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1、会计学1解析函数的罗朗展式与孤立奇点解析函数的罗朗展式与孤立奇点第1页/共37页101()()()()nnnnnnnccc z az az acc z ac z a ),2,1,0(ncn定义6.1 称级数（5.3）为复常数，称为双边幂级数（5.3）的系数 为双边幂级数，其中第2页/共37页0双双边边幂幂级级数数()nnnczz 负幂项部分非负蜜幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 f1(z)f2(z)f(z)第3页/共37页nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)(zz 令令nnnc 1收敛半径收敛收敛时时,R 011z
2、zrR收敛域收敛半径R0zzR收敛域1若若 ():rR 两收敛域无公共部分,2():rR 两收敛域有公共部分H:0.rzzRR1a aRarHf(z)=f1(z)+f2(z第4页/共37页这时,级数(5.3)在圆环H:r|z-a|R 收敛于和函数f(z)=f1(z)+f2(z)a aRarHf(z)=f1(z)+f2(z 定理5.1 设双边幂级数(5.3)的收敛圆环为 H:r|z-a|R(r0,R+)则(1)(5.3)在H内绝对收敛且内闭一致收敛于:f(z)=f1(z)+f2(z).(2)f(z)在H内解析.)()(3)nnnazczf在H内可逐项求导p次(p=1,2,).第5页/共37页常见
3、的特殊圆环域:2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z第6页/共37页 定理5.2(罗朗定理)在圆环H:r|z-a|R,(r0,R+)内解析的函数f(z)必可展成双边幂级数)()nnnczfaz 其中112012(),()(,),nnfcdian (5.5)(5.4)a并并且且展展式式是是唯唯 为为圆圆周周即即及及圆圆环环一一的的唯唯一一地地决决定定了了系系数数|(),().narRf zHc第7页/共37页Ha,|:|11a,|:|22a21|az 证(如图5.1)对zH,总可以找到含于H内的两个圆周使得z含在圆环12z图5.1内，因为f(z)在圆环21|az上解析,由
4、柯西积分公式有,)(21)(21)(12dzfidzfizf第8页/共37页或写成.)(21)(21)(12dzfidzfizf(5.6)我们将上式中的两个积分表为含有z-a的(正或负)幂次的级数.1对于第一个积分,只要照抄泰勒定理4.14证明中的相应部分,就得,)()(2102nnnazcdzfi(5.7),2,1,0()()(2121 ndzficnn(5.8)12第9页/共37页,)(211dzfi类似地,对(5.6)的第二个积分我们有2.11)()()()()(azaazfaazfzf时，当1,|11azaza于是上式可以展成一致收敛的级数11.)()()(nnazzazfzf第10页
5、/共37页i21沿1逐项求积分,两端同乘以,)()(1121nnnazcdzfi(5.9)nnnnnnnnnazcazcazczf.)()()()(10),()()(212111ndaficnn(5.10)由(5.6),(5.7),(5.9)即得回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的柯西积分定理,对任意圆周),(|:|Rraz有第11页/共37页daficnn21)()(21),2,1,0()()(211 ndafindaficnn11)()(21),2,1()()(211 ndafin于是系数可统一表成(5.5).第12页/共37页 因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内
6、(5.4)成立.)(|:|Rraz上一致收敛.乘以上的有界函数:nnnazczf,)()(1)(1manmnnmdacdaf,)()()(11 最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内又可展成下式:由定理5.1知,它在圆周故可逐项积分，得：仍然一致收敛第13页/共37页nnnazczf)()(利用重要积分公式，得：),1,0(,)()(211 mdaficmm).,1,0(nccnn 定义5.1(5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式,(5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗朗级数.),(,)()(10211ndaficnn第14页/共37页泰勒级数是罗朗级数的特殊情形.211zz
7、zf)(1z 1例1 判断在下列区域内能展成什么幂级数 21 z 2 z2 3即：罗朗级数或泰勒级数第15页/共37页 定义5.2 如果f(z)在点a的某一去心邻域K-a;0|z-a|R(即除去圆心a的某圆)内解析,点a是f(z)的奇点(见定义2.3),则称为f(z)的孤立奇点.如果a为f(z)的一个孤立奇点，则f(z)在a的某一去心邻域K-a;0|z-a|R(即除去圆心a的某圆)能展成洛朗级数第16页/共37页常用方法:1.直接法 2.间接法 1.直接展开法利用定理公式计算系数nc),2,1,0(d)()(2110 nzficCnn 然后写出.)()(0nnnzzczf 缺点:计算往往很麻烦
8、.第17页/共37页根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点:简捷,快速.2.间接展开法第18页/共37页例1,0 内内在在 z.)(2展开成洛朗级数展开成洛朗级数将将zezfz 解,)(nnnzczf 由定理知:d)()(2110 Cnnzfic d213 Cnei其中)2,1,0(,)0(:nzC 第19页/共37页,3 时时当当 n0 nc,2在圆环域内解析在圆环域内解析zez故由柯西古萨基本定理知:,2 时时当当 n由高阶导数公式知:022)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n 2)!2()(nnnzzf故故 !4!3!211122
9、zzzz z0 d213 Cnneic第20页/共37页另解 !4!3!21143222zzzzzzez !4!3!211122zzzz本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点,.2的奇点的奇点也是函数也是函数zez第21页/共37页例2 :)2)(1(1)(在圆环域在圆环域函数函数 zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z内是处处解析的,试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解,)2(1)1(1)(zzzf ,10 )1内内在在 z第22页/共37页oxy1,1 z由于由于 nzzzz2111则则2112121zz )(zf所以所以)1(2 zz 421212zz 2874
10、321zz12 z从而从而 nnzzz22212122第23页/共37页 ,21 )2内内在在 z12oxyzzz111111 21111zzz1 z由11 z2 z12 z且仍有 2112121zz nnzzz22212122第24页/共37页)(zf于是于是 21111zzz 2222121zz 842111121zzzzznn,2 )3内内在在 z2oxy2 z由12 z此时zzz211121 第25页/共37页 24211zzz,121 zz此时此时仍有zzz111111 21111zzz)(zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz第26页/共37页注意:0
11、z奇点但却不是函数)2)(1(1)(zzzf的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数)(zf在以0z为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有0zz 的负幂项,而且0z又是这些项的奇点,但是0z可能是函数)(zf的奇点,也可能)(zf的奇点.不是第27页/共37页2.给定了函数)(zf与复平面内的一点0z以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾.朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛第28页/共37页解 z0zzzfsin)(.)!12()1(02 nnnnz例3.0 sin
12、 0洛朗级数洛朗级数的去心邻域内展开成的去心邻域内展开成在在将函数将函数 zzz )!12()1(!51!3111253nzzzzznn第29页/共37页例4.2 )2(01展开成洛朗级数展开成洛朗级数的去心邻域内的去心邻域内在在将函数将函数 zzz解,220 内内在在 z )2(1)(zzzf 22112121zz 011)2(2)1(nnnnz.2221)2(2132 zz)2(2121 zz第30页/共37页例5:)1)(2(52)(22在以下圆环域在以下圆环域求求 zzzzzf内的洛朗展开式.;21)1(z520)2(z解 1221)(2 zzzf,21 )1时时当当 z 221121
13、221)(zzzzf 22111221121zzz第31页/共37页nnnnnzzz 20201)1(2221.2)1(201121 nnnnnnzz,520 )2内内在在 z1221)(2 zzzf iziziz1121 )2()2(1)2()2(121iziziz第32页/共37页 iziiziiz221)2(1221)2(121 0022)1(2122)1(2121nnnnnniziiziiz.5)2()2()2()1(211110 nnnnnnziiiz 110)2(1)2(1)2()1(21nnnnniiziz第33页/共37页 在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法.将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点.第34页/共37页洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题第35页/共37页 洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是一个普通幂级数;.0Rzzr ,0,0,00时时当当 ncrz思考题答案是一般与特殊的关系.洛朗级数的收敛区域是圆环域.级数了级数了洛朗级数就退化为泰勒洛朗级数就退化为泰勒放映结束，按Esc退出.第36页/共37页
解析函数的罗朗展式与孤立奇点PPT学习教案
