPUTS导数函数f是状态变量和输入变量的函数，可用下式表示 f(q (t),x (t), q(O) q dt上式说明它们的解依赖于给定的初始值(q(0) q),并在每个时刻必 须满足微分方程。微分方程系统的关键是导数函数。设模型有输入变量序列 X,X.X和输出变量序列Y,Y.Y,，导数函数可用以下一阶微分方 程组

11、表示皿1 2 dY ，、i f (Y,Y .Y, X ,X .X )dYn-dtdt 112 n 12 mf (Y,Y .Y, X ,X .X )n 12 n 12 m可以把每个微分函数分解为积分器和用来计算积分器输入的函数，把积分器的输出变量来构成模型的状态变量(详见下一节)。积分器是构成微分方程说明系统的基本环节，它可表示为y=intgrl(IY, YRT)，它建立起它的输入YRT和输出Y(用简化符号)所假定的值之间的关系空 YRT (t)dt6.3.2积分法欧拉法的基本概念是也 lim Y(t h) Y(t) * (t)dt h 0h对于足够小的h,有Y (t h) Y (t) h X

12、(t)设定较小的步长h,对于给定运行长度，则会要求有较长的计算时间。 但是，从计算精度的角度来说，h越小计算精度越高。积分法思想：积分法利用输出和导数的估计过去值和(或)未来值来致力于更 好地估计现在值。对于积分器Y=INTGRL (IY; X)，计算时间ti 的Y值的依据可能包括计算Y和X在先前计算时刻tix，ti2，和(或) 后来时刻 1,ti 2，的各个值。输出Y和导数X的各个值是相互依存的， 即积分器本身只产生Y对X的依赖关系，而通过其它函数，可形成 积分器输出反馈，这使X对Y产生依赖关系。误差传播(1)每步计算近似值，因为即使X和Y在是正确的，由于在连 续区间（t t+h） X和Y的

13、值是变化，程序不能在这区间使用这些在 时间t的值，来正确地计算Y在时间（计h）的值。（2）系统传播前误差的影响而积累起来，Y有误差，Y与X是 依存关系，导致X误差，再导致Y误差。因果法：仅使用Y和X在前计算时刻匕,& ，的值和时间 的X值，去 计算q的Y值，叫做因果法。因果法的阶数：若Y.的f（X-d , x l , Y-）表明f是自变 量的线性组合，它的阶数为d。例：亚当斯法Yt+h = Y+h （3Xt-Xt-h）为二阶因果法对于d阶因果法，仿真时应保存d个模型导数和状态（积分器的输入及输出）变量的过去值。因果积分法对应的状态转移函数可用以下语句表示Y=INT METHOD（P1Y, P2

14、Y,，PdY, P1X,，PdX, X）其相关的状态变量、状态转移过程和输出序列可见表6.1。表6.1因果积分法状态变量时间t.-i的值若X的值（时间t.的 导数）是x,各状态变量 在时间t的值Y （输出）在 时间ti-1的值P1YP2Y. PdYP1XP2X. PdXyi 1yi 2. yi dxi 1xi 2. xi df(x ,.x, ,x, y ,.y,) i-1i di 1i dyi 1. yi (d 1)xxi 1xi (d 1)yi1非因果法：非因果法是不但考虑导数和输出的过去值，而且使用Y和X在 时间打再,的估计值。两次试探性估计现在值：(1)计算未来值的初始“预算”阶级(2)

15、计算最终值时的“校正”阶级Y g(x , ,x ,x,x , ,x ,Y , ,Y ,Y,Y , ,Y )ii di 1 i 1 i e id i 1 i i 1 i e(xi d,yi d), ,(xi 1,yi 1)是已计算过的过去值对偶 (Xi,Yi), , (Xi e,Ti e)是预算现在和未来值,Y i是Y在、的最终估计 值。简单的预算一校正法如下：曾1七h ，、Yt Yth 2(Xt、)非因果积分法的实现可描述如下:利用因果法f函数，计算e+1个时刻t,t ,.t,积分器的导数和输出对偶，并把获得的对偶 i i 1 i eX,Y,厂，厂，L,厂存储起来；然后，把函数8应用于这些值

16、i i i 1 i 1i e i e和d个过去值(X ,Y ),(X ,Y ), ,(X ,Y )，求得输出变量Yi d i d i d 1 i d 1i 1 i 1在时间的最终估计值Yf 6.4离散时间和连续时间仿真模型的描述6.4.1污染模型POL(t+h):污染被吸收的污染CI(t)资本投资POLR:吸收率POL(t):污染POL(t+h)=POL(t) + POLG(t)-POLA(t)hPOLG(t)二P(t)*POLCM(t)POLCM(t)=POLCMT(CIR(t)CiR(t)=E!P (t)POLA(t)=POL(t) POLR(t)POLA(t)=POLRT(POL(t)P

17、ol(t h) Pol(t) P (t) POLCMTCI(t)POL (t) POLRT (POL (t) hP(t)对于状态变量POLpol POLRT (pol)h(pol,ci p) pol p POLCMT 己)POLp1. 瞬时函数：根据时间t的各输入值确定模型在时间t的输出值的函数。2. 记忆或非瞬时函数：用微分方程说明，它可用连续时间和离散时 间来进行仿真。1. 已标识了瞬时函数及记忆函数的模型网络描述，每个模型网络 图可容易地转换成某些仿真语言的语句。2. 由模型网络描述，也可容易地明确状态转移函数和输出函数， 离散时间模型的仿真就可按其仿真过程进行。3. 仿真过程中，按某个

18、固定顺序搜索状态变量，用有关的局部转 移函数计算每个状态变量来获得下次状态值。由于某些瞬时函 数可能会直接影响两个以上的转移函数或输出函数，会不可避 免地出现不止一次地计算这个瞬时函数。如果能找出各个瞬时 函数的计算次序，就可以这一问题。为此，给出一种非常类似 于仿真语言的模型描述语言，它可描述编排模型描述语句的过 程。6.4.2模型描述语言模型描述语言是一种类似仿真语言的用来描述编排模型描述语句 的过程。模型描述语言中的三种语句：1）瞬时函数Y , Y, , Y = Instant. Func,XX, X） 1, 2, , m1 2,n在t时刻，能给定变量X1，, Xn的值，输出Y在时刻t的

19、值直接可由上式获得。2）输入时间函数X1，X， ，4 = Time. Func它是用来产生模型的输入轨迹，同瞬时函数不同，它仅与时间t 有关例 X1, X=sin, cosX1, * 的轨迹为(sin(t), cos(t)3) 记忆函数Y. Y, , Y = Mem. Func (Q Q, , Q; *, , X)12m12n 1p它具有状态变量Q】，,q,其初值必须设定，本质上它包括输入 轨迹、状态转移函数和输出函数三个部分。对于记忆函数，用离散时间和连续时间仿真，其处理方式不同，它们分别可用一个延迟元件和积分器来描述记忆函数的两种基本环节对于微分方程描述的系统，记忆函数的基本环节是积分器

20、积 分器可用语句Y INTGRL (IY,YRT )来表示，它的输出Y是输入YRT 加上初始状态IY的时间积分。它是构成微分方程描述的系统的基 本环节。可把积分器转化成离散时间仿真形式，但其对应的转移 函数只可能是近似的。对于离散时间模型，记忆函数的基本环节是迟延元件。迟延 元件可用语句Y DELAY (IY,YP)来表示。对于离散时间的一个DELAY(迟延)，其输出轨迹Y ()比输入轨迹YP( ) 滞后一步，它的初始值由IY给定。DELAY语句能够描述每一种 离散时间模型。模型描述语句与模型网络图存在一一对应关系可从模型描述语句直接推导出模型网络图。例如，描述语句U =PROD (Y1，Y2

21、 )，表示瞬时函数PROD有两条Y1和Y2输入线和一条U输出 线；描述语句Y1=DELAY （IY1,Y1P）,说明Y1也是DELAY函 数的输出线；这样，两个DELAY方框的输出作为PROD的输入。从上面的例子，发现描述序列中语句的语序与描述无关，也就是从语句序列S1,S2，Sn的任何排列中均可得到相同的网络。考虑以下模型描述：描4Y2=DELAY（IY2,Y2P）U =PROD（Y1， Y2）Y1P=SUM（X1， U ）Y2P=SUM （X2 ， U）X1，X2=SIN，COSY1=DELAY （IY1,Y1P）IY1、X 2.Sum,. Y * DelayY 2图6.5模型描述语句对应

22、的网络图6.4.3模型描述语句序列分析在描述序列中，语句的语序同描述无关，一个描述序列的任何排 列均可得到相同的网络。但在模型仿真中，语句被翻译计算机的指令 时，则必须正确次序执行这些动作。描述语句序列必须经过分析后，才能确定它是否有效及正确执行 次序。1. 无效语句的检查检查是否有任一变量在两个不同语句的左边出现，若存在则是无2. 无记忆和输入时间函数时的函数循环问题判别(1) 领先关系对于 Y , Y, , Y = Instant. Func,XX, X) 1, 2, m1 2,n若U是X.中的一个变量，V是Y.中的一个变量，则U领先于V。若U领先V,在计算t时刻的V值之前，必须要知道时间

23、t的U值。(2) 领先关系的闭包传递若有一变量序列W o, , Wn, Wo= U, Wn = V各个W j领先W i+i,则U领先*V ,U领先*V表示在网络图中存在一个沿箭头从U到V的路径例：V = Prod(Y Y)Y i=Sum (Xi, V)Y 2=Sum (X2,V)结论:有存在V领先*V,模型描述语句构成循环，存在无效描述3. 变量的次序排列1）变量的级别（a）若对某个变量V，变量U领先于V，且无变量W，它使W领先U，那么变量U的级别Lev（U）=0（b）任一（其他）变量的级别是网络中从级别为0的变量到该变量 最长路径的距离。若U领先*V，级别Lev（U）=0，n为最大数，U领先

24、W】领先W 2 W n-1 领先 V，级别 Lev（V）=n举例2）语句的级别（函数的级别）对于语句 S :Y,Y= Instant.func,（X, X）八 口 i1,m1，2， n语句Sj的级别是Xj的最大级别，即级别鸟）二max级别（X）, j=1, n 求Prod和Sum的级别。根据这些排序层次，就可自动构造层次关系清楚的模型网络图。在构造模型网络图时，把相同排序层次的所有变量和语句置在一条线 上。对于例6.7的模型描述语句：LEVU=PROD（Y1，Y2 ） =max LEV （Y1 ），LEV （Y2 ）=0LEV Y1P=SUM（X1，U ） = LEV （U ） =1LEV Y

25、2P=SUM（X2，U ） = LEV （U ） =1表6.2变量和语句的排序层次变量或语句语句变量代号PRODSUM(1)SUM(2)X1X2Y1Y2UY1PY 2P排序层次0110000122排序层次图6.7模型网络图对于瞬时函数，排列次序按它的级别排列S1, S2, Sn,级别(S级别(Si+1)。一般来说，时间函数语句排在最前，记忆型函数 则排列最后。最终序列形式为：I TIME FUNOT I排序层次为0 IINSTANT FUNCTI排序层次为M/I MEM FUNCT 其中M是语句的排序层次的最大值。X, *二Sin, CosU = Prod (* Y2)Y1P = Sum(X，

26、U)Y2P= Sum (X2，U)Y1= Delay (IY1, lY)Y2=Delay （IY,侦），6.4.4记忆函数仿真1、离散时间模型当模型描述仅包含DELAY记忆函数语句时，可选择DELAY的 输出变量来构造模型的状态变量。因而每个Y=DELAY （IY，X）语 句可解释如下：在预置阶段，设置Y等于IY ；在状态转移阶段，设 置Y在时间t+h的值为X在时间q的值。对于例6.6其模型描述语句对应的仿真的基本过程为：1）预置时标T为要求的初始时间t；2）置 Y1 为 IYl、Y2 为 IY2;3）置 X1，X2 为 SIN（T）,COS（T）;4）置 U 为 PROD（Y1,Y2）；5）

27、置 Y1P 为 SUM （X1,U）、Y2P 为 SUM （X2,U）；6）置 Y1 为 Y1P、Y2 为 Y2P ；7）推进仿真时标，置T为T+h；8）若T小于终止时间，转向3）；9）停机。常态形序列，则可以每个延迟元件为中心构造描述语句，可以起 到对这个模型描述序列的分解作用。设St，.mS是最终序列，并令Y1=DELAY （IYl； Y1P ）Yn=DELAY (IYn, YnP )是记忆函数语句。对于每个迟延元件的输入变量YiP，设先前变量集 PRIOR VARIABLES i是计算YiP有关的所有变量 集，也就是 PRIOR -VARIABLES j是这样的一个变量集，它的所有变量领

28、先*于 YPo现设$廿梧，Sim是计算YiP有关的最终序列的子序列，即 每个S.包含YiP和(或)包含至少一个PRIOR -VARIABLES j中的 变量。这样可构造常态形序列，其基本形式如下：ipY1P有关序列-J卜Y1的转移函数Y1 = DELAY (IY1; Y1P)iY2P有关序列-Y2的转移函数Y2 = DELAY (IY2; Y2P)iYnP有关序列-Yn的转移函数Yn = DELAY (IYn; YnP)-输出函数i 剩余语句2、微分方程说明的模型在连续时间模型中，一般用微分方程来描述系统模型，其记忆函数语句就是积分器。积分器Y=INTGRL (IY, YRT )，是建立起它的

29、输入YRT和输出Y所假定的值之间的关系空 YRT (t) dt这样，就可用积分法根据输出变量去逐次计算描述变量值，对整个导 数函数可通过一定手段构造对应的状态转移函数，用迭代方式进行系 统仿真。以下是欧拉积分法的仿真过程：1）预置 T=to, Y=IY;2）计算中间变量M=Y+h YRT ;3）推进时标T=T+h, Y=M ;4）T是否小于终止时间，否，转2）;5）结束。作业：对于滞后变量的伪随机数发生器，其算法的步骤：1）设S_5, S_4, S_3, S项S_1是区间0, m中的各个整数（逻辑 种子）2）置 i=03）选取Si-3Si-5计算：Sj为aSj-JbSz关于m的模r = Si /m-4）i=i+1 转入 3）o1）给出本伪随机数产生模型的离散时间系统规范；2）给出本模型网络图；3）给出本模型描述语句和去掉记忆环节后的各变量和语句的排 序层次。