【数学】高考复习点拨：二项分布与超几何分布辨析

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1、二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以运用这两个概率模型来解决在实际应用中，理解并辨别两个概率模型是至关重要的下面举例进行对比辨析例袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地持续抽取3次，每次取1个球求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数也许的取值为，1，2，3又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以当作3次独立反复实验，则；因此，的分布列为01232不放回抽样时，取到的黑球数也许的取值为，1，2，且有：；因此，的分布列为012辨析：通过此例可

2、以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有变化，因而每次抽到某物的概率都是相似的，可以当作是独立反复实验，此种抽样是二项分布模型而不放回抽样时，取出一种则总体中就少一种，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型因此，二项分布模型和超几何分布模型最重要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样超几何分布和二项分布都是离散型分布，超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要懂得总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立反复）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布. 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以

3、运用这两个概率模型来解决。在实际应用中，理解并辨别两个概率模型是至关重要的。下面举例进行对比辨析。1.有放回抽样:每次抽取时的总体没有变化，因而每次抽到某物的概率都是相似的，可以当作是独立反复实验，此种抽样是二项分布模型。2.不放回抽样:取出一种则总体中就少一种，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型。因此，二项分布模型和超几何分布模型最重要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样。因此，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的(特别注意：二项分布是在次独立反复实验的3个条件成立时应用的)。超几何分布和二项分布的区别：（1）超几何分布需要懂得总体的容

4、量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立反复）。练习题：1. 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地持续抽取3次，每次取1个球。求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列。2. (四川延考)一条生产线上生产的产品按质量状况分为三类：A类、B类、C类检查员定期从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中具有C类产品或2件都是B类产品，就需要调节设备，否则不需要调节已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量状况互不影响(1)求在一次抽检

5、后，设备不需要调节的概率；(2)若检查员一天抽检3次，以表达一天中需要调节设备的次数，求的分布列3. 今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以扰此计算出自己每天的碳排放量。例如：家居用电的碳排放量（公斤）=耗电度数.785，汽车的碳排放量（公斤）=油耗公升数0.785等。某班同窗运用寒假在两个社区逐户进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。这二族人数占各自社区总人数的比例P数据如下：B社区低碳族非低碳族比例PA社区低碳族非低碳族比例P （I）如果甲、乙来自A社区，丙、丁来自B社区，求这4人中恰有2

6、人是低碳族的概率； （II）A社区通过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列。如果2周后随机地从A社区中任选25个人，记表达25个人中低碳族人数，求4. 在“自选模块”考试中，某试场的每位同窗都选了一道数学题，第一小组选数学史与不等式选讲的有1人，选矩阵变换和坐标系与参数方程的有5人，第二小组选数学史与不等式选讲的有2人，选矩阵变换和坐标系与参数方程的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分状况. （）求选出的4 人均为选矩阵变换和坐标系与参数方程的概率； （）设为选出的4个人中选数学史与不等式选讲的人数，求的分布列和数学盼望5. 甲、乙两人参与广州亚运会青年志愿者的选拔

7、打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才干入选(1)求甲答对试题数的概率分布；(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率 正态分布和线性回归高考规定 1.理解正态分布的意义及重要性质 2.理解线性回归的措施和简朴应用知识点归纳 1正态分布密度函数：，（0，-x）其中是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；为正态分布的均值；是正态分布的原则差.正态分布一般记为 2正态分布）是由均值和原则差唯一决定的分布例1、下面给出三个正态总体的函数表达式，请找出其均值和原则差（1），（-x+

8、（2），（-x+解： (1)0,1 (2)1,2 3正态曲线的性质：正态分布由参数、唯一拟定，如果随机变量N(，2)，根据定义有：=E，=D。正态曲线具有如下性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。（2）曲线有关直线x =对称。（3）曲线在x =时位于最高点。（4）当x 时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限接近。（5）当一定期，曲线的形状由拟定。越大，曲线越“矮胖”，表达总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表达总体的分布越集中。五条性质中前三条较易掌握，后两条较难理解，因此应运用数形结合的原则，采用对比教学 4原则正态曲线:当=0、=l时，正态总体称为原则

9、正态总体，其相应的函数表达式是，（-x+）其相应的曲线称为原则正态曲线 原则正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成原则正态分布的概率问题 5.原则正态总体的概率问题: 对于原则正态总体N（0，1），是总体取值不不小于的概率，即 ，其中，图中阴影部分的面积表达为概率 只要有原则正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当时，；而当时，（0）=0.5 例2 设，且总体密度曲线的函数体现式为：，xR。（1）求，；（2）求的值。分析：根据表达正态曲线函数的构造特性，对照已知函数求出和。运用一般正态总体与原则正态总体N（0，1）概率间的关系，将一般正态总体划

10、归为原则正态总体来解决。解：（1）由于，根据一般正态分布的函数体现形式，可知=1，故XN（1，2）。（2） 。点评：在解决数学问题的过程中，将未知的，不熟悉的问题转化为已知的、熟悉的、已解决了的问题，是我们常用的手段与思考问题的出发点。通过本例我们还可以看出一般正态分布与原则正态分布间的内在关联。9有关关系:当自变量一定期，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为有关关系 有关关系与函数关系的异同点如下：相似点：均是指两个变量的关系 不同点：函数关系是一种拟定的关系；而有关关系是一种非拟定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而有关关系是非随机变

11、量与随机变量的关系10回归分析一元线性回归分析： 对具有有关关系的两个变量进行记录分析的措施叫做回归分析 通俗地讲，回归分析是寻找有关关系中非拟定性关系的某种拟定性 对于线性回归分析，我们要注意如下几种方面：（1）回归分析是对具有有关关系的两个变量进行记录分析的措施。两个变量具有有关关系是回归分析的前提。（2）散点图是定义在具有有关系的两个变量基本上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切限度，然后再进行有关回归分析。（3）求回归直线方程，一方面应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。11散点图：

12、表达具有有关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切限度 粗略地看，散点分布具有一定的规律 12. 回归直线 设所求的直线方程为，其中a、b是待定系数，,相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述记录分析叫做回归分析 13.有关系数：有关系数是因果记录学家皮尔逊提出的，对于变量y与x的一组观测值，把= 叫做变量y与x之间的样本有关系数，简称有关系数，用它来衡量两个变量之间的线性有关限度. 14.有关系数的性质： 1，且越接近1，有关限度越大；且越接近0，有关限度越小.一般的，当 0.75 时，就可以判断其具有很强的有关性，这时求线性回归方程才故意义。例3

13、假设有关某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的记录资料：x23456y2.23.85.56.57.0若由资料可知y对x呈线性有关关系。试求：（1）线性回归方程；（2）估计使用年限为时，维修费用是多少？分析：本题为了减少难度，告诉了y与x间呈线性有关关系，目的是训练公式的使用。解：（1）列表如下：i12345234562.23.85.56.57.04.411.422.032.542.049162536， ， ， 于是，。线性回归方程为：。（2）当x=10时，（万元）即估计使用时维修费用是12.38万元。点评：本题若没有告诉我们y与x间是呈线性有关的，应一方面进行有关性检查。如果

14、自身两个变量不具有线性有关关系，或者说它们之间有关关系不明显时，虽然求出回归方程也是没故意义的，并且其估计与预测也是不可信的。二项分布与正态分布最新考纲1理解条件概率和两个事件互相独立的概念2理解n次独立反复实验的模型及二项分布3能解决某些简朴的实际问题.知 识 梳 理1条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0P(B|A)1(2)若B，C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2.事件的互相独立性设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B互相独立若

15、事件A，B互相独立，则P(B|A)P(B)；事件A与，与B，与都互相独立3独立反复实验与二项分布(1)独立反复实验在相似条件下反复做的n次实验称为n次独立反复实验，若用Ai(i1,2，n)表达第i次实验成果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)(2)二项分布在n次独立反复实验中，用X表达事件A发生的次数，设每次实验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为XB(n，p)，并称p为成功概率4正态分布(1)正态分布的定义及表达如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随

16、机变量X服从正态分布，记为XN(，2)函数，(x)，xR的图象(正态曲线)有关直线x对称，在x处达到峰值.(2)正态总体三个基本概率值P(X)0.682_6.P(2X2)0.954_4.P(3X3)0.997_4.【例1】 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A. B. C. D.(2)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表达事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表达事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)_.规律措施 (1)运用定义，

17、求P(A)和P(AB)，则P(B|A).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A涉及的基本领件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中涉及的基本领件数n(AB)，得P(B|A).【训练1】 已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()A. B. C. D.考点二互相独立事件同步发生的概率【例2】 (陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，她必选1号，不选2号

18、，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表达3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X2”的事件概率规律措施 (1)解答本题核心是把所求事件涉及的多种状况找出来，从而把所求事件表达为几种事件的和事件(2)求互相独立事件同步发生的概率的措施重要有运用互相独立事件的概率乘法公式直接求解正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算【训练2】 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少

19、命中1次的概率规律措施 (1)求解本题核心是明确正态曲线有关x2对称，且区间0,4也有关x2对称(2)有关正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记P(X)，P(2X2)，P(34)的值考点四独立反复实验与二项分布【例4】 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同窗每人购买了一瓶该饮料(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数X的分布列规律措施 (1)独立反复实验是在同样的条件下反复地、各次之间互相独立地进行的一种实验，在这种实验中，每一次实验只有两种成果，即某事件要么发生，要么不发生，

20、并且任何一次实验中发生的概率都是同样的(2)求复杂事件的概率，要对的分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几种彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几种互相独立事件同步发生的积事件，然后求概率【训练4】 某居民社区有两个互相独立的安全防备系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一种系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次互相独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率分布列及数学盼望E(X)小结1互相独立事件与互斥事件的区别互相独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)P(A)P(B)互斥事件是指在同一实验中，两个事件不会同步发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B)2在n次独立反复实验中，事件A正好发生k次可看做是C个互斥事件的和，其中每一种事件都可看做是k个A事件与(nk)个事件同步发生，只是发生的顺序不同，其发生的概率都是pk(1p)nk.因此n次独立反复实验中事件A正好发生k次的概率为Cpk(1p)nk.3若X服从正态分布，即XN(，2)，要充足运用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.