2022年高三数学大一轮复习正弦定理和余弦定理学案理新人教A版

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1、优秀学习资料欢迎下载第五章解三角形与平面向量学案 23 正弦定理和余弦定理导学目标：1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题自主梳理1三角形的有关性质(1)在ABC中，ABC_；(2)ab_c，abb?sin A_sin B?A_B；(4)三角形面积公式：SABC12ah12absin C12acsin B_；(5)在三角形中有：sin 2Asin 2B?AB或_?三角形为等腰或直角三角形；sin(AB)sin C，sin AB2cos C2.2正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容_ 2Ra2_，b2_

2、，c2_.变形形式a_，b_，c_；sin A_，sin B_，sin C_；abc_；abcsin Asin Bsin Casin Acos A_；cos B_；cos C_.解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.自我检测1(2010上海)若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2(2010天津)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2

3、b23bc，sin C23sin B，则A等于()A30B60C120D1503(2011烟台模拟)在ABC中，A60，b1，ABC的面积为3，则边a的值为精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载()A27 B.21 C.13 D3 4(2010山东)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2，b2，sin B cos B2，则角A的大小为 _5(2010北京)在ABC中，若b1，c3，C23，则a_.探究点一正弦定理的应用例 1(1)在ABC中，a3，b2，B45，求角A、C和边c；(2)在ABC中，a 8，B60，C75，求边b和c.变式迁移

4、1(1)在ABC中，若 tan A13，C150，BC1，则AB_；(2)在ABC中，若a50，b256，A45，则B_.探究点二余弦定理的应用例 2(2011咸宁月考)已知a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边，且a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)若c3a，求 tan A的值变式迁移 2 在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B23，b13，ac 4，求a.探究点三正、余弦定理的综合应用例 3在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状变式迁移 3(2010天津)在ABC中，ACA

5、Bcos Bcos C.(1)证明：BC；(2)若 cos A13，求 sin4B3的值精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载1解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用2在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍3在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法“

6、化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1 (2 010 湖 北)在 ABC中，a 15，b 10，A 60，则cos B等 于()A223B.223C63D.632.在ABC中AB3，AC=2，BC=10，则ABAC等于 ()A32B23C.23D.323 在ABC中，sin2A2cb2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形4(2011聊城模拟)在ABC中，若A60，BC43，AC42，则角B的大小为()A30B45C135D45或 1355(2010湖南)

7、在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C120，c2a，则()Aab Ba(3)(4)12bcsin A(5)AB22.asin Absin Bcsin Cb2c2 2bccos Aa2c2 2accos Ba2b22abcos C2Rsin A2Rsin B2Rsin Ca2Rb2Rc2Rsin Asin Bsin Cb2c2a22bca2c2b22aca2b2c22ab自我检测1C 2.A 3.C 4.65.1 课堂活动区例 1解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况具体判断方

8、法如下：在ABC中已知a、b和A，求B.若A为锐角，当ab时，有一解；当absin A时，有一解；当bsin Aab时，有两解；当ab时，有一解；当ab时，无解解(1)由正弦定理asin Absin B得，sin A32.ab，AB，A60或A120.当A60时，C180456075，cbsin Csin B622；当A120时，C1804512015，cbsin Csin B622.综上，A60，C75，c622，精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载或A120，C15，c622.(2)B60，C75，A45.由正弦定理asin Absin Bcsin C，

9、得basin Bsin A46，casin Csin A434.b46，c434.变式迁移 1(1)102(2)60 或120解析(1)在ABC中，tan A13，C150，A为锐角，sin A110.又BC1.根据正弦定理得ABBCsin Csin A102.(2)由ba，得BA，由asin Absin B，得 sin Bbsin Aa256502232，0B180B60或B120.例 2解(1)a2c2b2ac，cos Ba2c2b22ac12.0B，B3.(2)方法一将c3a代入a2c2b2ac，得b7a.由余弦定理，得cos Ab2c2a22bc5714.0Aa，BA，cos A1si

10、n2A5714.tan Asin Acos A35.方法三c3a，由正弦定理，得sin C3sin A.精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载B3，C(AB)23A，sin(23A)3sin A，sin23cos Acos23sin A3sin A，32cos A12sin A3sin A，5sin A3cos A，tan Asin Acos A35.变式迁移 2 解由余弦定理得，b2a2c2 2accos Ba2c22accos23a2c2ac(ac)2ac.又ac4，b13，ac3，联立ac4ac3，解得a1，c3，或a3，c1.a等于 1 或 3.例 3

11、解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系解方法一(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)?a2sin(AB)sin(AB)b2 sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正弦定理，得sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0，sin 2Asin 2B，由 02A2，02B2，得 2A2B或 2A 2B，即ABC是等腰三角形或直角三角形方法二同方法一可得2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正、余弦定理，即得a

12、2bb2c2a22bcb2aa2c2b22ac，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0，ab或c2a2b2，三角形为等腰三角形或直角三角形变式迁移3 解题导引在正弦定理asin Absin Bcsin C2R中，2R是指什么？a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C的作用是什么？(1)证明在ABC中，由正弦定理及已知得sin Bsin Ccos Bcos C.于是 sin Bcos Ccos Bsin C0，即 sin(BC)0.因为 BC，从而BC0.所以BC.精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载(2)解由A

13、BC 和(1)得A 2B，故 cos 2B cos(2B)cos A13.又 02B，于是 sin 2B1cos22B223.从而 sin 4B2sin 2Bcos 2B429，cos 4Bcos22Bsin22B79.所以 sin4B3sin 4Bcos 3cos 4Bsin 3427318.课后练习区1D 2.D 3.B 4.B 5.A 6等边三角形解析b2a2c22accos B，aca2c2ac，(ac)2 0，ac，又B60，ABC为等边三角形71 解析由AC2B及ABC180知，B60.由正弦定理知，1sin A3sin 60，即 sin A12.由ab知，AB，A30，C180A

14、B180306090，sin Csin 90 1.8.4解析设BAD，DAC，则 tan13，tan 12，tan BAC tan()tan tan 1tan tan 1312113121.BAC为锐角，BAC的大小为4.9解(1)因为 cosA2255，所以 cos A2cos2A2135，sin A45.(4精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载分)又由ABAC 3 得bccos A3，所以bc 5，因此SABC12bcsin A 2.(8分)(2)由(1)知，bc5，又bc6，由余弦定理，得a2b2c22bccos A(bc)2165bc20，所以a25

15、.(12分)10解在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得，cosADCAD2DC2AC22ADDC100 36196210612，(6分)ADC120，ADB60.(8分)在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得ABsin ADBADsin B，ABADsin ADBsin B10sin 60 sin 4510322256.(12分)11解(1)3b2 3c23a242bc，b2c2a2423bc.由余弦定理得，cos Ab2c2a22bc223，(4 分)又 0A，故 sin A1cos2A13.(6分)(2)原式2sinA4sinA41cos 2A(8 分)精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载2sinA4sinA42sin2A222sin A22cos A22sin A22cos A2sin2A(11 分)sin2Acos2A2sin2A72.所以A4BC41cos 2A72.(14 分)精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 9 页