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1、2021/8/221 第一章,0时xxxxsin,32都是无穷小,第八节引例引例.xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小的比较2021/8/222,0limCk定义定义.,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若若,1lim若,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/223例如
2、例如,当)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/224例例1.证明:当0 x时,11nxxn1证证:lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/225定理定理1.)(o证证:1lim,0)1lim(0lim即,)(o即)(o例如例如,0
3、 时x,sinxx,tanxx故,0 时x,)(sinxoxx)(tanxoxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/226定理定理2.设,且lim存在,则lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/227设对同一变化过程,为无穷小,说明说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若 =o(),(2)和差代替规则和差代替规则:,不等价与且若,则例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031机动 目录
4、上页 下页 返回 结束 则,limlim且.时此结论未必成立但例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim22021/8/228(3)因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x界,则)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1(tanlimxxxx21机动 目录 上页 下页 返回 结束 32210limxxxx例例1.求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解:原式 2021/8/229231x221x例例2.求.1cos1)1(lim3120 xxx解解:,0时当 x1)1(312 x
5、231x1cos x221x0limx原式32机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/2210内容小结内容小结0lim,0,)0(C,1,0limCk1.无穷小的比较设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小,且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/22112.等价无穷小替换定理,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1思考与练习思考与练习P75 题1,2常用等价无穷小:第八节 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/2212 刚才的发言，如刚才的发言，如有不当之处请多指有不当之处请多指正。谢谢大家！正。谢谢大家！
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