高中理科数学公式大全

《高中理科数学公式大全》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中理科数学公式大全（41页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、高中数学公式大全(最新整理版)01.集合与简易逻辑1. 元素与集合的关系xAox,CA,xCAox,A.UU2. 德摩根公式C(AB)二CACB;C(AB)二CACB.UU3. AB包含关系Bf=AoACB二U4.-ca容斥原理AB)=台合a，a,12rd(集-rdA+cardB-card(AB).a的子集个数共有2n52n-2个.6. 二次函(1) 一般式f(x(2) 顶点式f(x)二a(xh)2+k(a丰0)；(3) 零点式f(x)二a(xx)(xx)(a丰0).127. 解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式Nf(x)Mof(x)-Mf(x)-N0oIf(x)-l022Mf(x)11数的

2、解析式的三种形式幵ax2+bx+c(a丰0)；个；真子集有2n-1个；非空子集有2n-1个；非空的真子集有o一f(x)NMN&方程f(x)=0在(k,k)上有且只有一个实根，与f(k)f(k)0不等价，前者是后者的一个必要而不是充1212分条件特别地，方程ax2+bx+c=0(a丰0)有且只有一个实根在(k,k)内，等价于f(k)f(k)0，或1212bk+kk+kb7f(k)=0且k2，或f(k)=0且12k.112a2222a29.闭区间上的二次函数的最值二次函数f(x)=ax2+bx+c(a丰0)在闭区间q1上的最值只能在x=-上处及区间的两端点处取得，具体2a如下：(1)当a0时，若x

3、二一纟p,ql2ablx二一,Lp,q2a当a0时，若xp,ql,2ablx二一,Lp,q2ab则f(x)=f(亍),f(x)=min2amaxmax=f(p),f(q),f(x)maxminf(x)maxmax则f(X)min=minf(P)，f(q止f(p),f(q)；=f(P),f(q).min则f(x)=maxf(p),f(q),f(x)=minf(p),f(q).maxmin10.一元二次方程的实根分布依据：若f(m)f(n)0,贝y方程f(x)=0在区间(m,n)内至少有一个实根.设f(x)=x2+px+q,则p24q0(1) 方程f(x)0在区间(m,+，)内有根的充要条件为f(

4、m)0或m2了(m)0f(n)0f(m)-0(2) 方程f(x)-0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或0pm一一0p2一4q0(3) 方程f(x)-0在区间(，,n)内有根的充要条件为f(m)0或1p.一一m211. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1) 在给定区间(，,+，)的子区间L(形如la,卩，(一，,卩，応,+,)不同)上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数恒成立的充要条件是f(x,t)0(xL).min(2) 在给定区间(-，,+，)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)0(xL).manJa0Ja

5、0恒成立的充要条件是1b0或|b24ac0I12. 真值表Pq非pP或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(n1)个小于不小于至多有n个至少有(n+1)个对所有x,成立存在某x，不成立p或q“p且“q对任何x，不成立存在某x,成立p且q“p或“q14. 四种命题的相互关系原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆逆否命题：与逆命题互否，

6、与否命题互逆，与原命题互为逆否15. 充要条件(1)充分条件：若p”q，则p是q充分条件.(2) 必要条件：若q”p，则p是q必要条件.(3) 充要条件：若p”q，且q”p，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.02.函数16. 函数的单调性1设xxgla,bx,x那么1212(x-x)f(x)-f(x)0of(xi)f(x2)0of(x)在la,b上是增函数；1212x一x12(x-x)f(x)一f(x)0o_f(x2)0,则f(x)为增函数；如果f(x)0,则f(x)为减函数.17. 如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)

7、g(x)也是减函数；如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函,f则复合函数y=fg(x)是增函数.18奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.19若函数y二f(x)是偶函数，则f(xa)二f(-x-a)；若函数y二f(xa)是偶函数，则f(xa)二f(-xa).20.对于函数y二f(x)(xgR),f(xa)二f(bx)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数x二两个函数y二f(xa)与y二f(b-x)的图象关于直线x二耳纟对称.21

8、. 若f(x)二-f(-xa)，则函数y二f(x)的图象关于点(2,0)对称；若f(x)=一f(x+a)，则函数y=f(x)为周期为2a的周期函数.22. 多项式函数P(x)=axn+axn-1+a的奇偶性nn-10多项式函数P(x)是奇函数oP(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数oP(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23. 函数y二f(x)的图象的对称性(1) 函数y二f(x)的图象关于直线x=a对称of(ax)二f(a-x)of(2a-x)二f(x).(2) 函数y二f(x)的图象关于直线x二对称of(a+mx)=f(bmx)of(a+b一mx)=f(m

9、x).24. 两个函数图象的对称性(1) 函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.(2) 函数y=f(mx-a)与函数y=f(b-mx)的图象关于直线x=对称.2m(3) 函数y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.25. 若将函数y=f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y=f(x-a)b的图象；若将曲线f(x,y)=0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x-a,y-b)=0的图象.26. 互为反函数的两个函数的关系f(a)=bof-1(b)=a.127. 若函数y=f(kxb)存在反函数，则其反函数为y=f-1(x)-b，并不是y=

10、f-1(kx+b)，而函数k1y=f-1(kx+b)是y=f(x)-b的反函数k28. 几个常见的函数方程(1) 正比例函数f(x)=cx，f(x+y)=f(x)+f(y),f=c.(2) 指数函数f(x)=ax，f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=a,0.(3) 对数函数f(x)logx,f(xy)f(x)+f(y),f(a)=1(a,0,a丰1).a(4) 幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).余弦函数f(x)cosx，正弦函数g(x)sinx,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),f(0)1,lim1.xt0x29. 几个函数方程的周期(约定a0)(1

11、) f(x)f(x+a)，则f(x)的周期T=a；(2) f(x)f(x+a)0,1或f(x+a)(f(x)丰0),f(x)1或f(x+a)-(f(x)丰0),f(x)(3)f(x)1-或2+Jf(x)-f2(x)f(x+a),(f(x)e0,1),则f(x)的周期T=2a；f(xi+x2)f(x)+f(x)12-1-f(x)f(x)12(f(x)丰0)，则f(x)的周期T=3a；f(x+a)且f(a)1(f(x)-f(x)丰1,01xxl2a),则f(x)的周期T=4a；1212(5)f(x)+f(x+a)+f(x+2a)f(x+3a)+f(x+4a)f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x

12、+3a)f(x+4a)，则f(x)的周期T=5a；f(x+a)f(x)-f(x+a),则f(x)的周期T=6a.30. 分数指数幂(1)man(2)1(a,0,m,neN*，且n,1).nam1(a,0,m,neN*，且n,1).man根式的性质31.(1) (a)na.(2) 当n为奇数时，nan=a；fa,an0当n为偶数时，n；an=1al=一a,a0,p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33. 指数式与对数式的互化式logNbabN（a,0,a丰1,N,0）a.34. 对数的换底公式logNlogNm（a,0，且a丰1,m,0，且m

13、丰1,N,0）.alogamn推论logbnlogb（a,0，且a,1,m,n,0，且m丰1,n丰1,N,0）.amma35对数的四则运算法则若a0,aMl,M0,N0,贝(1) log(MN)logM+logN；aaaM(2) log=logMlogN；aNaa(3) logMnnlogM(neR).aa36. 设函数f(x)log(ax2+bx+c)(a0)，记二b2-4ac.若f(x)的定义域为R,则a0,且A0，且A0.对于a=0的情形，需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广1若a0,b0,x0,x，则函数ylog(bx)aax11(1) 当ab时，在(0,)和(一,+s)上yl

14、og(bx)为增函数.aaax11(2) 当am1，p0，a0，且a1，则（1）log（n+p）logn.m+pmm+n（2）logmlognlog2-aaa203.数列38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有yN（1+p）x.39. 数列的同项公式与前n项的和的关系fs,n1a2nnn-140. 等差数列的通项公式aa+(n一1)d=dn+a一d(neN*)；n11其前n项和公式为n(a+a)n(n一1)rs+nna+dn212d1n2+(a一一d)n.21241. 等比数列的通项公式aaqn-1=仝.qn(neN*)；n1q其前n项的和公

15、式为a(1qn).1十，q1s1qnna,q=11a，aq.-4n,q1或s1，qnna,q=1142.等比差数列a：a=qa+d,a=b(q0)的通项公式为nn+1n1b+(n1)d,q=1、q-1其前n项和公式为nb+n(n1)d,(q=1)d1qnd.(b-)+n,(q1)1qq11qbqn+(db)qn1d】；43.分期付款(按揭贷款)元（贷款a元,n次还清,每期利率为b）.ab(1+b)n每次还款x=(1+b)n104.44常见三角不等式兀(1) 若x(0,)，则sinxxtanx.2兀(2) 若x(0,)，贝y1sinx+cosx1.45. 同角三角函数的基本关系式sin20+co

16、s20=1,tan0=血0,tan0-cot0=1.cos046. 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)sin(巴+)=2n(1)2sin,（n为偶数）n-1(-1)2cos,cos(竺+)=0）的周期T，函数y，tan(x+*),x丰k+一,kgZ2（A,*为常数，且AHO,30）的周期T=205.51. 正弦定理丄亠，丄，2R.sinAsinBsinC52. 余弦定理a2，b2+c2一2bccosA；b2，c2+a2一2cacosB；c2，a2+b2-2abcosC.53. 面积定理h分别表示a、b、c边上的高）.c(1) Sahbhch(h、h、2a2b2cab(2) S，ab

17、sinC，bcsinA，casinB.2 22(3) S，v；;(lOAI-1OB1)2-(OA-OB)2.AOAB2*54. 三角形内角和定理在厶ABC中，有A+B+C，C，-(A+B)C，-A+B2C，2旳说).22255. 简单的三角方程的通解sinx，ax，k冗+(-1)kacsina(kgZ,IaI1).cosx，ax，2k冗土accosa(kgZ,IaI1).tanx，anx，k冗+arctana(kgZ,agR).特别地,有sina，sinPa，k兀+(-1)kP(kgZ).cosa，cosPa，2kP(kgZ).tana，tanPna，+P(kgZ).56. 最简单的三角不等式

18、及其解集sinxa(IaI1)xg(2k+arcsina,2k+-arcsina),kgZ.sinxa(IaI1)xg(2k-arcsina,2k+arcsina),kgZ.cosxa(IaI1)xg(2k-arccosa,2k+arccosa),kgZ.cosxa(IaI1)OP=OP+PPy=y，k1y=y-k注：图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y),且PP的坐标为(h,k).69. “按向量平移”的几个结论(1) 点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点乍(x,h,y,k).(2) 函数y二f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C，则C的

19、函数解析式为y二f(x-h)+k.(3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y二耐，则C的函数解析式为y二f(x+h)-k.(4) 曲线C:f(x,y)二0按向量a=(h,k)平移后得到图象C，则C的方程为f(x-h,y-k)二0.(5)向量m=(x(x-x)(x-x)0(xx).12121274. 含有绝对值的不等式当a0时，有xax2a2一axa.，y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x，y).70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O为AABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则(1) O为AABC的外心OA2二OB2二OC2.

20、(2) O为AABC的重心OA+OB+OC=0.(3) O为AABC的垂心OA-OB=OB-OC=OC-OA.(4) O为AABC的内心aOA+bOB+cOC=0.(5) O为AABC的ZA的旁心OQA二bOB+cOC.06.不71.常用不等式(1)ITTTTiTT斗2)a,b2ab(当且仅当吕时取“=”号).a,bJOF(当且仅当a=b时取“=”号).(3)a3+b3+c33abc(a0,b0,c0).4)柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,a,b,c,dR.(5)a-ba,ba,b.72. 极值定理已知x,y都是正数，则有(1) 若积xy是定值p,则当x二y时和x,y有

21、最小值2$p；1(2) 若和x,y是定值s,则当x二y时积xy有最大值4s2.推广已知x,y0(或0),如果a与ax2+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间.xxx(x-x)(x-x)0(xJg(x)og(x)f(x)02)og(x)2f(x)0(3) Jf(x),g(x)o0f(x)，g(x)276. 指数不等式与对数不等式(1)当a1时，0f(x)g(x)af(x)ag(x)of(x)g(x)；logf(x)logg(x)oaa(2)当0,a,1时，af(x)ag(x)of(x),g(x)；f(x)0logf(

22、x)logg(x)o(g(x)0aaf(x)，g(x)07.77.斜率公式k二乙_(P(x,y)、P(x,y).x-x1112222178. 直线的五种方程(1) 点斜式y-y二k(x-x)(直线l过点P(x,y)，且斜率为k).11111(2) 斜截式y二kx+b(b为直线l在y轴上的截距).y-yx-x(3) 两点式4二4(yy)(P(x,y)、P(x,y)(xx).y-yx-x12111222122121xy(4) 截距式+二1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)ab(5) 般式Ax+By+C二0(其中A、B不同时为0).79. 两条直线的平行和垂直(1)若l:y=kx+b,l:y

23、=kx+b111222 lIIlok=k,bb121212; l丄lokk=-1.1212(2)若l:Ax+By+C二0,l:Ax+By+C二0，且AAB、B2都不为零,111122221212ABC l|lo1二40或0或0或0或0所表示的平面区域上下两部分；111222(Ax+By+C)(Ax+By+C)0).fx=a,rcos(3) 圆的参数方程.y=b,rsin(4)圆的直径式方程(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0(圆的直径的端点是A(x,y)、B(x,y).1212112287. 圆系方程(1)过点A(x,y),B(x,y)的圆系方程是1122(x-x)(x-x)+(y-

24、y)(y-y)+九(x-x)(y-y)-(y-y)(x-x)=01212112112o(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)+九(ax+by+c)=0，其中ax+by+c=0是直线AB的方程，入是待定的系1212数过直线1:Ax+By+C=0与圆c:x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+X(Ax+By+C)=0,入是待定的系数.过圆C1:x2,y2,Dx,Ey,F=0与圆C_:x2,y2,Dx,Ey,F=0的交点的圆系方程是11112222x2,y2,Dx,Ey,F,X(x2,y2,Dx,Ey,F)=0,入是待定的系数.11122288. 点与圆的位置

25、关系点P(x,y)与圆(xa)2,(yb)2=r2的位置关系有三种00若d=J(ax)2,(by)2,贝y00dro点P在圆外；d=ro点P在圆上；dro相离o0；d=ro相切o=0；dro相交o0.Aa,Bb,Cl其中d=、:A2,B290. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O，O2，半径分别为r2，Of?=ddr,ro外离o4条公切线；12d=r+ro外切o3条公切线；12r一rdr,ro相交o2条公切线；1212d=r一ro内切o1条公切线；120db0)的参数方程是a2b2y=bsinUx2y293. 椭圆一+=1(a,b,0)焦半径公式a2b2PF=e(x+巴),PF=e(聖-

26、x).1c2c94椭圆的的内外部x2y2x2y2(1) 点P(x,y)在椭圆+=1(ab0)的内部Of+0b0)的外部O+01.00a2b2a2b295.椭圆的切线方程x2y2xxyy(1) 椭圆+-=1(ab0)上一点P(x,y)处的切线方程是1+0=1.a2b200a2b2x2y2(2) 过椭圆一+=1(a,b,0)外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是a2b200xx丄yy19+1=1.a2b2x2y2(3)椭圆一+1=1(a，b,0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=c2.a2b2x2y296双曲线一-=1(a,0,b,0)的焦半径公式a2b2PF=1e(x

27、+)1，PF=1e(-x)1.1c2c97. 双曲线的内外部x2y2x2y2点P(x,y)在双曲线一=1(a0,b0)的内部o亠1.00a2b2a2b2x2y2x2y2(2) 点P(x,y)在双曲线一=1(a,0,b,0)的外部Of亠1.00a2b2a2b298. 双曲线的方程与渐近线方程的关系x2y2x2y2b(1) 若双曲线方程为_=1二渐近线方程：一=0y=x.a2b2a2b2abxyx2y2(2)若渐近线方程为y=xo丁=0二双曲线可设为一=九.aaba2b2x2y2x2y2(3) 若双曲线与一-】=1有公共渐近线，可设为-】=九(九,0，焦点在x轴上，九0,b0)上一点P(x,y)处

28、的切线方程是0-=1.a2b200a2b2x2y2(2) 过双曲线-一=1(a0,b0)外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是a2b200xxyy=1.a2b2x2y2(3)双曲线一一厂二1(a,0,b,0)与直线Ax+By+C二0相切的条件是A2a2-Bib2二c2.a2b2100. 抛物线y2二2px的焦半径公式抛物线y2二2px(p，0)焦半径CF二x0+-P.过焦点弦长CD=x+2+x+与=x+x+p.122212y2101. 抛物线y2二2px上的动点可设为P(吕,y)或P(2pt2,2pt)或p(x,y)，其中y2二2px.2p(a0)的图象是抛物线：(1)顶点坐标为I*b4

29、ac一b2102. 二次函数y=ax2+bx+c=a(x+)2+2a4a/b4ac一b2一,/b4ac一b2+1、”4ac一b2一14a4a(-，)；(2)焦点的坐标为(-,)；(3)准线方程是y2a4a2a103. 抛物线的内外部点P(x,y)在抛物线y22px(p,0)的内部y22px(p,0).00点P(x,y)在抛物线y22px(p,0)的外部y2，2px(p,0).00点P(x,y)在抛物线y2-2px(p,0)的内部y2-2px(p,0).00点P(x,y)在抛物线y2-2px(p,0)的外部y2，-2px(p,0).00点P(x,y)在抛物线x22py(p,0)的内部x22py(

30、p,0).00点P(x,y)在抛物线x22py(p,0)的外部x2,2py(p,0).00点P(x,y)在抛物线x22py(p,0)的内部x22py(p,0).00点P(x,y)在抛物线x2-2py(p,0)的外部x2,-2py(p,0).00104. 抛物线的切线方程(1) 抛物线y22px上一点P(x,y)处的切线方程是yyp(x+x).0000(2) 过抛物线y22px外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是yyp(x+x).0000(3) 抛物线y22px(p,0)与直线Ax+By+C0相切的条件是pB22AC.105. 两个常见的曲线系方程过曲线f(x,y)0,f(x,y)0的交

31、点的曲线系方程是12f(x,y)+入f(x,y)0(入为参数).12x2y2共焦点的有心圆锥曲线系方程+1,其中kmaxa2,b2.当k,mina2,b2时,表示椭圆;a2一kb2一k当mina2,b2kmaxa2,b2时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB=Q(t一x2)2+(歹一y?)2或(弦端点A(x1，y1),B(x2,y2)，由方AB=、:(1+k2)(x一x)2=1x一x丨+tan2a=1y一y丨fl+cot2a2112120,a为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率).107. 圆锥曲线的两类对称问题(1) 曲线F(x,y)0关于点P(x,y)成中心对称的曲线是F(

32、2x-x,2yy)0.0000(2) 曲线F(x,y)0关于直线Ax+By+C0成轴对称的曲线是2A(Ax+By+C)2B(Ax+By+C)F(x一A2+B2,y一A2+B2)=0108. “四线”一方程xyxy对于一般的二次曲线Ax2BxyCy2DxEyF二0，用xx代x2，用yp代y2,用o代xy,xxyy用飞代x，用七代y即得方程xyxyxxyyAxxB7oCyyDtE匕+F=0，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此02022方程得到.09.109证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化

33、为线面垂直；（5）转化为面面平行.110证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面

34、；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律（1）加法交换律：a+b=b+a.（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.（3）数乘分配律：入（a+b）二入a+入b.116. 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117. 共线向量定理对空间任意两个向量a、b（bM0），abO存在实数入使a=Nb.P、A、B三点共线oAPIIABoAP

35、=tABoOP=（1t）OA+tOB.ABIICDoAB、CD共线且AB、CD不共线oAB=tCD且AB、CD不共线.118. 共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的o存在实数对x,y,使p=axby.推论空间一点位于平面MAB内的o存在有序实数对x,y，使Mp=xMayMB，或对空间任一定点0，有序实数对x,y，使OP=OMxMA+yMB.A、B、C、119. 对空间任一点O和不共线的三点A、B、C,满足OPxOA+yOB+zOC(x+y+z=k),则当k=1时,对于空间任一点O,总有P、A、B、C四点共面；当k,1时，若OG平面ABC,则P、A、B、C四点共面；若O平面ABC,则

36、P、A、B、C四点不共面.四点共面AD与AB、AC共面AD=xAB+vACI-14_IOD(1-x一y)OA+xOB+yOC(O平面ABC).c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组X,y,Z,使p=xa+ybT120. 空间向量基本定理如果三个向量a、b、+zc.推论设or、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数X,y,Z,OPxOA+yOB+zOC.121. 射影公式已知向量AB=a和轴l,e是l上与l同方向的单位向量作A点在l上的射影A,作B点在l上的射影B,则_ABIABIcosa,e二ae122. 向量的直角坐标运算设a=(a,a,a),b=

37、(b,b,b)则1-23123(1) a+b=(a+b,a+b,a+b)；(2) abta一b,a一b,a一b)；112233(3) Xa=(九a,九a,九a)(入gr)；123(4) ab=ab+ab+ab；112233123. 设A(x,y,z),B(x,y,z),则111222ABOB一OA=(x一x,y一y,z一z).212121124. 空间的线线平行或垂直设a(x,y,z),b=(x,y,z),贝y1112厂22xXxabaXb(b,0)彳yy；12z=XzJ120.12j21212丄ba-b0xx+yy+zz5夹角公式”彳a=(a,a,a),b=(b,b,b),贝y123123i

38、_|ab+ab+absa,b=mIa2+a2+a2：b2+b2+b2123123推论(ab+ab+ab)2(a2+a2+a2)(b2+b2+b2)，此即三维柯西不等式.112233123123126.四面体的对棱所成的角四面体ABCD中，AC与BD所成的角为0，则2AC-BDcI(AB2+CD2)-(BC2+DA2)Icos0127异面直线所成角cos0=|cos：a,bIIxx+yy+zzI121212+y2+z2-x2+y2+z211222(其中0(0090)为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量)128.直线AB与平面所成角.Jic.AB-m，arcsin(m为平

39、面a的法向量).IABIImI129.若ABC所在平面若卩与过若AB的平面a成的角,另两边AC,BC与平面a成的角分别是12,A、B为ABC的两个内角，贝ysin2+sin2_=仲n翊+sin2B)sin2.特别地，当ZACB，90时，有sin2+sin2，sin212|130. 若ABC所在平面若卩与过若AB的平面a成的角，另两边AC,BC与平面a成的角分别是1,A、B为ABO的两个内角，贝92tan20+tan2，(sin2A+sin2B)tan2.12特别地，当ZAOB，90时，有sin20+sin20，sin20.12131. 二面角a-/卩的平面角小mnmn,0=arccos或冗一a

40、rccos(m，n为平面a，p的法向量).ImIInIImIInI132. 三余弦定理设AC是a内的任一条直线，且BC丄AC,垂足为C，又设A0与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，12与AC所成的角为0.则cos0，cos0cos0.1T2133. 三射线定理若夹在平面角为e的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是0，0，与二面角的棱所成的角是e12贝y有sin2esin20，sin20+sin20一2sin0sin0cose；121210-0Ie/ABAB=、：(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2.A,B212121135. 点Q到直线l距离h，丄IaIAO(IaIIb1)2-

41、(a-b)2(点P在直线/上，直线/的方向向量a=PA，向量b=PQ).136.异面直线间的距离IcdnId，(l,l是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l,l上任一点，InI121十137.点B到平面a的距离d，绍凹(n为平面a的法向量，AB是经过面a的一条斜线，Aea).InI138.异面直线上两点距离公式d=2+2+n22mncos0.+m2+n2-2mncose(E-AA一F).b所成的角为其公垂线段AA的长度为h.在直线=n,EF=d).1139.三个向量和的平方公式(a+b+c)2二a2+b2+c2+2a-b+2b-c+2c-ad=Jh2(两条异面直线AE，m,AF=a、a、

42、b上分别取两点E、d=:h对+m2+n2一2mncos，：EA,AFi.a2+b2+c2+21aI，IbIcosfa,bi+21bI，IcIcos，；b,c+21cI，IaIcos；c,a；，140. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为1、1、l，夹角分别为0、0、0，则有1231231212+12+12cos20+cos20+cos20=1sin20+sin20+sin20=2.123123123（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）141. 面积射影定理Scos0（平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为0）.142. 斜棱柱的直截面已知斜

43、棱柱的侧棱长是1，侧面积和体积分别是S和V，它的直截面的周长和面积分别是c和S，则斜棱柱侧斜棱柱11 Sc1.斜棱柱侧1 VS1斜棱柱1143作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比145. 欧拉定理（欧拉公式）V+F-E2（简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）.（1）E=各面多边形边数和的一半特别地，若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：E丄nF；2（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E*mV.146. 球的半径是R,则4其体积V冗R3，其表面积S4冗R2.147. 球的组合体（1）